《数学建模与数学实验（第二版）》是一本系统介绍数学建模方法与数学实验技术的教材. 《数学建模与数学实验（第二版）》分为10个章节, 涵盖数学建模的基本理论、常用的数学软件(如MATLAB和Python等), 以及多种实际应用模型. 内容包括初等数学模型、优化模型、数学规划模型、微分方程建模、层次分析法、图论模型、数据处理及应用等, 通过案例分析与实验, 培养读者运用数学方法解决实际问题的能力. 每章配有丰富的习题与实战案例, 帮助学生深入理解建模方法的应用及技巧.

第1章　数学建模与数学实验概况
　　1.1　数学模型、数学建模与数学实验
　　在学习和生活中经常听到模型这个概念， 如飞机模型、分子结构模型、人体模型、建筑物模型等等. 按照这些模型的实用性和表现特点可以大致分为三类: 一是像玩具、飞机、火箭模型、售楼部的房屋模型等用于观赏展示的实物模型; 二是如水箱中的舰艇、地震模拟装置这样用于科学研究的物理模型; 三是像交通图、化学中的分子符号、物理中的电路图等具有一定抽象性的符号模型. 其中前两类模型属于物质模型， 而符号模型由于已经用到数学、物理符号表示一些实际东西， 所以体现了一定的抽象性. 数学模型不同于上述模型， 表现形式上更具有抽象性， 下面给出数学模型的定义.
　　数学模型是对于一个实际问题， 为了一个特定目的， 根据其内在规律， 做出必要的简化假设， 运用适当的数学工具， 抽象简化出来的一个由数字、字母或其他数学符号组成的数学结构.
　　这里的数学结构一般指公式、函数、方程、算法、图表等数学表达式. 比如圆的面积公式就是求解圆面积的数学模型， 只要知道半径， 就可以确定面积. 从这个意义上说， 数学模型对我们并不陌生， 很早就在接触.
　　那什么是数学建模呢? 虽然说法上与数学模型接近， 但是涵义还是不一样的. 它要求从实际错综复杂的关系中找出其内在规律， 然后用数字、图表、符号、和公式把他们表示出来， 再经过数学与计算机的处理， 得出供人们进行分析、决策、预报或者控制的定量结果. 这种将实际问题进行简化， 归结为数学问题并求解的过程就称为建立数学模型， 简称数学建模或建模. 简单说， 数学建模就是用数学的方法建立数学模型， 解决实际问题的全过程.
　　数学实验与数学建模密切相关， 通常有两层含义: 一是利用计算机和数学软件对学习知识过程中的某些问题进行实验探究、发现规律， 二是结合已掌握的数学知识， 去探究、解决一些实际问题， 从而熟悉建模、求解到实验分析的科学研究方法， 并不断提高创新实践能力.
　　数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物. 它有如下特点和功能:
　　(1) 有助于提高学生学习数学的兴趣、应用数学的意识， 以及分析、解决问题的能力.
　　(2) 不同于物理、化学等自然科学实验， 它只需要计算机和软件系统， 不涉及其他设备和原材料. 实验形式主要以程序编写和专业数学软件的应用为主， 是一种抽象实验， 可以重复执行， 成本低廉.
　　(3) 数学实验能实现繁杂的科学计算， 大大提高工作效率.
　　(4) 数学实验能把有些抽象的东西变得直观形象. 例如， 可以通过计算机绘制复杂函数的图形， 从而辅助研究函数性质; 可以通过近似方法计算*边梯形的面积， 从而加深对定积分概念的理解; 也可以计算一个数列或级数的有限项， 以观察数列或级数的收敛状况， 等等.
　　(5) 数学实验可以进行探究性计算、模拟， 有助于进行科学分析与研究. 实际中很多问题通过理论分析是很难真正找到解决方法或全面解决方案的， 通过实验可以发现、弥补理论分析的不足.
　　1.2　数学建模的基本方法与步骤
　　数学建模的方法大致有机理分析法、测试分析法和计算机仿真方法. 机理分析法要求分析事物的内在机理和规律， 一般从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型. 机理分析法包括以建立变量之间函数关系的比例分析法， 以求解离散问题为主的代数方法， 以解决社会学和经济学等领域的决策、对策问题的逻辑方法， 以解决两个或两个以上变量之间的变化规律为主的微分方程建模方法. 测试分析法则是指从大量的观测数据中运用统计方法建立数学模型， 常用的有多元回归分析法和时序分析法等. 比较理想的是用机理分析法确定模型， 然后用测试分析法估计参数.
　　建立数学模型， 解决实际问题的过程因为题目不同、要求不同有较大区别， 没有一种统一的模式. 下面先介绍一个简单的案例， 说明数学建模的大致思路和步骤.
　　问题描述: 甲、乙两地路程为36 km， 两地间的道路上下坡交替出现. 某人骑自行车从甲地到乙地需192 min， 而从乙地到甲地可少用24 min， 已知下坡比上坡平均每小时多行5 km， 求上坡和下坡的速度分别是多少?
　　问题分析:
　　(1) 由于从甲到乙的道路上下坡交替出现， 所以实际行驶中也将上坡、下坡交替出现， 如图1.1所示.
　　图1.1　甲到乙道路示意图
　　由于不清楚道路每一段上下坡的长度、弧度、角度等具体情况， 要想利用传统运动学规律分段直接计算是不可能的， 而且在每一个上坡、下坡的速度应该也有区别， 要想精确计算每时每刻的速度在这里显然不可能. 根据题目信息， 可以考虑适当简化问题.
　　图1.2　拼接后甲乙道路示意图
　　(2) 转换思路， 将上坡路、下坡路拼接在一起， 如图1.2所示， 且假定上坡、下坡速度是恒定的， 即要求的是平均速度.
　　(3) 设从甲到乙上坡路长为y km， 则下坡路长为(36?y) km， 上坡平均速度为x km/h， 则下坡速度为(x+5) km/h.
　　(4) 根据以上信息， 利用运动学规律可建立如下方程组模型
　　(5) 解上述方程组得两组解x=10， y=24; x=?3， y=444/25. 显然第二组解没有现实意义， 从而上坡、下坡速度分别为10 km/h、15 km/h.
　　(6) 进一步思考. 由于当自行车从甲到乙， 再从乙到甲时， 上下坡的总和都是36 km， 而一个来回所用的时间恰好是6小时， 因而在上坡速度为x km/h的条件下， 可建方程模型， 显然这个模型比前一个更简洁、合理.
　　上述案例只是一个简单的应用问题， 而实际问题要复杂得多. 但是其求解过程却已经反映了数学建模的基本思想和步骤. 即根据建模目的和问题背景做出适当的简化假设(上坡、下坡速度恒定); 用数学的语言(各种字母、符号)描述问题中的变量; 利用已知条件列出了二元代数方程组， 即数学模型; 通过解方程求出了两组解; 通过实践检验排除了不合理的解; 求得方程解， 即上坡、下坡速度分别为10 km/h， 15 km/h; 对模型进行了改进.
　　一般地， 数学建模的过程可以大致描述如下， 见图1.3.
　　图1.3　数学建模步骤示意图
　　(1) 模型准备: 对于一个实际问题， 先要弄清楚问题的背景， 建模的目的. 同时收集各种相关信息， 如各种数据、前人对类似问题的研究等.
　　(2) 抽象简化: 一个实际问题往往涉及的因素多， 关系复杂且具有不确定性， 因此在全面分析问题基础上， 要抓住主要矛盾， 忽略次要因素， 并做出必要的、合理的假设， 以规范和简化问题; 同时利用各种数学符号表示问题中的各种变量， 这称为抽象， 也就是用数学的语言描述问题. 经过这一步骤， 一个实际问题基本上转化成一个数学问题.
　　(3) 模型建立: 运用适当的数学方法， 如代数方法、微分法、优化方法、图论方法、层次分析法、统计方法等建立数学模型.
　　(4) 模型求解: 运用相应的数学方法求解建立的模型， 如代数方程的求解、微分方程的求解、图论算法的实现、统计模型参数的估计等. 这里的求解包含两层含义: 一是数学意义上的求解， 若能用数学方法推导、求出解析解的， 则求出该解析解， 并作为准确解; 二是利用计算机和数学软件进行的数值求解或模拟， 这样得到的一般是近似解. 实际中两种方式会兼顾使用.
　　(5) 分析检验: 对求解出来的结果必须在实际中进行检验， 看是否符合实际情况， 还要做误差分析、稳定性分析等. 如果吻合效果不好或误差太大， 可能需要修改假设， 重新建模.
　　(6) 实际应用: 和实际吻合效果较好且稳定性、可靠性良好的模型可以在实际中加以应用， 并根据实际情况不断改进、优化.
　　1.3　数学模型的分类
　　数学模型可以按照不同的方式分类， 下面介绍常用的几种分类方式.
　　(1) 按照所用方法分类: 如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、数学规划模型等.
　　(2) 按照应用领域分类: 如人口模型、生态模型、交通模型、环境模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、生物学数学模型、医学数学模型、地质学数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化学数学模型、天文学数学模型、工程学数学模型等.
　　(3) 按照建模目的分类: 如描述模型、分析模型、预报模型、决策模型、优化模型、控制模型等.
　　(4) 按照表现特点分类: 按照是否考虑随机因素的影响分为确定性模型和随机性模型， 近年来随着数学的发展， 又出现了突变性模型和模糊性模型; 按照是否考虑时间因素引起的变化分为静态模型和动态模型; 按照模型基本关系是否是线性分为线性模型和非线性模型， 如函数、微分方程是否是线性的; 按照模型中的变量(主要是时间变量)为离散还是连续的可分为离散模型和连续模型.
　　虽然现实中大多数问题是随机性的、动态的、非线性的， 但由于确定性、静态、线性模型更容易处理， 因此建模时通常先考虑确定性、静态、线性模型. 连续模型便于利用微积分方法求解， 可作理论分析， 而离散模型更适合在计算机上作数值计算， 所以用哪种模型要根据具体问题和个人习惯而定. 实际建模过程中， 将连续模型离散化， 或离散变量视作连续量都是经常采用的处理方法.
　　(5) 按照了解程度分类: 可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型. 白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题， 这方面的模型大多已经基本确定， 主要研究的是相关优化设计和控制等问题. 灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象， 在建立和改善模型方面还需要深入研究; 黑箱主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理还很不清楚的现象. 当然， 白箱、灰箱、黑箱模型之间并没有明显的界限， 随着科技的发展和人类认识世界能力的增强， 黑箱必将逐渐变成白箱.
　　现实中， 我们描述一个模型往往不是只表达一种属性， 而是同时表述多重属性， 如确定性线性模型， 连续动态模型， 非线性数学规划模型等.
　　1.4　数学建模课程的特点与学习方法
　　1. 数学建模课程的特点
　　(1) 包罗万象， 信息量大. 数学建模课程是综合应用各种数学知识解决实际问题的课程， 它几乎涵盖了大学期间所有数学课程， 如微积分、线性代数、微分方程、概率统计、计算方法、*优化理论、模糊数学、组合数学、图论等. 所以课程内容形式上比较散乱， 不像数学分析、高等代数等专业基础课程那样具有连续性， 承前启后性. 很多学生在学习过程中会感觉思维是跳跃的、离散的， 可能一会在用微积分， 一会又涉及图论算法， 不如传统专业课程那样连贯， 因此学习过程中要善于转换思维.
　　(2) 淡化理论， 强调应用. 数学建模强调的是运用数学知识解决问题， 而不关心这个方法的深层次的原理和理论基础， 因此学习过程中注重的是思维方式的培养和分析解决问题能力的培养， 而不是具体掌握这个案例的解决过程. 一般来说， *先运用适当的数学方法建模， 然后利用计算机编程求解， 前者是重点.
　　(3) 案例学习， 启迪思维. 这门课程涉及大量的数学建模案例， 往往某一门数学专业课程或知识会介绍一些典型案例， 这些案例的解决过程并不重要， 关键是解决问题的思维过程， 即如何思考， 如何巧妙地和数学联系.
　　(4) 没有对错， 只有优劣. 同一个实际问题， 不同的人使用的方法、建立的模型及得到的结论可能千差万别， 这不能说谁对谁错. 评价模型好坏的唯一标准是实践检验， 与实际吻合的好的模型说明方法应用是恰

目录
　　前言
　　第1章数学建模与数学实验概况1
　　1.1数学模型、数学建模与数学实验1
　　1.2数学建模的基本方法与步骤2
　　1.3数学模型的分类4
　　1.4数学建模课程的特点与学习方法5
　　习题16
　　第2章数学软件基础7
　　2.1MATLAB基础7
　　2.1.1MATLAB基本环境7
　　2.1.2MATLAB变量、符号与函数8
　　2.1.3数组与矩阵及其运算12
　　2.1.4数据的输入输出17
　　2.1.5MATLAB中的微积分运算18
　　2.1.6MATLAB图形功能22
　　2.1.7MATLAB编程33
　　2.2Python基础37
　　2.2.1Python简介与安装38
　　2.2.2基本语法与数据结构41
　　2.2.3数值计算模块44
　　2.2.4数据处理与统计分析57
　　习题265
　　第3章初等数学模型67
　　3.1商品调价问题67
　　3.2多步决策问题69
　　3.3公平的席位分配问题72
　　3.4量纲分析法建模77
　　3.4.1单位与量纲77
　　3.4.2量纲齐次原则78
　　3.4.3Buckingham-定理79
　　3.4.4量纲分析法应用——原子弹爆炸的能量估计79
　　习题383
　　第4章简单的优化模型85
　　4.1MATLAB无约束优化工具简介85
　　4.1.1一元函数无约束优化问题求解85
　　4.1.2多元函数无约束优化问题求解88
　　4.2圆柱形储罐的设计90
　　4.3梯子长度的估计问题91
　　4.4存储模型94
　　4.4.1模型1: 不允许缺货， 一次性补充95
　　4.4.2模型2: 不允许缺货， 连续性补充97
　　4.4.3模型3: 允许缺货， 一次性补充99
　　习题4101
　　第5章数学规划模型103
　　5.1优化工具介绍103
　　5.1.1MATLAB优化工具箱简介103
　　5.1.2Lingo软件包的使用112
　　5.2线性规划模型120
　　5.3整数规划和0-1规划模型126
　　5.4非线性规划模型146
　　5.5实战篇——储药柜竖向隔板间距类别的设计157
　　5.5.1问题背景与问题提出157
　　5.5.2问题分析与模型建立157
　　5.5.3模型求解与结果160
　　5.6实战篇——奥运场馆的优化设计161
　　5.6.1问题提出161
　　5.6.2问题分析161
　　5.6.3模型假设162
　　5.6.4符号说明162
　　5.6.5模型建立与求解163
　　附录一流量百分比统计程序170
　　附录二各个商区不同MS个数的计算程序173
　　习题5174
　　第6章线性代数模型178
　　6.1MATLAB求解线性代数工具简介178
　　6.2投入产出模型182
　　6.3交通流量模型184
　　6.4小行星轨道的确定187
　　6.5Hill密码的加密与解密190
　　习题6193
　　第7章微分方程建模196
　　7.1建立微分方程模型的方法196
　　7.1.1利用规律或题目隐含的等量关系建立微分方程模型196
　　7.1.2利用导数的定义建立微分方程模型197
　　7.1.3利用微元法建立微分方程模型197
　　7.1.4模拟近似法198
　　7.2一些简单的微分方程模型198
　　7.2.1理想单摆运动的周期198
　　7.2.2断代问题199
　　7.2.3GDP预测200
　　7.2.4水库污染问题200
　　7.2.5刑事侦查中死亡时间鉴定201
　　7.2.6人口增长的Logistic模型202
　　7.3建筑物高度的估计205
　　7.4天然气产量和储量的预测问题207
　　7.5求解微分方程的MATLAB工具简介212
　　7.6核废料处置方法的安全评价问题216
　　7.7食饵-捕食者系统219
　　习题7225
　　第8章层次分析法228
　　8.1层次分析法的基本原理与步骤229
　　8.1.1层次结构模型的建立与特点229
　　8.1.2构造成对比较矩阵230
　　8.1.3权向量的计算及一致性检验232
　　8.1.4组合权向量的计算及一致性检验235
　　8.2层次分析法应用举例236
　　8.2.1午餐选择问题236
　　8.2.2*佳组队方案238
　　8.2.3教师综合评价体系243
　　8.2.4特殊的层次结构模型244
　　8.3层次分析法运用中的问题245
　　习题8246
　　第9章图论模型247
　　9.1图的基本知识248
　　9.1.1图的相关定义248
　　9.1.2图的顶点的度249
　　9.1.3子图及运算250
　　9.1.4图的连通性251
　　9.1.5几类特殊图253
　　9.2图的矩阵表示254
　　9.2.1邻接矩阵254
　　9.2.2关联矩阵255
　　9.3图的方法建模256
　　9.3.1图的*小生成树及算法256
　　9.3.2图的*短路问题及算法261
　　9.3.3图的匹配及应用267
　　9.3.4图的覆盖及应用275
　　9.3.5图的遍历问题280
　　9.3.6竞赛图问题291
　　9.4实战篇——天然气管道的铺设294
　　习题9297
　　第10章数据处理及应用299
　　10.1数据插值与拟合299
　　10.1.1数据插值300
　　10.1.2数据拟合310
　　10.2一元回归分析323
　　10.2.1一元线性回归的基本概念323
　　10.2.2回归系数和方差的估计325
　　10.2.3一元线性回归方程的检验326
　　10.2.4一元线性回归系数的置信区间328
　　10.2.5一元线性回归方程的预测区间329
　　10.3多元线性回归分析331
　　10.3.1多元线性回归模型331
　　10.3.2多元线性回归模型的基本假设332
　　10.3.3多元回归模型的参数估计332
　　10.3.4多元线性回归模型的统计检验333
　　10.3.5参数的置信区间与模型的预测335
　　10.4非线性回归问题336
　　10.5MATLAB统计工具箱中回归分析命令及其应用338
　　10.5.1多元线性回归338
　　10.5.2多项式回归344
　　10.5.3非线性回归350
　　10.5.4逐步回归353
　　10.6实战篇——气象观测站优化模型359
　　10.7精准扶贫中的贫困人口致贫原因分析365
　　习题10374
　　参考文献379