第1章预备知识
本章介绍本书要讨论的模型问题及需要用到的基本记号、概念和基本定理.
1.1常用记号
设(d维欧氏空间)为一有界开域，我们规定：
上的完全次多项式空间；
上的双次多项式空间；
上的张量积次多项式空间；上的自由度次多项式空间；上的全体连续函数的集合；
的闭包上的全体连续函数的集合，它按范数构成一个Banach空间；
上直到次导数连续的函数的集合；
上无限次可微的函数的集合；
以在中紧，其中的闭包上的直到次导数连续的函数的集合，它按范数构成一个Banach空间；
上全体次绝对可积的Lebesgue可测函数的集合，它按范数构成一个Banach空间；
上全体本质有界的可测函数的集合，它按范数构成一个Banach空间.
下面是与导数有关的几个记号及其他记号.
(1)的阶偏导数：
为非负整数；
(2)的阶分布导数：
其中，为重指标;
(3)k阶导数的张量：为非负整数，且
(4)的;阶Rochet导数：为非负整数，这里表示一个从重乘积空间如如如到兄的线性映射
其中，
(5)的阶原函数：为非负整数；
(6)为重指标；
(7)通常用表示的共轭数，即满足的数；
(8)用表示与Sobolev空间中的函数、剖分的单元及网格大小均无关的声，正常数.
1.2Sobolev空间及其基本定理
用表示通常的Sobolev空间，即
其中，为整数，为重指标，
为的分布导数，这个空间依范数
构成一个Banach空间.此外，对于这个空间，还有下面的半范数，按范数的闭包记为仰，显然.
我们还简记
显然，和依范数构成Hilbert空间.在不致混淆的情况下，我们也把上面的范数和半范记为
设如果对任何连线称关于是星形的.于是我们有如下定理[1].
定理1.1(Sobolev积分恒等式)设为有界开域，且存在闭球
使得D关于中每一点都是星形的，那么可以表成如下形式
其中，是上的线性泛函
而是的连续有界函数，是和的有界的无限次可微函数.此外
定理1.2(Sobolev嵌入定理)对所有整数和所有的
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
定理1.3(Bramble-Hilbert引理)设为具有Lipschitz连续边界的中的开子集，为空间，上的连续线性泛函，且
则存在一个常数，使得
其中，为对偶空间上的范数.
定理1.4(Lax-Milgram定理)设是一个Hilbert空间，是双线性型，是线性型，并假定
(1)双线性型是连续的，即存在常数，使得
(2)双线性型是椭圆的，即存在常数，使得
(3)线性型是连续的，
则抽象变分问题：找一个元，使得
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