《数学分析讲义》（上、下）册是作者在中国科学院大学授课期间编写的，讲义内容主要参考了华东师范大学数学系编写的《数学分析》，以及国内外一些优秀的教材，并在此基础上作了一些补充。讲义注重分析的几何直观性、理论的严谨和系统性、应用的深入性，以及与后续学科的衔接性。

第1章函数项级数
　　1.1函数列的一致收敛性
　　收敛数列的极限确定了一个实数.“逐点收敛”的函数列的极限确定了一个函数.如果函数列中函数具有连续性、可微性或可积性，这个极限函数是否保持这些性质？魏尔斯特拉斯1841年引进了更强的“一致收敛”概念，给出了肯定的回答.这是数学分析中的核心概念之一.本章介绍这些内容.
　　1.1.1函数列收敛
　　例1.1考察如下函数列的收敛性与极限函数：
　　(1)
　　(2)
　　解（1)取函数
　　所以函数列的收敛域是，极限函数是
　　定义1.1设
　　(1)若，则称函数列在点收敛，为函数列的收敛点，
　　否则，称函数列在点发散，为函数列的发散点.这种收敛称为逐点收敛.
　　(2)称为函数列的收敛域，函数，
　　上述的逐点收敛，用的语言描述为
　　例1.2观察例1.1中的两个函数列
　　由于可以找到不依赖于，所以收敛关于股中;具有一致性.
　　函数列在收敛域上是逐点收敛.为了研究极限函数在收敛域上的分析性质，如极限函数的连续性，微分、积分运算与函数列极限运算的交换性质等，还需要逐点收敛在收敛域上具有致性
　　1.1.2函数列一致收敛
　　不依赖于;的这就是所谓的“一致收敛性函数列的“一致收敛性”对极限函数的连续性、可微性和可积性有本质影响.
　　定义1.2
　　定义1.3
　　重新考察例1.1中的两个函数列：
　　这说明虽然两个函数列都逐点收敛，但两者具有不同的一致收敛性.
　　定理1.1设是数集上的函数列，先上的函数，则如下等价：
　　(1)函数列
　　(2)
　　例1.3证明函数列
　　证明
　　由此知道在上非负单调递增，所以.因此
　　例1.4设判别函数列在上的一致收敛性.
　　解设
　　所以函数列的极限函数为.
　　由于是非负函数，可以考虑在上的*大值点由于
　　第1章函数项级数
　　解得
　　定理1.2
　　证明必要性：
　　因此，
　　由于对任意给定的为数列，从而收敛.定义函数如下：
　　定理1.3函数列

目录
前言
第1章 函数项级数 1
1.1 函数列的一致收敛性 1
1.1.1 函数列收敛 1
1.1.2 函数列一致收敛 2
1.1.3 C([a，b])空间中的收敛 6
1.2 一致收敛函数列性质 10
1.3 函数项级数的一致收敛性 16
1.3.1 函数项级数的一致收敛性 16
1.3.2 函数项级数的一致收敛性判别法 18
1.4 一致收敛函数项级数性质 23
1.5 幂级数 30
1.5.1 幂级数的收敛区间 30
1.5.2 一致收敛性及性质 33
1.5.3 函数的幂级数展开 38
1.6 傅里叶级数 44
1.6.1 傅里叶级数定义 44
1.6.2 正交函数系 47
1.6.3 傅里叶级数逐点收敛性 51
1.6.4 周期函数的傅里叶展开 58
1.6.5 傅里叶级数均方收敛性 66
1.6.6 傅里叶变换简介 72
第2章 多元函数微分学 79
2.1 平面点集 79
2.2 极限与完备性定理 84
2.3 多元函数与极限 88
2.3.1 二元函数 88
2.3.2 重极限 89
2.3.3 累次极限 92
2.4 多元函数的连续性 96
2.4.1 连续函数的概念 96
2.4.2 连续函数的性质 99
2.5 多元函数的微分 102
2.5.1 偏导数的概念 102
2.5.2 微分的概念 105
2.5.3 链式求导法则 111
2.5.4 *面的切平面 114
2.6 向量值函数的微分 118
2.6.1 微分的概念 118
2.6.2 链式求导法则 120
2.7 向量值函数的反函数 122
2.7.1 压缩映射定理 122
2.7.2 反函数定理 124
2.8 隐函数的存在性 127
2.8.1 二元函数确定的可微隐函数 127
2.8.2 多元函数确定的可微隐函数 130
2.8.3 方程组确定的可微隐函数 133
2.8.4 向量值函数确定的可微隐函数 135
2.8.5 二元函数确定的连续隐函数 136
2.9 多元函数的Taylor公式 140
2.9.1 中值定理 140
2.9.2 Taylor公式 141
第3章 多元函数微分学的应用 146
3.1 向量运算简介 146
3.2 空间*面的切平面与法向量 148
3.3 空间*线的切线与法平面 154
3.4 多元函数的极值 157
3.4.1 函数极值 157
3.4.2 条件极值 161
第4章 含参量积分 177
4.1 含参量正常积分 177
4.2 含参量反常积分 184
4.2.1 一致收敛性及其判别法 184
4.2.2 含参量反常积分的性质 189
4.3 欧拉积分 198
4.3.1 Γ函数 198
4.3.2 B 函数 200
第5章 二重积分与*线积分 207
5.1 平面图形的面积 207
5.2 二重积分及性质 210
5.3 二重积分的计算 215
5.3.1 简单二重积分计算 215
5.3.2 一般二重积分计算 220
5.4 平面*线积分 229
5.4.1 **型*线积分 229
5.4.2 第二型*线积分 237
5.4.3 两型*线积分关系 247
5.5 格林公式 248
5.5.1 格林公式 248
5.5.2 连续向量场的旋转数 255
5.5.3 平面*线积分与路径无关性 257
第6章 三重积分与*面积分.265
6.1 三重积分和性质 265
6.2 三重积分的计算 266
6.2.1 简单三重积分计算 266
6.2.2 一般三重积分计算 269
6.3 *面积分 278
6.3.1 *面面积 278
6.3.2 **型*面积分 284
6.3.3 第二型*面积分 291
6.3.4 两型*面积分关系 294
6.4 高斯公式和斯托克斯公式 302
6.4.1 高斯公式 302
6.4.2 斯托克斯公式 308
6.4.3 空间*线积分与路径无关性 312
第7章 向量场简介 314
7.1 微分算子及相关场 314
7.1.1 梯度算子与梯度场 314
7.1.2 散度算子与散度场 314
7.1.3 旋度算子与旋度场 316
7.2 特殊向量场及性质 317
7.2.1 无源场 317
7.2.2 无旋场 318
7.2.3 调和场 322
第8章 反常二重积分 324
8.1 无界区域上二重积分 324
8.2 无界函数的二重积分 328
附录A 线性赋范空间和内积空间 331
A.1 线性空间 331
A.2 线性赋范空间 332
A.3 内积空间 334
附录 B 微分算子的表示方法 337
B.1 *线坐标下的微分形式 337
B.2 梯度算子 338
B.3 旋度算子 339
B.4 散度算子 340
B.5 Laplace算子 341
参考文献 342