《凸分析基础》系统介绍了凸分析基础的五个核心部分。①涉及与凸集理论有关的线性子空间、仿射集、超平面、凸包、单纯形、闭包、内部、相对内部、凸集分离和支撑超平面等基本性质和一些重要定理。②涵盖了与凸锥有关的顶点锥、锥包、凸锥包、回收锥、共轭锥（正极锥）、负极锥、法锥与切锥、障碍锥、凸锥分离、多面体、多面锥和多面体集等基本性质和重要定理。③细述了实值(有限值)凸函数、可微凸函数、正常与非正常凸函数、复合凸函数、半连续凸函数、闭凸函数、连续凸函数和Lipschitz连续凸函数、共轭凸函数、支撑凸函数、规范凸函数、严格凸函数、半严格凸函数、显凸函数等性质和定理。④阐述了拟凸函数、半严格拟凸函数、显拟凸函数、伪凸函数、二次可微广义凸函数和广义单调性等广义凸函数的基本理论与性质。⑤讨论了凸函数的微分学基本理论，其中主要包含了凸函数的可微性判定定理、方向导数与次微分的关系，凸函数的中值定理与若干运算性质，Dini方向导数与拟凸函数之间的关系等内容。

第1章预备知识
　　凸分析往往会涉及数学分析、高等代数、拓扑学和实变函数等领域的一些基本知识.本章对全书各章节中将用到的有关基本定义、定理和重要性质作一简单介绍，详细内容可以査阅和参考相关文献.
　　1.1符号与运算
　　1.1.1基本运算
　　为了更好地区分向量、常量和集合符号，书中所有向量用黑斜体表示;实数分量或常量用白斜体表示；集合采用大写字母白斜体表示，其中特殊的数集用黑正体表示，例如或表示实数空间，表示整数空间，表示其每一个元素的所有分量都不小于构成的空间；其他具体符号与意义见书后附录1、附录2的符号列表.本书讨论的范围都限制在维实数空间中，即欧几里得（Euclid）空间（简称欧氏空间）中的点，其中，是列向量，表示的第个分量，上标表示转置；零向量表示空间中的坐标原点；表示行向量，表示列向量.
　　设空间中任意两点，常数.定义下面的运算规则：
　　加法：两个向量相加为对应分量分别相加，即.减法：两个向量相减为对应分量分别相减，即.数乘：一个实数与一个向量的数乘为实数分别乘上每个分量：.
　　内积：两个向量的内积为对应分量乘积之和，即
　　是表示内积的通用符号，广泛应用于向量空间，特别是在抽象空间中（如Banach空间），表示一个空间点与它的对偶空间的点的乘积.而则更多地表示空间中两个点之间的乘积.因此，在空间中与表示意义是一致的.
　　两个向量进行大小比较时通常有以下几种情况.
　　不等于分和中至少一个分量不相等，即存在某个使得.
　　这里仅介绍了本书常用的基本运算.在本书中，还定义了许多其他运算符号，如和等，具体含义可参考符号列表.
　　1.1.2距离和范数
　　关于距离和范数我们有下面的性质成立.
　　性质1.1.1设，则下面结论成立：
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　（5）
　　上面定义了中的范数和距离，并给出了一些基本性质，更多的性质可参阅相关文献.
　　1.2拓扑概念
　　本节介绍空间中与集合相对应的一些概念和性质，如邻域、序列、内点、开集、闭集和紧集等.
　　1.2.1邻域与序列
　　在凸分析的一些性质或定理证明中经常使用到点的邻域这一概念，它主要用于描述集合中某个点附近的点的性质，并对于定义和理解内点、内部、相对内部、闭包、函数的连续性和微分等概念具有重要的作用.
　　定义1.2.1假设点；和集合，定义下面一些概念和记号：
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　（5）
　　（6）
　　本书有时也用符号或来表示点具有半径的一个闭或开邻域.显然，点的邻域与半径有关，因此，当我们说存在点的某个邻域时，是指存在该点某个半径的邻域.
　　将R"中的无穷序列集合记为，其中而的子序列是指由中无限个元素构成的集合，即.无穷序列*重要的概念是序列的极限点，定义如下.
　　定义1.2.2设是中的无穷序列集合，是点的任意一个具有半径的开邻域.如果存在一个常数使得对任意的都有
　　性质1.2.1.
　　1.2.2开集、闭集和紧集
　　定义1.2.3设
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　例1.2.1设
　　由定义1.2.3可知，下面的结论是显然的.
　　性质1.2.2设
　　存在许多开集的例子，如开区间（0，1）.
　　例1.2.2
　　闭集也是凸分析中常见的概念，它的定义与开集有很大的区别，闭集是含边界的集合.也存在既不是开集也不是闭集的集合，例如区间.
　　定义1.2.4设非空集合，定义下面几个概念：
　　（1）如果X中的任何一个收敛序列的极限点都属于，则称是闭集；
　　（2）把X所有极限点构成的集合称为的闭包，记为;

目录
“现代数学基础丛书”序
前言
第1章 预备知识 1
1.1 符号与运算 1
1.1.1 基本运算 1
1.1.2 距离和范数 2
1.2 拓扑概念 3
1.2.1 邻域与序列 3
1.2.2 开集、闭集和紧集 4
1.3 连续性与导数 6
1.3.1 连续性 6
1.3.2 导数与微分 6
1.4 线性代数 9
1.4.1 行列式 9
1.4.2 矩阵 10
1.5 习题 11
第2章 凸集.12
2.1 仿射集 12
2.1.1 线性子空间 12
2.1.2 Rn中的仿射集 14
2.1.3 超平面 18
2.2 凸集及相关性质 20
2.2.1 基本定义及基本性质 20
2.2.2 凸包 23
2.2.3 单纯形 29
2.2.4 代数运算 34
2.3 拓扑性质 37
2.3.1 闭包、内部与相对内部 37
2.3.2 运算性质 44
2.3.3 闭凸包 48
2.4 凸集分离定理 50
2.4.1 超平面分离定理 50
2.4.2 超平面强分离定理 56
2.5 支撑超平面 60
2.5.1 基本性质 60
2.5.2 极点与面 65
2.5.3 配极 71
2.6 两种近似凸集.75
2.6.1 近似凸集 75
2.6.2 相对近似凸集 77
2.7 习题 78
第3章 凸锥 81
3.1 顶点锥 81
3.1.1 基本性质 81
3.1.2 拓扑性质 90
3.1.3 原点凸锥 96
3.2 锥包 99
3.2.1 基本性质 99
3.2.2 拓扑性质 109
3.2.3 原点锥包 114
3.3 回收锥 115
3.3.1 基本性质 115
3.3.2 代数性质 119
3.3.3 拓扑性质 122
3.3.4 回收空间 128
3.4 共轭锥 132
3.5 极锥 135
3.5.1 基本性质 135
3.5.2 拓扑性质 137
3.6 法锥与切锥 146
3.6.1 度量投影 146
3.6.2 基本性质 149
3.7 障碍锥 156
3.7.1 基本性质 156
3.7.2 拓扑性质 160
3.8 凸锥分离定理 162
3.9 多面体和多面锥 169
3.9.1 多面体 170
3.9.2 多面锥 176
3.9.3 多面体集 179
3.10 习题 182
第4章 凸函数 186
4.1 三种基本凸函数 186
4.1.1 实值凸函数 186
4.1.2 可微凸函数 190
4.1.3 正常与非正常凸函数 192
4.2 复合凸函数 196
4.2.1 线性复合凸函数 196
4.2.2 逐点下确界复合凸函数 198
4.2.3 凸函数族上确界复合凸函数 201
4.3 四种连续凸函数 202
4.3.1 半连续凸函数 202
4.3.2 闭凸函数 208
4.3.3 连续凸函数 216
4.3.4 Lipschitz连续凸函数 219
4.4 共轭凸函数 220
4.5 支撑凸函数 228
4.6 规范凸函数 233
4.7 三种严格凸函数 234
4.7.1 严格凸函数 234
4.7.2 半严格凸函数 237
4.7.3 显凸函数 243
4.8 强凸函数 246
4.9 习题 252
第5章 广义凸函数 256
5.1 拟凸函数 257
5.1.1 基本性质 257
5.1.2 连续拟凸函数 265
5.1.3 可微拟凸函数 270
5.2 半严格拟凸函数 274
5.2.1 基本性质 274
5.2.2 连续半严格拟凸函数 281
5.2.3 显拟凸函数 287
5.3 伪凸函数 289
5.3.1 基本性质 289
5.3.2 与其他广义凸函数的关系 293
5.3.3 拟线性函数 299
5.3.4 伪线性函数 304
5.4 二次可微广义凸函数308
5.5 广义单调性 311
5.5.1 基本性质 312
5.5.2 与广义凸函数的关系 316
5.5.3 仿射映射 320
5.6 习题 324
第6章 凸函数微分 327
6.1 可微性 327
6.2 次微分 331
6.2.1 方向导数 331
6.2.2 次梯度 335
6.3 次微分连续性 341
6.3.1 单变量情形 341
6.3.2 多变量情形 345
6.4 共轭函数次微分 349
6.5 凸函数中值定理 352
6.6 若干运算性质 353
6.6.1 次可加性 353
6.6.2 复合凸函数次微分 357
6.6.3 凸函数族上确界函数次微分 358
6.7 Dini方向导数 362
6.7.1 一阶Dini方向导数 363
6.7.2 二阶Dini方向导数 370
6.8 习题 374
参考文献 376
附录1 常用数学符号列表 382
附录2 本书定义符号列表 383
“现代数学基础丛书”已出版书目