第1章新华林问题
凡是我们的头脑能够理解的，彼此都是相互关联的.
——莱昂哈德 欧拉
1.1问题的缘起
大约在1736年，华林（图1.1）出生在伯明翰西部什罗普郡，该郡西接威尔士，是英格兰人口*稀疏的地区之一.与牛顿相似，华林也是农庄主的长子，后来作为减费生进入剑桥大学莫德林学院.华林很快就表现出数学方面的超常天赋，1757年，他以**名的成绩获得学士学位并留校任教，两年以后他被任命为著名的卢卡斯讲座教授，这是牛顿曾担任过的职位.
因为华林太过年轻，也尚未获得硕士学位（通常被认为是必要的），圣约翰学院院长反对授予他卢卡斯讲座教授职位，但华林的法学家朋友约翰 威尔逊支持了他.三年以后，华林入选英国皇家学会，但他于1795年退出了学会，理由是“年纪大了”，他是德国哥廷根科学院和意大利博洛尼亚科学院的院士.1767年，华林获得医学博士学位，并曾进行人体解剖，但他的行医生涯不太成功，且十分短暂.
在《代数沉思》这部著作中，华林记录了他的法学家朋友约翰 威尔逊提出的一个猜想，即
对此华林没能给予证明，不过当年，与华林同龄、客居柏林的意大利裔法国数学家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736一1813）便给出了证明，史称威尔逊定理（图1.2）.1801年，威尔逊定理被德国数学王子高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）从素数模推广到一般正整数模（高斯定理）.
也是在1770年，拉格朗日还证明了
每一个正整数均可以表示成4个整数的平方和.
后世称之为“拉格朗日4平方和定理”，恰好给出了本章要介绍的华林问题k=2时的完美解答.但从古希腊数学家丢番图（Diophantiis，活跃时期在公元250年前后）的著作《算术》所举的例子来看，他很可能已经知道这个结论了.而这个猜测的正式提出者是法国数学家、诗人、神学家巴歇（Bachet，1581-1638），他是《算术》拉丁文版（1621）的译者.
巴切特的译本至少是《算术》的第三个拉丁文译本了，是他自费出版的，从中融入了个人的一些观察和注记.特别地，巴切特验算了不超过120的正整数，它们均可以表示成4个整数的平方和.与欧几里得的《几何原本》一样，《算术》也有13卷.
有着“业余数学家之王”美称的法国数学家费尔马（Fermat，1601—1665）拥有的丢番图《算术》正是巴切特的译本，显然，它只有前6卷.据说那是在1621年，20岁的费尔马在巴黎购买的.费尔马在该书页边写下的第18条评注中，声称对此猜想（就像对费尔马大定理等结论一样）已有证明.
除了在《算术》一书空白处做注记以外，费尔马还把他的研究结果写信告诉给一些同行.例如，费尔马在给同胞数学家、物理学家罗伯瓦尔（deRoberval，1602一1675）的信中提到，上述猜想的证明是挺难的，他*终得以克服这些困难是利用了自己发明的无穷递降法.
遗憾的是，人们始终没有找到费尔马的证明，即便是后来对费尔马研究过的问题逐一探究的瑞士数学家欧拉（Euler，1707—1783），也没有能够给予证明.事实上，费尔马的第18条评注*后形成的是下列更强的定理.
费尔马多角形数定理当n>3时，每个自然数均可表示成不超过个角形数之和.
这里的角形数（n-gonal number）是如图描绘的正角形数的黑点的个数，它们属于形数的一种.形数（figurate number）是指可以排列成某种形状的数，毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子.小石子能构成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数.
例如，1，3，6，10，21， 为三角形数，即二项式系数
特别地，保龄球的木瓶和斯诺克的目标球的排列形式是三角形，它们的个数分别是10和21.又如，四角形数1，4，9，16，25， 为平方数.一般地，n角形数的通项为
费尔马在评注里提到，上述命题显示了数论的神秘和深刻，他还说自己打算为此写一本书，却没有动笔.一个世纪以后，当欧拉读到这个评注时颇为激动，同时也为费尔马没有留下任何证明而遗憾.可以说，是费尔马把这个古老的数学游戏提升成问题.从那以后，欧拉成为费尔马在数论领域的继承人，他对费尔马的诸多断言都进行了论证，包括上述同余理论的费尔马-欧拉定理，但他对n角形数的问题却未能给出答案.
直到1770年，拉格朗日在欧拉工作的基础上，*后证明了n=4的情形，即巴切特猜想或4平方和定理.此时，拉格朗日从都灵来到柏林接替返回圣彼得堡的欧拉工作已经四年.n=3的证明是由高斯在1796年给出的，那会儿他才是19岁的少年.至于一般情形，则是由法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789—1857）于1813年证明的，那一年拉格朗日去世了（图1.3）.
对于n=3这个少年之作，高斯在笔记本上写下它的时候，在旁边注上Eureka!（找到了）那是古希腊数学家阿基米德（Archimedes，公元前287—前212）发现浮体定律时说过的话，由此可见高斯自己十分看重.对于有些数论问题来说，n=3通常比n=4的情形要难，比如费尔马大定理，也是n=4证明在先（费尔马，1637），n=3在后（欧拉，1753）.欧拉是在客居柏林期间，写给德国数学家哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）的信中宣布这一成果的.
高斯*先证明，形如8n+3形的正整数均可以表示成三个整数的平方和.然后，假设，易知a，6和c必全为奇数，令，由代数恒等式
即得
对于n=4的情形，德国数学家雅可比（Carl Gustar Jacobi，1804一1851）在1828年给出了一个新的强有力的证明.对于任意的非负整数n，假设它能表示成4个平方数之和的表示法次数为a（n），雅可比的方法利用了是自守形式这个事实.
回到1770年，那年拉格朗日给出了巴切特猜想的**个证明.那年英国诗人华兹华斯（William Wordsworth，1770-1850）出生，德国出生的名人有诗人荷尔德林（J.C.F.Holderlin，1770-1843）、哲学家黒格尔（G.W.F.Hegel，1770-1831）和音乐家贝多芬（Ludwigvan Beethoven，1770-1827）.那年俄土战争仍在进行中，英国探险家库克船长（James Cook，1728-1779）仍在大洋洲海岸航行，他的同胞化学家普利斯特列（J.Joseph Priestley，1733-1804）建议使用橡皮擦来去除铅笔痕迹.在中国的春节，为庆祝自己的60岁寿辰，乾隆皇帝宣布全国免除应征地丁钱粮.
华林在同年出版的《代数沉思》中，不仅包括了巴切特猜想，还将其做了推广，他指出任给正整数k，存在正整数s=s（k），使得每一个正整数n均可表示成s个非负整数的k方和，即
这便是著名的华林问题，拉格朗日4平方和定理可谓是华林问题与费尔马多角形数定理的交集.在华林问题诞生之后，希尔伯特证明一般存在性之前的139年里，对某些特殊的情形已有所进展，比如k=3，4，5，6，7，8，10.在希尔伯特证明了对任意的fc成立以后，这个结论也被称为希尔伯特-华林定理.
在s（k）的存在性问题解决以后，人们开始关注它的大小，设g（k）表示*小的正整数，使得每一个正整数均可表示成g（k）个非负整数的k方和.
因为7=22+3xI2不能表示成3个整数的平方和，由拉格朗日定理即知.
1772年，欧拉的儿子J.A.欧拉猜测
这个猜测是在欧拉结果的基础上做出的，欧拉证明了对于A:>2，上式右端是g（k）的下界.这个猜测可以说是非常准确的，但是迄今尚未被证明.1990年，J.M.Kubina和M.C.Wunderlich验证了，猜测对于k彡471600000成立.KurtMahler证明了，至多有有限多个例外的k.
1909年，德国数学家维夫瑞奇（Arthur Wieferich）证明g⑶=9，后来被发现证明有漏洞；1912年，由英国出生的美国数学家肯普纳（A.J.Kempner）补正.1986年，三位数学家巴拉苏布拉曼尼（Ramachandran Balasubramanian）、德雷斯（Pransoise Dress）和德西霍勒（Jean-Marc Deshouillers）合作证明了.1940年，印度数学家皮莱（Subbayya Pillai，1901—1950）证明了.1964年，中国数学家陈景润（1933—1996）证明了.
值得一提的是巴拉苏布拉曼尼等三人的工作是利用了陈景润的方法并加以改进，作为巴拉苏布拉曼尼的前辈，皮莱则被认为是拉曼纽扬之后*重要的印度数学家之一.著名的皮莱猜想是说：
对任意正整数k，至多存在有限多对正整数幂（x'yq），满足yq=k.
1946年，时任西南联大教授的华罗庚由昆明出访苏联途中经停加尔各答，曾与皮莱做了交流.不料四年以后，皮莱应邀赴美国普林斯顿高等研究院访学一年，他计划先去哈佛大学参加国际数学家大会，不幸途中在开罗转机时因为飞机失事身亡.
另一方面，由英国数学家哈代（G.H.Hardy，1877—1947）和李特尔伍德（E.Littlewood，1885—1977）的工作可知，比g（k）更本质的函数是G（k）.这里G（k）表示*小的正整数，使对充分大的正整数均可表示成G（fc）个非负整数的k次方和.显而易见，G（k） 1939年，达文波特证明了（参见Vaughan1第6章第2节）：G（4）=16.达文波特利用了哈代和李特尔伍德创立的圆法，事实上，他证明的是下列结论：对充分大的n吴0（mod16），（mod16）均可表示成I4个整数的四次方之和 那样一来，考虑到，任何充分大的正整数均可表示成16个整数的四次方之和 从而.
至于，我们可用初等方法来证明，参见第18章第2节.注意到，故而每个形如16m+15的正整数至少需要15个四次方之和，即.又若，则有，故
这里识（.又因31不能表示为少于16个四次方之和，故1不能表示为15个四次方之和.如此进行下去，必有一个序列趋于无穷，每个数均不能表示为15个四次方之和.因此.
这是一个令人吃惊的结果.因为除此以外，人们只能确定的范围，比如不过，有人猜测.迄今为止，已发现不能表为4个正整数之和的*大的整数是.对于，人们所知甚少，例如，年，李红泽（参见）曾证明.
另一方面，哈代和李特尔伍德猜测，对于.目前，的上界估计是迄今唯一的证据.作为数论的中心问题之一，华林问题未在1900年被希尔伯特列入面向未来的23个数学问题之列，只能说是一种遗憾.或许在1900年的时候，希尔伯特尚未接触到这个问题.而一旦有了希尔伯特-华林定理之后，它便开始吸引越来越多的数论学者.可惜在漫长的时间里，华林问题的进展甚为缓慢.
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