《流形与几何初步（第二版）》是一本微分流形和现代几何的入门教材。它从微分流形的定义出发，介绍了现代几何学研究中的各种基本概念和技巧。《流形与几何初步（第二版）》前两章为基础内容，主要介绍流形上的微积分并证明Stokes积分公式；后三章为进阶内容，分别从几何、拓扑和整体分析三个方面阐述现代几何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指标公式等。《流形与几何初步（第二版）》内容丰富、语言简洁，《流形与几何初步（第二版）》含有详细的例子和习题。凡具有微积分、线性代数、点集拓扑以及泛函分析基础的读者均可阅读《流形与几何初步（第二版）》。

第1章微分流形
　　本章给出微分流形的定义，研究流形之间的映射及其线性化.我们介绍微分流形的基本研究手段，列举了若干具体的例子，并将Lie群作为重要的例子加以介绍.
　　§1.1流形的定义和例子
　　中学阶段学习过的平面几何和立体几何属于欧氏几何.欧氏几何研究空间中的直线、平面等比较规则的图形.大学阶段的数学专业又有解析几何和古典微分几何的课程，其研究对象扩展到了*线和*面等不规则图形，基本的研究工具有微积分、线性代数等.Gauss对古典微分几何的贡献很大，他发现*面的*率实际上只依赖于*面的**基本形式，这为将*面从欧氏空间中抽象出来奠定了基础.此外，Gauss-Bonnet定理将几何量(*率)和拓扑量(Euler数)联系在一起，从而为运用几何手段研究拓扑问题提供了启发.
　　在欧氏几何中，第五公设丨也就是平行线公理)较难理解，许多数学家尝试过将第五公设从欧氏几何的体系中拿掉，这些尝试基本上都失败了.一个重要的原因就是人们往往将自己局限在欧氏空间中考虑问题.1854年，Riemann在其就职演讲中探讨了几何学的一般基础，提出了流形的概念.Riemann的学说囊括了以前的几何学，以此为基础发展起来的几何学后来称为Riemann几何学，也称为现代几何学.
　　流形是欧氏空间中*线、*面的抽象化，它是现代几何学的研究对象.粗略地来说，流形是满足若干条件的要素所构成的集合，比如物体的运动轨迹或运动状态所形成的状态空间等.
　　例1.1.1考虑平面中长度为I木棒，将其一端固定，木棒绕固定端转动，研究其所有可能的位置或状态构成的空间.
　　木棒一端固定，其位置就完全由另一端所决定(见图1.1(a)).另一端的运动轨迹是以固定端为中心，以t为半径的圆周.圆周是所谓的1维流形(见图1.1(b)).
　　例1.1.2考虑平面中长度为luh的两根木棒，在端点处用铰链将它们连接起来成为双节棍.将其一端固定，研究双节棍所有可能的位置或状态构成的空间.
　　一端固定以后，双节棍的位置就完全由铰链的位置和另一端的位置所决定(见图1.2(a)).铰链的运动轨迹是以固定端为中心，以A为半径的圆周，记为.另一端的运动轨迹相
　　对于铰链也是一个圆周，记为.因此，双节棍所有可能的位置可以用乘积空间S1⑷)S\l2)来描述，这是环面，它是所谓的2维流形(见图1.2(b)).
　　一般地，流形可以用拓扑空间的语言来描述.回忆一下，所谓拓扑空间是指一个配对(X，t)，其中X为一个集合，t也是一个集合，其元素都是X的子集，并且满足以下条件：
　　(1)
　　(2)r中有限个元素之交仍属于;
　　(3)T中任意多个元素之并仍属于.
　　这样的T称为X上的一个拓扑，中的元素称为开集.拓扑空间是点集拓扑学或一般拓扑学的主要研究对象.在点集拓扑学中，人们研究拓扑空间的连续性质以及在连续变换下保持不变的性质.为了运用微积分的手段研究拓扑空间的性质，我们必须对拓扑空间施加进一步的限制.在点集拓扑学中，具有可数拓扑基的拓扑空间称为丄的，具有HausdorfF性质的拓扑空间称为的.
　　定义1.1.1(Cr流形)设M是具有义，性质的拓扑空间.如果存在M的开覆盖以及相应的连续映射族，使得
　　(i)为从到欧氏空间开集中肌、上的同胚；
　　(ii)当uanup时，如下的转换映射(见图I.3)
　　为映射，则称M为Cr流形.
　　我们称或为M的局部坐标覆盖，为一个局部坐标系，Ua为局部坐标邻域，ipa为局部坐标映射.设，记为的第i个欧氏坐标.为第个(局部)坐标函数，有时也称为V附近的局部坐标.
　　我们就流形的概念做一些解释：
　　(1)定义1.1.1中的称为流形的维数，也记为dimM.以后我们将知道，维数是流形的拓扑不变量.为了强调流形的维数，有时也把M记为.
　　(2)如果所有的转换映射都只是连续的，则称为拓扑流形.当时，称M为CT微分流形.如果转换映射都是无限次可微的，则称M为流形或光滑流形.当转换映射都是实解析记为时，称为实解析流形.
　　(3)设为上的开集，为连续映射，且中的像为开集，到其像上是同胚.如果和之间的转换映射均为Cr的，则称、和局部坐标覆盖是Cr相容的.利用选择公理容易证明，对于任何一个局部坐标覆盖，均存在一个包含它的“*大”的局部坐标覆盖该，其中“*大”是指任何与少均相容的局部坐标系队的都要含于贷之中.我们把这样的货称为拓扑流形M的一个Cr微分构造或微分结构.
　　(4)存在拓扑流形，该拓扑流形上不存在任何相容的微分构造；另一方面，可以证明(这是微分拓扑学的内容)，给定一个微分构造，一定存在一个相容的C°°微分构造.为了方便起见，在没有明确说明的情况下，下面的微分流形一般指的是光滑流形.
　　例1.1.3欧氏空间及其开集.
　　在上取恒同映射，则成为微分流形，恒同映射是其(整体)坐标.显然，中的开集也都是n维微分流形，这些是所谓的平凡流形;一般地，微分流形的开子集也继承了微分结构成为微分流形.
　　我们把上面所定义的上的微分结构称为标准微分结构.需要注意的是，除了标准的微分结构以外，还存在和标准微分结构不相容的其他微分结构.例如，考虑R1=R上如下的映射
　　显然中为同胚，因此它定义了R1上的一个微分结构，它和标准的微分结构不相容.(为什么?)例1.1.4单位圆周S1.
　　记
　　则为的子拓扑空间.令
　　则，因此分别在和上定义映射如下
　　则和％均为同胚，且转换映射形如
　　同理可计算出列。它们均为光滑映射，因此为光滑流形.
　　可以证明，在分类的意义下，R1和S1是仅有的两个连通1维流形.为了给流形分类，我们先引入映射的概念.
　　定义1.1.2映射)设为两个CT微分流形之间的连续映射.如果任给和附近的局部坐标系，均存在p附近的局部坐标系，使得，且/在这两个局部坐标系下的局部表示为映射，则称为流形，之间的Ck映射.Ck映射的全体记为.
　　显然，Ck映射的复合仍为映射.注意，Ck映射的定义虽然用到局部坐标系，但由于流形定义中要求转换映射都是CT的，故实际上映射的Ck性质不依赖于局部坐标系的选取.在定义微分流形上某种对象的时候，如果用局部坐标系来定义，则需注意验证该定义是否与局部坐标的选取无关.
　　定义1丄3(微分同胚)设M，N为Cr微分流形，为同胚映射.如果/及其逆映射广1均为Cr映射，则称f为Cr微分同胚，简称微分同胚.
　　不加申明时，光滑流形之间的微分同胚指的是光滑的微分同胚.我们不区分微分同胚的流形.特别地，在同一个拓扑流形上，如果两个微分结构定义出的微分流形是微分同胚的，则我们称这两个微分结构等价，我们不区分等价的微分结构.作为习题，读者可证明例1.1.3中R1上的两个微分结构是等价的.一般地，Moise等证明了维数不超过3的拓扑流形上存在唯一的微分结构.后来，Milnor发现在7维球面上存在不同于标准微分结构的微分结构，这个结果当时在数学界引起了不小的轰动.进一步的研究表明在7维球面上一共存在28个不同的微分结构，它们组成一个有限循环群.人们也早就发现，除了R4以外，欧氏空间上的微分结构都是唯一的.后来，由于Freedman和Donaldson等的工作，人们发现在4维欧氏空间上甚至存在不可数多个不同的微分结构.
　　设为微分流形M的局部坐标覆盖.转换映射可以用分量表示如下

目录
第二版前言
**版前言
第1章 微分流形 1
§1.1 流形的定义和例子 1
§1.2 子流形8
§1.3 单位分解 16
§1.4 切空间和切映射 25
§1.5 Sard定理及应用33
§1.6 Lie 群初步 39
第2章 流形上的微积分 47
§2.1 切丛和切向量场 47
§2.2 可积性定理及应用 56
§2.3 向量丛和纤维丛 63
§2.4 张量丛.70
§2.5 微分形式 76
§2.6 带边流形 88
§2.7 Stokes积分公式 91
第3章 流形的几何 99
§3.1 度量回顾 99
§3.2 联络105
§3.3 *率113
§3.4 联络和*率的计算 120
§3.4.1 活动标架法 121
§3.4.2 正规坐标 126
§3.5 子流形几何 130
§3.5.1 第二基本形式 130
§3.5.2 活动标架法 132
§3.5.3 极小子流形 134
§3.5.4 黎曼淹没 141
§3.6 齐性空间 145
§3.6.1 Lie 群和不变度量 145
§3.6.2 齐性空间 148
§3.6.3 对称空间 151
§3.7 Gauss-Bonnet-Chern公式 157
§3.7.1 向量场的指标 158
§3.7.2 单位球丛上的计算 161
§3.8 Chern-Weil理论167
§3.9 主丛简介 176
§3.9.1 主丛上的联络和*率 176
§3.9.2 主丛上的Chern-Weil理论 183
第4章 流形的上同调 189
§4.1 de Rham 上同调回顾 189
§4.2 映射度回顾 195
§4.3 de Rham上同调群的计算.204
§4.3.1 群作用与上同调 204
§4.3.2 Mayer-Vietoris正合序列 210
§4.4 Thom 类和相交数 217
§4.4.1 Thom类 217
§4.4.2 相交数 222
§4.5 Hodge理论.227
§4.5.1 Hodge星算子 228
§4.5.2 Bochner技巧 233
§4.6 Dirac 算子 240
§4.6.1 Clifford代数 240
§4.6.2 Clifford丛 249
第5章 流形上的椭圆算子 256
§5.1 Sobolev空间 256
§5.2 Hodge定理的证明 262
§5.3 热方程与热核 270
§5.4 迹与指标公式 281
§5.5 指标公式的证明 288
§5.5.1 Dirac算子的指标公式 288
§5.5.2 谐振子 293
§5.5.3 Atiyah-Singer指标公式 296
参考文献 302
索引 304