第1章 绪论
1.1 分数阶系统的研究背景及意义
微积分作为数学中一个重要的基础学科，它的提出解决了众多无法用初等数学方法来解决的实际问题，并被应用到众多科学领域。在微积分被提出的同时，就有学者把积分和微分看成数轴上相互孤立的点，而这些点之间的部分又是什么?其实早在1695年，Leibniz就在书信中对二分之一阶导数的意义进行过探讨。自此以后，众多著名数学家都投身到分数阶微积分的研究中，如Caputo、Riemann、Liouville等。整数阶微积分被广泛应用，并得到快速发展，其原因在于整数阶微积分有着清晰的物理意义。而与整数阶微积分不同的是，分数阶微积分在当时缺乏明确的物理意义并且难以应用到实际问题中，它的发展速度较为缓慢。这种状态一直持续到1967年，Mandelbrot以海岸线为课题进行详细的研究[1]。尽管这种*线具有极不光滑和极不规则等特征，在形状上呈现出蜿蜒*折的复杂规律，但是其形貌上体现出一定的自相似性。因此，从统计自相似和分数维度这个角度出发，Mandelbrot提出了分形理论，创立了分形几何学。自Mandelbrot分形理论的提出，分数阶微积分又重新受到了学者的关注。与整数阶微积分的孤立特性不同的是，分数阶微积分可以看成函数的一种连续的渐变过程，这种渐变过程可以看成函数信息的一种传递过程，该特性也被称为遗传特性。整数阶微积分只能体现出函数的一些局部特性，而分数阶微积分通过引入加权的方式可以涵盖函数的全局信息，这种特性也被称为记忆特性。研究发现，在黏弹性材料方面，采用分数阶微积分的这种记忆特性和遗传特性刻画出的黏弹性系统比传统的整数阶黏弹性系统更具优势[2]；在生物系统中，通过分数阶微积分建立的生物系统在保密通信中更能贴合生物的记忆特性和遗传特性[3]，通过分数阶微积分处理过的信号的保密性更强[4]。因此，大量实际系统的研究开始使用分数阶微分方程进行建模，并得到了丰硕的成果[5-8]。
与整数阶微积分和分数阶微积分关系相似的是，分数阶系统作为整数阶系统的延伸，更能刻画出一些实际系统的记忆特性和遗传特性，而整数阶系统只是分数阶系统在特定条件下的案例，因此分数阶系统动力学也涵盖了整数阶系统动力学的全部特性。由于整数阶微积分的发展较为完善，整数阶系统动力学的分析方法较多，所以对于整数阶系统动力学分析相对容易。然而，与整数阶微积分不同的是，分数阶微积分的起步较晚且分数阶微分方程分析的复杂度更高，所以分数阶系统动力学分析理论和动力学控制策略的设计及应用远不如整数阶系统发展得成熟。
1.2 分数阶系统的稳定性研究现状
稳定性是控制理论中的一个重要概念，开展稳定性分析也是控制系统设计的*要研究任务。不同于整数阶系统，针对分数阶系统的稳定性研究还在不断地发展与完善中，尚未达到成熟程度。截至目前，分数阶系统稳定性分析方法大致可以归类为两种方法，即基于系统矩阵特征值的方法和基于Lyapunov函数的方法。
1.2.1 基于系统矩阵特征值的方法
法国学者Matignon于1996年*次给出了能够保证分数阶线性时不变系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的充分必要条件，即分数阶系统特征函数没有右半平面的零点[9]，两年后，Matignon又对该稳定性结果进行了进一步拓展[10]，针对阶次于区间(0，2]内的等阶的（Commensurate）分数阶线性时不变系统和非等阶的（Incommensurate）分数阶线性时不变系统分别给出了能够保证系统渐近稳定性的充分必要条件。基于这些重要的结果，Sabatier等[11]利用线性矩阵不等式（LMI）技术，针对等阶次的分数阶系统给出了LMI稳定判据和镇定方案。进一步地，Ahn等[12]针对阶次于区间（1，2）内的分数阶区间系统给出了鲁棒稳定性结果；Lu等[13]针对阶次于区间（0，1）和（1，2）的分数阶区间系统分别给出了改进的鲁棒稳定性结果及镇定方法。由于上述方法并不能直接推广到分数阶时延系统，Gao[14]针对等阶的分数阶滞后型时延系统给出了稳定区间的计算方法，Shen等[15]给出了一类分数阶时延正系统的稳定性证明和性能分析。不难发现，上述的稳定性结果基本都是直接或间接地通过系统的极点分布或系统矩阵特征值的幅角来判定分数阶系统的稳定性。然而，该类结果通常仅适用于分数阶线性系统，很难被直接应用于更为复杂的分数阶非线性系统。
1.2.2 基于Lyapunov函数的方法
Lyapunov方法已经被广泛地应用于传统整数阶系统的稳定性分析和控制器设计。受整数阶系统Lyapunov稳定性分析方法的启发，学者开始致力于分数阶系统Lyapunov方法的研究并取得了一些显著的成果，这些成果大致可以分为两类，即直接Lyapunov方法和间接Lyapunov方法。
1.直接Lyapunov方法
Li等[16]于2009年分析了分数阶系统的Mittag-Leffer稳定性并*次提出了直接Lyapunov方法，其思路是通过设计相应的Lyapunov函数，然后计算其分数阶导数再利用负定性判断分数阶系统的稳定性。进一步地，Li等[17]又基于广义的Mittag-Leffer稳定给出了推广的分数阶Lyapunov方法。这些创新性的成果也极大地推动了分数阶系统稳定性分析和控制器设计的发展。文献[18]～[23]针对一类广义分数阶系统利用线性矩阵不等式技术，给出了稳定性条件并设计了能够保证闭环系统稳定的鲁棒控制器。文献[24]～[28]针对一类分数阶非线性系统建立了合适的正定Lyapunov函数，给出了保证系统渐近稳定的充分条件。文献[29]～[33]结合直接Lyapunov方法和滑模控制方法，设计了能够有效抑制混沌特性的滑模控制器。然而，研究发现直接Lyapunov方法存在一定的保守性且适用性也较为有限。从本质上看，分数阶系统是一种能够用偏微分方程描述的分布参数系统，具有无穷维特性。而利用分数阶微积分描述的状态空间模型都是具有有限维状态的，这也意味着所建立的数学模型实际上是一个包含伪状态的伪模型。而利用直接Lyapunov方法针对分数阶模型所建立的Lyapunov函数自然不能真实地反映原系统的内部能量。为此，一些学者也指出这种基于伪状态空间模型的分析方法仅可以用于分数阶系统的稳态分析而不适用于描述系统的动态响应。
2.间接Lyapunov方法
早在1998年，Montseny[34]就给出了分数阶微分算子的无穷维分布模型描述并将其命名为“散布描述”。不同于前面所提到的伪模型，这种基于散布描述的模型能够反映出分数阶系统的真实状态。之后，一些学者也基于该描述方法成功地解决了工程建模和相关控制器设计问题，并将这种无穷维模型称为连续频率分布模型。进一步地，Trigeassou等[35]于2011年*次针对分数阶积分系统提出了利用连续频率分布模型描述的等价模型。由于所建立的Lyapunov能量函数使用的是等价模型中的真实状态而不是分数阶状态空间模型中的伪状态，因此这种Lyapunov方法也称为间接Lyapunov方法。间接Lyapunov方法因其突破了直接Lyapunov方法的局限性，受到了学者的广泛关注，并陆续得到了一些有意义的研究成果[36-40]。特别应该指出的是，有别于传统整数阶稳定性分析中所提到的直接Lyapunov方法和间接Lyapunov方法，上述所提到的直接Lyapunov方法和间接Lyapunov方法仅仅是实现分数阶系统稳定性分析的方法，前者是基于伪模型伪状态建立Lyapunov能量函数，通过计算其分数阶导数利用负定性判断分数阶系统的稳定性；后者是基于一种等价模型中的真实状态建立Lyapunov能量函数，通过计算其一阶导数利用负定性判断分数阶系统的稳定性。
1.3 分数阶混沌系统的同步与控制研究现状
分数阶混沌系统的同步与控制的研究思路主要有以下三种。
（1）将分数阶混沌系统通过时频域转换，将其近似转化为整数阶混沌系统进行研究，然后按照整数阶混沌系统同步与控制方法来处理，例如，邵仕泉等[41]通过建立近似的整数阶模型，研究了两个耦合的分数阶Chen系统的混沌投影同步控制。Zhong等[42]通过同样的方法结合脉冲控制实现了分数阶混沌系统的控制。Shao[43]通过时频域转化研究了分数阶Rossler系统的投影同步。这种方法的主要缺点在于近似值与实际值之间肯定会产生误差，从而使得分数阶系统的同步性能显著降低，有时甚至无法实现分数阶混沌的控制与同步。
（2）基于拉普拉斯变换的终值定理，主要代表结果有Li等[44]运用Pecora-Carroll方法和单向耦合方法实现了分数阶Lu系统的同步。Wu等[45]采用非线性控制研究了一个新的超混沌系统的同步。黄丽莲等[46]提出了一个新的分数阶四维超混沌系统，设计了简单有效的线性反馈控制器并进行了电路实现。Hegazi等[47]采用线性控制的方法实现了超混沌Chen系统的同步[47]。这种方法的主要缺点在于只适用于满足拉普拉斯变换条件的分数阶混沌系统，不具有普适性，同时在控制器设计上具有很大的局限性。
（3）基于分数阶线性系统的稳定性定理，目前大部分有关结果均是依赖这种方法，例如，Chen等[48]利用非线性控制器研究分数阶混沌和超混沌的延迟投影同步。Peng等[49]设计非线性观测器实现分数阶混沌系统的广义投影同步。Xin等[50]采用线性反馈控制研究分数阶WINDMI系统的同步。Bhalekar等[51]利用积极控制策略讨论了分数阶Lorenz系统与分数阶Lu系统之间的同步。这种方法的主要缺点是缺乏灵活性，所设控制器为抵消非线性项而过于复杂，难以物理实现且控制成本代价较大。
实现分数阶混沌系统的同步与控制的具体方法主要包括以下几种。
（1）线性控制。例如，Xin等[52]研究了一类分数阶能源供需系统的投影同步；Odibat等[53]研究了分数阶Chen系统、分数阶Rossler系统、分数阶Chua电路系统的自同步；张若洵等[54]基于线性反馈控制研究了分数阶统一混沌系统的同步。线性控制因具有外在形式简单、控制成本低、易于实现等方面的优势而备受青睐，在理论分析上采取分数阶线性系统稳定定理和Lyapunov直接法来处理。
（2）非线性控制。如文献[55]，该方法一般是设计非线性控制器来抵消系统的非线性项，然后结合分数阶线性系统的稳定性定理和采取极点配置方式处理。
（3）非线性观测器控制。例如，Donato等[56]运用标量同步信号和非线性观测器研究了分数阶混沌系统的同步并运用到分数阶超混沌系统，主要是通过构造驱动系统的观测器系统作为相应的响应系统、这样得到的误差系统是一个含有增益矩阵的分数阶线性系统，再根据极点配置技术和分数阶线性系统稳定性理论，从而实现分数阶混沌系统的同步。
（4）积极控制。例如，文献[57]中的方法一方面控制成本太大，另一方面牺牲了非线性项具有较大的保守性。
滑模控制的优点是能够克服系统的不确定性，对干扰和未建模动态具有很强的鲁棒性，尤其是对非线性系统的控制具有良好的控制效果。由于滑模控制的诸多优点，学者尝试采用滑模控制来控制分数阶混沌系统，取得了一些不错的成果，例如，Aghababa[58]通过设计分数阶滑模控制器实现了分数阶混沌系统的镇定。曹鹤飞等[59]设计的分数阶切换面实现了三维分数阶混沌的同步。Hosseinnia等[60]基于滑模控制研究了不确定分数阶Duffing-Holmes混沌系统的同步。Yang等[61]提出一类分数阶积分切换*面，并基于此研究了分数阶混沌系统的鲁棒同步。Saleh等[62]通过利用主动滑模控制研究分数阶Lu-Lu系统、分数阶Chen-Chen系统、分数阶Chen-Lu系统的同步。
（5）脉冲控制。该方法可以用小的控制量来镇定一个混沌系统，因此所需能量少，控制响
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