第1讲 数学是什么
　　Comte (科姆特): 数学是人类理性*原始的源泉.
　　数学是人类征服自然的有力武器. 本讲阐述数学的本性和特点.
　　1.1 数学的本性
　　数学位于一切科学之*， 渗透到自然科学和日常生活中， 每个受教育的人都要学习数学. 那数学到底是什么， 不同的人会有不同的理解. 在一般人心目中数学是抽象难懂的天书， 学生会认为数学是智力游戏， 工程师和物理学家认为数学只是他们用到的一种方法和工具， 有的哲学家认为数学不过是一小串一小串无聊的逻辑推理组成的长链， 而数学家则认为数学是一门崇高的艺术.
　　要想给数学下个准确定义是很难的， 随着时代的变迁， 数学的含义和内容会有所不同. 例如: 在 18 世纪， 力学是数学的分支; 现在， 力学则是物理的分支. 革命导师 Engels (恩格斯) 认为数学是研究现实世界空间形式与数量关系的一门科学， 这包括了算术、代数和几何学. 但现在数学不只是算术、代数和几何， 还有拓扑、分析和概率论等分支， 因此该定义已不再实用. 法国大数学家 Weil (韦伊) 说，非要给某些东西下定义是愚蠢的. 例如: 猫不一定会定义什么是老鼠， 但他闻到鼠味就知道是老鼠， 不是老鼠也能辨别， 这就够了. 尽管很难给数学下定义， 但数学的一些共同特征是人们所公认的.
　　1. 数学是一项崇高的智力活动
　　毫无疑问， 数学训练人的思维， 反映人们积极进取的意志， 以及对严谨推理及完美境界的追求. 数学与音乐看起来风马牛不相及， 但这两个学科却极为相似， 都是用简单的阿拉伯数字和若干符号编织无限奇妙的世界.
　　Poincaré (庞加莱): 数学研究所用外部景观*少， 探讨内在世界*多， 因而*接近人类心灵的本质.
　　Selberg (塞尔贝格): 我很同情非数学家， 我觉得他们失去了一种*激动人心的报酬丰厚的智力活动.
　　2. 数学是人类征服自然的有力武器
　　自欧洲文艺复兴以来， 人们就确信大自然是用数学设计的. Kepler (开普勒)说: “自然界的和谐是上帝用数学语言透露给我们的.” 可以说， 数学是科学的催生婆， 它的成长和发展伴随着宇宙的欢呼.
　　数学是研究自然的重要方法和打开自然奥秘的钥匙. 反过来， 数学也深受自然科学的影响. 数学的*初思想与*好灵感都来自于经验， Fourier (傅里叶) 有句名言: “对自然界的深刻研究乃是数学发现*富饶的源泉.”的确， 今天数学中的大部分分支都是由自然科学特别是物理学所激励而产生的. 自然科学不断地向数学提出问题， 而这些问题的解决就促进了数学向前发展. 正如大数学家 Poincaré 所说: “物理不仅给我们以解决问题的机会， 而且促使我们预料到问题的解.”
　　英国物理学家 Maxwell (麦克斯韦) 在 1873 年出版《电磁通论》， 用高深的数学革新电磁理论， 特别建立了 Maxwell 方程， 并用他的方程式导出电、磁、光的几乎所有规律. Maxwell 预言变化的电场产生变化的磁场， 变化的磁场产生变化的电场， 从而存在电磁波. 他用他的方程式计算了电磁波的速度， 接近每秒 30 万公里， 与光速一致， 由此他推断光就是电磁波. 当时物理学家与数学家都读他的书， 数学家认为他创造了一个漂亮的理论， 物理学家觉得用的数学太高深难以读懂， 物理学家 Boltzmann(玻尔兹曼) 读了十几年， 感慨地说: “难道这不是出自上帝之手吗？” 无论当时的数学家还是物理学家， 几乎都不相信 Maxwell 理论真实地反映自然界规律. Maxwell去世 8 年后， 物理学家 Hertz (赫兹) 验证了电磁波的存在并证明了光就是电磁波.可以说， 正因为有了 Maxwell 的电磁理论和 Hertz 的实验， 才有今天的文明.
　　Einstein (爱因斯坦) 在 1916 年出版《广义相对论基础》， 用 Riemann (黎曼) 几何建立广义相对论， 并应用于宇宙学研究. 玻恩 (Born) 说: “广义相对论是人类思想史上*伟大的成就， 是物理的直觉、哲学的深奥与数学的技巧*惊人的结合. ” 广义相对论断言每个大质量天体都会产生引力场， 导致周围的时空弯*， 而这弯*的时空结构正好对应 Riemann 几何， 物理学家关心的场强等物理量与 Riemann 引入的*率等几何量正好一一对应， 好像物理学变成了几何学. 这令几代数学家和物理学家激动不已.
　　3. 数学是关于定理的学问
　　此观点要求人们关注数学定理的五个方面: 怎样发现定理， 怎样证明定理， 怎样理解定理， 怎样推广定理， 怎样应用定理. 数学教学中往往忽视指导学生怎样发现定理， 这直接影响学生数学创造能力的培养.
　　1.2 数学的特点
　　1. 抽象性
　　数学抽象难懂， 可正因为抽象才更加有用. 自然数是抽象的， 1 既可表示一个人，也可表示一本书或一头猪. 点和直线也是抽象的， Euclid (欧几里得) 在《几何原本》中说: 点是没有大小的， 直线是两端笔直、没有宽度、无限延长的. 我们生活在三维空间， 可数学家对所有正整数引进 n 维空间， 并研究无穷维空间与分数维空间.
　　2. 严密性
　　数学是精确科学， 体现为对现实世界的精确描述以及数学真理的不可争辩.17 世纪数学家和哲学家 Descartes (笛卡儿) 梦到寻求科学真理的方法只能是数学方法， 立足于公理上的证明是无懈可击的， 且不是任何权威所能左右的. 如果一个默默无闻的大学生解决数学难题， 只要证明正确， *终都会被承认. 而一个名人宣布解决猜想， 只要其证明有错， *终都不被承认.
　　Hecke (赫克): 在别的学科中， 每代人都推翻前人建立的理论， 而只有在数学中才是每代人都更上一层楼.
　　如在物理学中不同时期对重物下落原因解释不同， Aristotle (亚里士多德) 解释说: 一切物体都有自然位置， 有回到自然位置的本能， 重物中土成分多， 而土的自然位置就在下面， 所以重物下落. Newton (牛顿) 认定重物下落是由于地球的引力， Einstein 则认为重物下落以及行星、卫星运动是引力场造成时空弯*后物体沿短程线运动的必然结果.
　　3. 应用性
　　自 17 世纪以后， 数学在自然科学研究中的重要性与日俱增， **颗小行星谷神星的寻找、海王星的预言、Maxwell 的电磁理论、Einstein 的相对论、量子力学的创建都因成功地运用数学而取得巨大成功. 今天， 数学也已经渗透到化学、生物学、地质学、经济学等各个学科， 成为这些学科必不可少的重要工具， 是衡量该学科成熟与否的重要标志.
　　Demoulins (德莫林斯): 没有数学， 我们无法看穿哲学的深度；没有哲学， 人们也无法看穿数学的深度；而若没有这两者， 人们就什么也看不透.
　　Gauss (高斯): 数学是科学的女皇， 也是科学的女仆.
　　White (怀特): 工匠后面是化学家， 化学家后面是物理学家， 而物理学家后面则是数学家.
　　奥地利数学家 Radon (拉东) 于 1917 年发现 Radon 变换及其反演公式， 其核心思想是在知道平面区域上函数积分值后如何重现这个函数，*次从数学上证明了通过多角度投影重建物体内部结构的可行性， 从而从理论上解决了重建人体图像的问题. 这个发现对于数学本身及其应用都有重大影响. *重要的， 毫无疑问，是将 Radon 变换应用于医学， 导致 CT(computed tomography， 计算机断层扫描)技术的诞生: 研究隐藏于机体内的形成物的方法， 包括在其照射下获得目的物的分层影像. 体层 X 射线摄影术无疑是 20 世纪后半叶*伟大的技术成果之一.
　　现在许多数学家已经放弃了应用， 只研究纯粹数学. 数学正向抽象化、一般化、专门化和公理化方向发展.
　　Jacobi (雅可比): 繁荣人类的精神是一切科学的唯一目的， 在这种观点下， 数的问题和关于世界体系的问题具有同等的价值.
　　Poincaré: 忘记外部世界的纯数学家就像是没有模特的画家.
　　Klein (克莱因): 数学就像是和平时期的一个伟大的兵工厂， 橱窗里满是巧妙、精致和好看的各种玩艺， 它们的真正动机和目标——战斗和征服敌人——已经几乎完全被遗忘了.
　　4. 艺术性
　　数学具有艺术性， 是因为数学美令人印象深刻.
　　Russell (罗素): 数学的美是冷而严肃的美.
　　Poincaré: 科学家研究自然并非因为它有用处；他研究它， 是因为他喜欢它；他之所以喜欢它， 是因为它是美的. 如果自然不美， 它就不值得我们了解. 如果自然不值得了解， 生活也就毫无意义.
　　Dirac (狄拉克): 那些奠基者的方程都具有触目惊心的数学的美.
　　数学美的例子很多， 如勾股定理、Newton-Leibniz (牛顿–莱布尼茨) 公式. 数论中的如下二次互反律也特别漂亮.
　　二次互反律: 设 p 和 q 是不同的奇素数 (质数)， 则当 p， q 中至少有一个为4k + 1 形数时， 不定方程 x2 = q + py 有整数解当且仅当 x2 = p + qy 有整数解;当 p， q 均为 4k + 3 形数时， 不定方程 x2 = q + py 有整数解当且仅当 x2 = p + qy无整数解.
　　Gauss 称二次互反律为 “算术中的宝石”， 共给出八个不同证明.
　　5. 竞技性
　　因为有众多同行和对自己优先权、成就和荣誉的看重而使数学研究同样充满竞争. 与其他学科不同， 数学研究*适合单干和发挥个人的聪明才智.
　　比如: 20 世纪 40—70 年代 Goldbach (哥德巴赫) 猜想研究竞争激烈， *终我国数学家陈景润取得 (1+2) 的*好成果， 即每个充分大偶数都是一个素数与另外一个至多是两个素数乘积的数之和. 此项成果， 不仅为陈景润， 也为中国解析数论学派甚至中华民族带来莫大的荣誉.
　　参考读物
　　[1] Kline M. 数学: 确定性的丧失. 李宏魁， 译. 长沙: 湖南科学技术出版社， 1997.
　　[2] Poincaré H. 科学的价值. 李醒民， 译. 北京: 光明日报出版社， 1988.
　　第2讲 **不等式
　　Novalis (努瓦列斯): 数学方法是数学的本质， 充分了解这种方法的人才是数学家.
　　不等式在初等数学和数学研究中经常出现， 一些重要的不等式更是人们解题和证明定理的工具， 本讲介绍一些**不等式及其巧妙的证明.
　　定理 2.1 (算术–几何平均不等式) 设 a1， a2， ， an 为正实数， 则有

目录
前言
常用记号
第1讲 数学是什么 1
1.1 数学的本性 1
1.2 数学的特点 2
参考读物 4
第2讲 **不等式 5
参考读物 12
第3讲 抽屉原理与Ramsey定理 13
3.1 抽屉原理 13
3.2 Ramsey数 R(n， k) 15
参考读物 18
第4讲 组合数与组合恒等式 19
参考读物 28
第5讲 连分数与Pell方程 29
5.1 辗转相除法 29
5.2 有限连分数 30
5.3 无限连分数 32
5.4 循环连分数 39
5.5 d连分数与Pell方程 43
参考读物 49
第6讲 代数方程 50
参考读物 60
第7讲 素数与同余方程 61
7.1 素数 61
7.2 同余概念与性质 64
7.3 Fermat小定理和Wilson定理 65
7.4 同余方程 67
参考读物 68
第8讲 同余覆盖系 69
参考读物 78
第9讲 二次互反律 79
参考读物 86
第10讲 Chebyshev 多项式 87
参考读物 92
第11讲 Legendre多项式 93
参考读物 101
第12讲 sin x的无穷乘积公式 102
参考读物 106
第13讲 二元二次型 107
参考读物 122
第14讲 分拆数与因子和 123
参考读物 132
第15讲 Stirling数 133
参考读物 148
第16讲 p-正则函数 149
参考读物 157
第17讲 Bernoulli数与 Euler数 158
17.1 Bernoulli数与Bernoulli多项式 158
17.2 Euler数与Euler多项式 170
参考读物 177
第18讲 线性递推序列与三、四次同余式 179
18.1 高阶递推序列 179
18.2 Lucas序列 185
18.3 三、四次同余式 190
参考读物 199
第19讲 组合数等距求和公式及其应用 201
19.1 Tnr(3)与Tnr(4)公式及其应用 201
19.2 Tn r(5)与Tnr(6)公式 206
19.3 Sr(n)递推关系与Tnr(9)公式 211
19.4 Tnr(8)公式与Pell数同余式 218
19.5 Tnr(10)公式与Fibonacci数同余式 223
19.6 Tnr(12)公式 231
19.7 与Tnr(m)有关的同余式 234
参考读物 236
第20讲 不变序列与反不变序列 237
20.1 不变序列例子与转换关系 237
20.2 不变序列的递推关系 249
20.3 不变序列的变换公式 259
20.4 不变序列的同余式 263
参考读物 267
第21讲 二项式系数的同余式 268
21.1 单个二项式系数和的同余式 268
21.2 两个二项式系数乘积之和的同余式 281
21.3 三个二项式系数乘积之和的同余式 308
参考读物 325
第22讲 类似Apéry数 328
22.1 三项递推序列的恒等式与同余式 328
22.2 **类Apéry-like数 332
22.3 第二类Apéry-like数 365
参考读物 390
第23讲 群的概念与性质 395
23.1 群的定义与例 395
23.2 陪集与Lagrange定理 399
23.3 子群与正规子群 401
23.4 群的同构 403
参考读物 404
第24讲 三、四次剩余 405
24.1 Euler与Gauss关于三、四次剩余的工作 405
24.2 三次互反律及其优先权争论 407
24.3 Dirichlet， Scholz和Burde的有理四次互反律 409
24.4 用群表述的有理三、四次互反律 410
24.5 用二元二次型判别三、四次剩余 413
参考读物 414
第25讲 对称设计与差集 416
25.1 对称设计 416
25.2 差集 419
参考读物 422
附录 数学英雄Euler 423
参考读物 427