第1章 绪论
1.1 微分方程数值解法
人类认识客观世界的**任务就是获取复杂对象的各类信息，这是人们从事科学研究、进行工程设计的基础。而在工程技术领域，存在大量的力学问题，力学研究内容丰富，概括地说，包括线性问题和非线性问题、静力学问题和动力学问题。线性问题是以小变形假设为前提的各种静、动力学问题；而非线性问题的种类繁多，如材料非线性问题（非线性弹性问题和弹塑性问题等）、几何非线性问题和多物理场耦合问题（流体和固体的耦合问题，电、磁、热和结构的耦合问题）等。虽然固体力学的问题种类多，但其数学模型可以说是统一的，包括平衡方程（描述内力和外力的平衡关系）、本构方程（描述应力和应变的关系）、几何方程（描述应变和位移的关系）和边界条件以及初始条件（仅针对动力学问题）。线性问题的数学模型是线性的。非线性问题是指三类基本方程和边界条件中至少有一个包含了非线性因素的问题，或数学模型是非线性的物理问题。
在科学技术领域，对于许多力学和物理问题，人们已经获得了它们应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件。但能用解析方法求出精确解的只是少数性质比较简单且几何形状相对规则的问题。对于大多数问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径：一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至错误的解答。因此，人们多年来寻找和发展了另一种求解途径和方法—数值解法。特别是近几十年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
目前，数值分析方法可以分为两大类，一类以有限差分法为代表，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。有限差分法的求解步骤是：*先将求解域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程近似微分方程。当采用较多的结点时，近似解的精度可以得到改进。借助于有限差分法，能够求解某些相当复杂的问题，特别是求解建立于空间坐标系的流体流动问题，有限差分法有自己的优势。因此，在流体力学领域，它至今仍占支配地位。但用于几何形状复杂的问题时，它的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是*先建立和原问题基本方程及定解条件等效的积分提法，然后建立近似解法，如配点法、*小二乘法、伽辽金（Galerkin）法、力矩法等都属于这一类数值方法。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分。相应的近似解法实际上是求解泛函的驻值问题，利兹法就属于这一类近似方法。上述不同方法在不同的领域或类型的问题中得到成功的应用，但是也只能限于几何形状规则的问题，基本原因是：它们都是在整个求解区域上假设近似函数。因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。而有限元法的出现，是数值分析方法研究领域内重大突破性的进展。
1.2 有限元法的基本思想及发展历史
作为一种数值分析工具，有限元法（又称有限单元法或有限元方法）对促进当代科学技术的发展和工程实际应用已经发挥并将继续发挥其重要作用。有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。有限元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个结点的数值及其插值函数来表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，那么近似解*后将收敛于精确解。
从应用数学角度来看，有限元法基本思想的提出，可以追溯到20世纪40年代。航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了越来越高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，正是在这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵力学分析方法。1941年Hrenikoff使用“框架变形功方法”求解了一个弹性问题，1943年Courant发表了一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文，这些工作开创了有限元分析的先河。1956年波音公司的Turner、Clough、Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答；1960年Clough在处理平面弹性问题时，**次提出并使用“有限元法”的名称。随后大量的工程师开始使用这一离散方法来处理结构、流体、热传导等复杂问题。1955年德国的Argyris出版了**部关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的专著，为后续有限元研究奠定了重要的基础；1967年Zienkiewicz和Cheung出版了**部有关有限元分析的专著。1970年以后，有限元法开始应用于处理非线性和大变形问题，Oden于1972年出版了**部关于处理非线性连续体的专著。这一时期的理论研究工作是比较超前的，但由于当时计算机的发展状态和计算能力的限制，还只能处理一些较简单的实际问题。1975年，对一个300个单元的模型，在当时先进的计算机上进行2000万次计算大约需要30h的机时，花费约3万美元，如此高昂的计算成本严重限制了有限元法的发展和普及。然而，许多工程师都对有限元法的发展前途非常清楚，因为它提供了一种处理复杂形状真实问题的有力工具。
在工程师研究和应用有限元法的同时，一些数学家也在研究有限元法的数学基础。从确定单元特性和建立求解方程的理论基础和途径来说，正如上面所提到的，Turner、Clough等学者提出有限元法是利用直接刚度法。直接刚度法来源于结构分析的刚度法，这对我们明确有限元法的一些基本物理概念是很有帮助的，但是它只能处理一些比较简单的实际问题。1943年Courant的那一篇开创性的论文“Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations”就是研究求解平衡问题的变分方法，1963年Besseling、Melosh和Jones等研究了有限元法的数学原理，证明了有限元法是基于变分原理的利兹法的另一种形式，从而使利兹法分析的所有理论基础都适用于有限元法，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和**利兹法的主要区别是有限元法假设的近似函数不是在全求解域，而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。还有学者进一步研究了加权残值法与有限元法的关系。对于一些尚未确定出能量泛函的复杂问题，也可以建立起有限元分析的基本方程，这可以极大地扩展有限元法的应用领域。我国胡海昌于1954年提出了广义变分原理，钱伟长*先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系，冯康研究了有限元分析的精度与收敛性问题。
1.3 有限元法在工程和科学研究中的意义
几十年来，有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题；分析的对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。就工程领域而言，有限元分析是进行科学计算极为重要的方法之一，利用有限元分析可以获取几乎任意复杂工程结构的各种机械性能信息，还可以直接就工程设计进行各种评判，可以就各种工程事故进行技术分析。1990年10月美国波音公司开始在计算机上对新型客机B-777进行“无纸设计”，仅用了三年半的时间，于1994年4月**架波音B-777便试飞成功，这是制造技术史上划时代的成就，其中在结构设计和评判中就大量采用有限元分析这一重要手段。据有关资料，一个新产品的问题有 60%以上可以在设计阶段消除，如果人们有先进的精确分析手段，就可以在产品设计（包括结构设计和工艺设计）时进行参数分析和优化，在*短的时间内制定新工艺，以便获得高品质的产品，而工程计算和评判将在这一过程中起关键作用。
由于有限元法在科学研究和工程分析中具有重要作用和地位，关于有限元法的研究已成为数值计算的主流。目前，国际上通用的有限元分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC/NASTRAN、MSC/MARC、ADINA、ALGOR、PRO/MECHANICA，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA、DEFORM、PAM-STAMP、AUTOFORM、SUPER-FORGE等。
1.4 有限元分析的内容及相关基本概念
固体结构有限元分析的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是采用加权残值法或泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，*后的技术载体是有限元分析软件。在处理实际问题时需要基于计算机硬件平台来进行处理。因此，有限元分析的主要内容包括基本变量和力学方程、数学求解原理、离散结构和连续体的有限元分析实现、分析中的建模技巧、分析实现的软件平台等。
虽然有限元分析实现的*后载体是经技术集成后的有限元分析软件，但能够使用和操作有限元分析软件，并不意味着掌握了有限元分析这一复杂的工具，因为对于同一问题，使用同一种有限元分析软件，不同的人会得到完全不同的计算结果，如何评判计算结果的有效性和准确性，这是人们不得不面对的重要问题。只有在掌握了有限元分析基本原理的基础上，才能真正理解有限元法的本质，应用有限元法及其软件系统来分析解决实际问题，以便获得正确的计算结果。
有限元法是求解微分方程，特别是椭圆型方程系统化、现代化的数值方法。与椭圆型方程等价的另一数学形式是变分原理。正是以变分原理为数学基础，有限元法才在理论上臻于完善，并在实践上取得巨大成功。事实上，近代有限元法和变分原理的发展是紧密联系和相辅相成的。变分原理把求解微分方程的问题转化为在容许函数空间内寻找泛函极值或驻值的问题。若容许函数空间未受到任何人为的限制，则找到的解将与微分方程的解完全等价。实际上，有限元法并不追求问题的精确解，而是在一个大大缩小了的容许函数空间中寻找一个精度能够满足使用要求的近似解。因此，有限元法的另一个数学基础是离散逼近原理。
离散逼近，*先是把求解域划分成一系列称为单元的小区域。这样做可以带来许多好处，例如，便于处理复杂的问题，因为剖分后可使问题的性质在每一个单元内尽可能地单纯化，便于处理参数的不连续性，适配复杂的边界几何形状等。其次是在每个单元内采用已知的函数序列（通常采用多项式函数序列）作为容许函数空间的基底函数，并在相邻单元的公共边界上设法满足按变分原理所要求的连续性条件。*后将全部单元组合拼装起来构成处理原问题的数学模型进行求解。显然，在不违反变分约束的前提下，有限元解的精度依赖于所取容许函数空间的大小，而后者则是单元网格划分精细程度和每个单元线性*立基底函数个数这两个因素的综合。因此，有限元变化的总趋势将是随所取容许函数空间的扩大而向精确解逼近的过程。对于一个给定的问题，为了改善其有限元的精度，具体地说可以采取以下三种方法。
**种方法是不改变各单元上基底函数的配置情况，通过逐步加密有限元网格来使得结果向精确解逼近。与此方法相应的收敛过程称为h收敛过程。这种方法在有限元应用中*为常见，并且往往采用较为简单
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