水力耦合分析一直是岩土工程中的热点问题，其在水利工程建设、油气开采及废料处置等常见工程中均有涉及。《水力耦合模拟——数值流形法与多尺度分析》重点关注岩土体水力耦合分析面临的多相多场耦合分析、非连续表征及复杂非均质特性模拟三个主要难点，主要讨论数值流形法(NMM)和多尺度理论在水力耦合问题中的应用。对于多相多场耦合分析与非连续表征，《水力耦合模拟——数值流形法与多尺度分析》论述了线弹性不可压缩变形、连续与非连续饱和Biot模型以及非饱和广义Biot的混合NMM解法。同时给出了水力耦合分析高阶NMM的构造以及骨架非线性滞回变形的模拟方法。对于复杂非均质特性模拟，《水力耦合模拟——数值流形法与多尺度分析》展示了非均质孔隙介质水力耦合一阶多尺度模型的构建方式，并推导了宏观尺度切向算子的显示理论解。此外，《水力耦合模拟——数值流形法与多尺度分析》还率先建立了水力耦合多尺度分析整体求解算法。作为水力耦合多尺度分析的实际应用，《水力耦合模拟——数值流形法与多尺度分析》*后还研究了非均质工程材料等效水力特性评估以及非连续非均质孔隙介质动态水力特性模拟。

第1章 绪论
　　土体是人类工程生活中常见的一种材料。由于产生过程中经过物理、化学和生物等风化作用，土体是由固体颗粒和颗粒间的流体、空气等组成的多孔介质，可以看作由固体骨架组成的固相和在骨架孔隙间流动的流体和空气组成的液相所构成的多相介质(Terzaghi， 1943; 李广信， 2004)，因此土体在外力作用下表现出明显的多相多场耦合力学特性。非饱和土的孔隙中含有多种流体，如水、油和空气等，饱和土的孔隙则被单一的流体充满。土体可以是连续的，也可以是非连续的，非连续土体中一般含有剪切带和夹层等非连续面。在外部载荷作用下，土体内部会同时产生骨架变形(M)和液体迁移(H)。液体的迁移会通过孔隙压力、液体黏滞力等影响骨架的变形，而骨架变形会使渗流特性、土水特性等发生改变，从而反过来影响液相的迁移。这种骨架变形和液体迁移间的相互影响、相互作用称为水力耦合或者HM耦合问题。在大型水利水电、交通、深部油气开采、废料处置(王驹等， 2004; Cowin， 1999; Jha and Juanes， 2007; Moeendarbary， 2013; Prevost and Sukumar， 2016; Chan et al.， 2022)等工程活动中普遍涉及复杂地质环境、水环境、化学环境下岩土体的固结变形和稳定控制问题。例如，石油工程中，土石颗粒、水、油和气体构成了一个复杂的耦合系统。土石颗粒的变形、破裂和水、油、气体在土石颗粒间及裂纹内的渗流直接影响了钻井孔的稳定性和石油产量。再如，在水力压裂和二氧化碳封存工程中，岩土体力学变形和液、气渗流间的耦合作用不仅会影响已有裂纹的稳定性，还会影响岩土层的孔渗特性，*终影响油气开采及二氧化碳封存效率。此外，地震、降雨引起的边坡失稳和滑坡等灾害中，水和气体的入渗和迁移会直接引起土体有效应力和力学性质的改变，从而诱发边坡变形和破坏，而边坡的变形也会改变土体的渗透特性以及水和气体的渗透路径，即地震、降雨作用下的边坡中形成了骨架变形、气相和液相迁移的水力耦合系统。综上可见，岩土体的水力耦合、变形模拟和稳定控制是水利水电和能源等重大工程中的核心技术问题。
　　建立描述岩土体水力耦合过程的数学模型时，一般将岩土体视作多相孔隙材料，赋予每个相*立的位移场、速度场和应力场。一般视Terzaghi建立的一维固结理论为*早的饱和土水力耦合模型(Terzaghi， 1943)。此后，基于一维固结理论，毕奥(Biot)建立了三维饱和土体水力耦合微分控制方程(Biot， 1941)(即Biot模型)。随着混合理论(mixture theory)(Green and Naghdi， 1969)和平均理论(average theory) (Morland， 1972)的建立与发展，Fredlund和Morgenstern(1977)、Chang和Duncan(1983)以及Schrefler和Scotta(2001)通过将气体作为*立的相进行考虑，将Biot模型推广至非饱和情形，建立了非饱和岩土体固、液、气全耦合模型。在非饱和岩土体全耦合模型的基础上，Bolzon和Schrefler(2005)进一步考虑了热耦合作用。Zienkiewicz等(1990a， 1990b)进行水力耦合分析时考虑了岩土体骨架的材料非线性和大变形问题。
　　另一方面，常用的水力耦合数值求解格式主要有三种，即骨架位移-流体速度-孔隙压力(u-w-p)格式、骨架位移-孔隙压力(u-p)格式和骨架位移-流体速度(u-w)格式(Chan et al.， 2022)。其中，u-w-p格式同时考虑了固相和液相的加速度，是一种完全动态格式，特别适用于分析高频载荷和冲力载荷作用下岩土体的动态水力响应，如人体软组织在冲击荷载作用下的响应(Cowin， 1999; Moeendarbary， 2013; Lotfian and Sivaselvan， 2018)、地震引起的土体液化(Chan et al.， 2022)、冲击载荷引起的饱和土体内的波传播(Komijani and Gracie， 2019)模拟等。当施加载荷的速度足够缓慢，流相相对于固相的加速度较小时，可忽略流相的惯性作用得到u-p格式。由于形式简单、数值实现方便且容易进行理论分析(Murad and Loula， 1994; 朱伯芳， 1998)，u-p格式在岩土体水力耦合模拟中得到了广泛应用，尤其是内部含非连续面岩土体的水力耦合问题，如水力压裂和油气开采工程中已有裂纹的稳定性评价等(Khoei et al.， 2015)。*后，对于液相可压缩情形，可将孔隙压力p消去，得到u-w格式。该格式主要用于分析砂土的地震液化问题。由于u-w格式未对孔隙压力场进行直接插值离散，该格式不适用于求解对孔隙压力精度要求较高的问题(Simon et al.， 1986; Gajo et al.， 1994; Chan et al.， 2022)。
　　考虑到固、液、气全耦合分析的数学模型较为复杂，实际问题又涉及复杂的边界条件、材料非线性、几何非线性以及多场间的耦合等，使用解析方式求解岩土体的全水力耦合问题非常困难。实际上，对于简单的一维问题才可能存在解析解。模型试验不仅成本高、耗时长、结果受现场勘测精度、试验制样以及结果测量精度的影响，而且仅适用于边界条件及试验过程相对简单的问题(Liakopoulos， 1964; 胡冉， 2016)。数值方法则能够较好地解决解析方法和模型试验所遇到的难题。近年来，随着计算软硬件技术的发展，数值方法的计算效率、精度和尺度均有了质的提升。常用的求解孔隙介质水力耦合问题的数值方法包括有限单元法(finite element method，FEM)、广义有限单元法(generalized finite element method，GFEM)、无网格法(meshfree method，MM)、扩展有限单元法(extended finite element method，XFEM)、边界元法(boundary element method，BEM)、相场法(phase field method)、等几何分析(isogeometric analysis)和数值流形法(numerical manifold method，NMM)等。
1.1 水力耦合分析数值方法
　　本节简要叙述用于多场多相水力耦合模拟的常用数值方法，阐述各种方法的优缺点，并对各种数值方法进行对比，阐明采用NMM进行饱和、非饱和岩土体固结分析和全耦合水力模拟的优势。
　　1. 有限单元法
　　有限单元法(FEM)的基本思想*早由Courant于1943年提出，随后从20世纪50年代至20世纪70年代经过工程师和数学家的进一步研究和发展已成为目前应用*广泛的偏微分方程求解方法(Courant， 1994; Hughes， 1987; 王勖成， 2003)。随着计算机软件和硬件的快速发展，如今FEM已拥有大量的开源程序和成熟的商业软件，如ABAQUS和ANSYS等。FEM*主要的优点是能适应复杂的边界条件和几何形状，方便地模拟材料非线性和几何非线性。需要指出的是，求解某些问题时，如弹性不可压缩问题、板壳弯*问题以及本书讨论的水力耦合问题，需要使用基于广义变分原理建立的混合有限单元法(mixed finite element method)。为了得到稳定收敛的计算结果，混合FEM对各个基本变量的插值离散格式有严格的阶数要求(Hughes， 1987; Chen， 2005; Boffi et al.， 2013; Bathe， 2014)。
　　标准FEM的主要困难表现在对非连续问题的处理上。对于裂纹扩展问题，标准FEM要求单元的边界必须与不连续面重合。因此，求解裂纹扩展问题时，标准FEM会在网格更新或重新划分上产生大量时间消耗。对于标准FEM，虽然可以使用单元删除法(element deletion method)或内部单元裂纹法(interelement crack method)(Song et al.， 2008)等减少网格划分的时间消耗，但使用这些方法会引起裂纹扩展的网格依赖性。其次，由于使用多项式函数进行离散插值，标准FEM对于某些问题的模拟精度较差，如裂纹尖端应力场的奇异性以及材料界面应变场的高梯度变化等。*后，标准FEM通常采用界面单元(interface element)或无厚度节理单元模拟不连续面，但这些单元一般仅适用于含有简单不连续面的小变形问题。此外，如果在水力耦合分析中采用界面单元或无厚度节理单元模拟不连续面，应同时在界面单元或节理单元上进行变形和孔压场的离散插值，这在标准FEM中较难实现(de Borst， 2017)。
　　2. 广义有限单元法
　　广义有限单元法(GFEM)的概念于2000年由Strouboulis及其合作者基于标准FEM和单位分解方法(partition of unity method，PUM)*先提出(Melenk?and Babu?ka， 1996; Strouboulis et al.， 2000a， 2000b)。相比于标准FEM，GFEM将一些特殊形函数引入多项式函数空间或者取代多项式函数空间中的某些形函数，从而获得对非光滑现象，如奇异性、位移高梯度变化、交界面等(Fries and Belytschko， 2010)，更高的模拟精度。引入形函数时可以是整体上引入也可以是局部上引入，可以与网格相关也可以与网格无关，这些都取决于具体问题。比如对于裂纹扩展问题，引入与网格无关但能反映不连续性和应力奇异性的形函数，既可以显著提高模拟精度又能避免网格的重新划分。GFEM主要的缺点在于，特殊形函数的引入会增加未知数的数量，尤其是当奇异性、高梯度变化区域增大时引入形函数的数量会越来越多，导致*终方程难以求解；其次，特殊函数的引入有可能导致*终方程组线性相关(linear dependence，LD)(Tian et al.， 2006; Cai et al.， 2010; 郭朝旭和郑宏， 2012; 杨永涛， 2015)；此外，引入特殊形函数后，*终的形函数一般不再具有Delta属性，需要使用罚函数法或拉格朗日乘子法施加边界条件；*后，由于引入了特殊形函数，*终插值格式的阶次一般会升高，所以使用GFEM时需要特别注意数值积分阶次的选择。GFEM常和其他数值方法，如扩展有限元法(XFEM)等，结合求解不连续岩土体的水力耦合问题。值得说明的是，求解连续问题时，GFEM、NMM和XFEM本质上可认为是相同的方法，但求解不连续问题时，它们之间具有明显的差异(杨永涛， 2015)。
　　3. 扩展有限单元法
　　基于PUM和标准FEM，Belytschko于1999年针对裂纹扩展问题建立了XFEM(Belytschko and Black， 1999; Dolbow and Belytschko， 1999)。XFEM通过向标准FEM函数空间中引入非连续函数来模拟非连续变形，如引入Heaviside函数模拟裂纹两侧的位移阶跃。XFEM只在裂纹、材料面附近进行函数扩展，在远离裂纹、材料面的连续区域仍然采用标准FEM进行离散。XFEM一般在被裂纹贯穿单元所属节点的形函数中引入广义Heaviside函数模拟被贯穿单元中的位移不连续，而在含裂纹尖端单元所属节点的形函数中引入渐进扩展函数(asymptotic function)模拟含裂纹尖端单元上的位移不连续和应力奇异性。由于XFEM中引入的非连续函数和渐进函数不受网格影响，所以XFEM不需要标准FEM所需的网格重新划分，而且也不会引起裂纹扩展的网格依赖性(Mohammadi， 2008)。此外，引入非连续函数不会使XFEM出现线性相关问题。目前，XFEM已经成功用于求解二维和三维饱和孔隙介质水力压裂问题(Khoei?et?al.， 2015; de Bors

目录
前言
第1章绪论1
1.1水力耦合分析数值方法3
1.2水力耦合数值分析研究进展8
1.2.1连续饱和水力耦合8
1.2.2非连续饱和水力耦合11
1.2.3非饱和岩土体水力耦合13
1.3本书的主要内容14
第2章弹性不可压缩问题16
2.1弹性不可压缩基本方程16
2.2NMM基本概念19
2.2.1覆盖系统19
2.2.2NMM函数空间21
2.3弹性不可压缩问题的NMM求解格式24
2.4数值算例26
2.4.1自由端受剪切力作用的悬臂梁27
2.4.2带圆孔的无限大板30
2.4.3Cook梁33
2.4.4顶壁驱动腔体问题34
2.5上下限数值测试36
2.6本章小结39
第3章饱和连续岩土体水力耦合问题40
3.1动力固结基本控制方程40
3.2u-w-p格式水力耦合分析空间域NMM离散43
3.3时间离散时间域Newmark离散45
3.3.1离散格式46
3.3.2NMM框架下的质量矩阵集中化48
3.3.3能量平衡条件49
3.4数值算例50
iv水力耦合模拟——数值流形法与多尺度分析
3.4.1受均布压力作用的半无限大饱和土50
3.4.2受偏斜载荷作用的饱和土基础56
3.5收敛性测试59
3.6水力耦合模拟中的闭锁问题61
3.6.1渗透性极小的方形悬臂梁61
3.6.2顶部受压的饱和黏土边坡66
3.7本章小结68
第4章饱和非连续岩土体水力耦合问题69
4.1饱和非连续水力耦合变分形式69
4.2饱和非连续岩体水力耦合分析u-w-p格式NMM离散72
4.2.1骨架位移、流体流速和孔隙压力场的NMM插值函数72
4.2.2位移扩展格式的ND5W5P1模型74
4.3摩擦接触模型的数值实现75
4.4变分方程的完全离散格式77
4.5数值算例78
4.5.1非连续饱和岩土体动力固结分析79
4.5.2摩擦接触模型的有效性82
4.5.3水力载荷作用下饱和岩土体水力耦合分析83
4.5.4水力载荷作用下多裂纹饱和岩土的水力耦合模拟85
4.6饱和岩土体中的波传递问题86
4.6.1连续饱和岩土体87
4.6.2非连续饱和岩土体90
4.7本章小结92
第5章饱和岩土体水力耦合分析高阶NMM方案93
5.1单元T3-MINI-CNS94
5.1.1单元T3-CNS95
5.1.2单元T3-MINI-CNS及u-w-p三相场插值格式98
5.2单元T3-MINI-CNS求解弹性不可压缩问题100
5.3单元T3-MINI-CNS上下限数值测试102
5.3.1上下限测试103
5.3.2低渗透性方形孔隙介质104
5.3.3顶部受压的黏土边坡107
5.4连续饱和岩土材料动力固结109
5.4.1受均匀分布压力作用的半无限大饱和土109
5.4.3受偏斜压力作用的饱和土基础117
5.5非连续饱和岩土体水力耦合分析123
5.5.1非连续饱和岩土体动力固结123
5.5.2摩擦接触模型的验证127
5.5.3偏斜压力作用下的非连续饱和土基础128
5.5.4受水力载荷作用岩土体水力耦合分析130
5.5.5非连续饱和岩土体中的波传递133
5.6本章小结135
第6章三维饱和岩土体非线性水力耦合问题137
6.1三变量u-w-p格式Biot模型137
6.2结点处梯度连续的三维NMM函数空间141
6.2.1H8-CNS-NMM的权函数141
6.2.2H8-CNS-NMM的局部近似142
6.2.3H8-CNS-NMM的整体近似144
6.2.4位移、流速和孔隙压力场插值144
6.3空间和时间离散145
6.4数值算例147
6.4.1验证算例：土柱固结148
6.4.2偏斜载荷下孔隙介质的固结157
6.4.3H8-CNS-NMM水力耦合分析的稳定性161
6.4.4循环加载下的土柱固结163
6.4.5偏斜载荷下条形基础的固结165
6.4.6偏斜载荷下方形基础的固结170
6.5本章小结174
第7章非饱和岩土体水力耦合问题175
7.1基本控制方程及变分格式175
7.1.1控制方程175
7.1.2变分格式179
7.2基本场变量的NMM离散180
7.3时间离散182
7.4数值算例185
7.4.1砂柱排水185
7.4.2含竖直材料面的饱和土石混合体188
7.4.3含倾斜材料面的饱和土石混合体191
7.4.4偏斜受压的饱和土石混合体基础196
vi水力耦合模拟——数值流形法与多尺度分析
7.4.5非饱和土石混合体排水202
7.4.6降雨作用下的土石混合体边坡205
7.5本章小结214
第8章水力耦合多尺度分析基本理论215
8.1饱和孔隙介质水力耦合方程216
8.2微观初边值问题218
8.2.1微观尺度主变量的多尺度分解218
8.2.2平均梯度219
8.2.3微观尺度边界条件施加方法220
8.2.4变分一致性223
8.3宏观初边值问题225
8.4宏观尺度切向算子226
8.5接触模型227
8.6本章小结229
第9章连续饱和非均质岩土体水力耦合多尺度分析230
9.1多尺度初边值问题的离散230
9.1.1微观尺度初边值问题离散格式230
9.1.2宏观尺度初边值问题离散格式232
9.2宏观尺度切向算子的计算233
9.2.1线性边界条件234
9.2.2周期边界条件235
9.3数值算例238
9.3.1非均质土石材料的固结238
9.3.2偏斜载荷作用下非均匀孔隙介质的固结249
9.3.3冲击载荷下非均质孔隙介质的动态响应258
9.4本章小结264
第10章连续饱和非均质岩土体水力耦合多尺度分析整体求解算法265
10.1水力耦合多尺度分析交错求解算法266
10.2水力耦合多尺度分析整体求解算法269
10.3交错求解算法和整体求解算法的比较273
10.4数值算例273
10.4.1饱和非均质土石柱体的固结274
10.4.2饱和非均质土石基础的固结287
10.5本章小结296
第11章非均质孔隙介质有效水力特性的多尺度评估298
11.1水力耦合多尺度分析宏观和细观尺度问题299
11.2等效水力特性评估300
11.3数值算例301
11.3.1等效渗透系数303
11.3.2等效变形模量311
11.3.3等效Biot系数316
11.4本章小结319
第12章非连续饱和非均质岩土体水力耦合多尺度分析321
12.1细观尺度初边值问题321
12.2宏观尺度初边值问题322
12.3宏观尺度接触模型323
12.4数值算例325
12.4.1验证算例326
12.4.2液相点载荷作用下的非连续非均质孔隙介质336
12.4.3含多裂纹的非均质孔隙介质337
12.4.4冲击载荷作用下的非连续非均质孔隙介质340
12.5本章小结343
参考文献344
附录A361
附录B363