《有限群的特征标理论》介绍有限群特征标理论的基本内容以及近期的一些研究成果，同时也介绍特征标理论在纯群理论研究中的应用技术。《有限群的特征标理论》共四章。第1章介绍模、代数的基本概念和基本理论，它是有限群特征标理论的基础。第2章介绍特征标的基础理论，包括特征标的构造、Clifford理论以及Frobenius群。第3章介绍比较深入的特征标理论，主要包括射影表示、群作用下的特征标和共轭类、特征标的张量积诱导、域扩张下的群表示和特征标，*后还将专题介绍本原群和线性群理论。次数是特征标*重要和显著的数量指标，特征标次数也是特征标理论中*活跃的研究课题，这部分内容将在第4章中作专题介绍。

第1章表示、模和特征标
　　在本书中，总表示一个域;总表示一个有单位元(通常记为1)的环，简称幺环；加群都指关于加法的交换群.在本章中，我们将介绍一般代数上的模、表示等基本概念和基本理论.
　　1.1模
　　1.1.1Horn与End
　　设为非空集合A到非空集合B的映射，习惯上我们用表示在下的像，但很多时候也用表示a在下的像若为A到B的映射，为到的映射，则和的合成(或乘积)为到的映射，对于映射像的两种不同写法，我们有
　　设是两个加群，我们用表示到的群同态构成的集合，上的群自同态集合也记为.显然在下面的加法定义下构成一个加群：
　　对于两个向量空间我们用或表示到的线性映射也称为线性同态构成的集合;也记为或.在上定义加法、数乘及乘法运算如下：
　　其中，由线性代数知识知道，既是一个以恒等映射为单位元的环，又是一个向量空间.
　　对于集合，我们常用表示上的恒等映射；当上定义了乘法运算且有乘法单位元时，常用或表示其乘法单位元.
　　1.1.2模的定义
　　我们在一般意义下介绍模的概念.
　　定义1.1.1设是加群，是么环，若对任意，都存在中唯一的元素与之对应，这个唯一元素记为，且对任意，以下四款都成立：
　　设是右尺-模，显然，这里前后两个分别是尺和中的零元素.下面的命题1.1.2告诉我们，加群成为一个模，即是定义好了一个到End(F)的保持单位元的环同态.
　　命题1.1.2设是加群，尺是么环，则为右尺模的充要条件是，存在到的环同态，且该同态把单位元映成单位元.
　　证假设为右填.任取，定义上变换使得.由右模定义，我们看到再者，对任意，因为，
　　所以.同理有.因此为尺到的环同态，显然该同态把单位元映成单位元.
　　将尺在该环同态下的像记为，再将在下的像记为，由定义容易验证成为一个右兄-模.
　　定义1.1.3设为么环，和为两个右尺-模.若是到的加群同态，并且对任意都有
　　(1.1.1)
　　则称为到的右兄-模同态或兄-右模同态或兄-模同态.
　　右模到右模的兄-模同态集合记为，为避免与混淆，这里的下标不能省略；也记为.注意，(1.1.1)式实际上是一种交换性等式
　　即，先做模运算再求同态像，等于先求同态像再做模运算.既单又满的右兄-模同态称为同构.
　　类似于右兄-模，我们也可定义左兄-模.设是一个加群，若对任意，都存在中唯一的元素与之对应，这个唯一元素记为，且对任意，任意，以下四条都成立：
　　左模和右模有完全平行的结论，我们一般在右模环境下讨论.关于兄-模，再做以下说明或定义.
　　(A)设.若是樣，任取，规定，则也成为模.类似地，若是模，则也自然地成为模.
　　(B)设是向量空间，显然在数乘运算下成为左模.按说明也是自然的模.
　　(C)设，表示加群兄上的全体群自同态构成的环.任取，定义
　　简单验证知;进一步，容易验证;为尺到的环同态
　　且保持单位元，由命题1.1.2知道兄成为右11氰称之为右正则模.
　　(D)设都是右尺-模，这里是指标集.记为这些加群的直和，此时加群中每个元素都能唯一地表示为叫的形式，其中且这些中只有有限个非零，规定
　　则自然地成为右兄-模，称为模的直和，记为
　　(E)设为右兄-模，为的子集.若中每个元素都能写成其中，且这里的只有有限个非零，则称为右尺-模的
　　一个生成系.
　　(E1)进一步，若中每个元素都能唯一地表示为的形式，则称为的一个自由生成系或基底，也称为由自由生成的右兄-模.
　　(E2)若有一个仅含有限个元素的生成系，则称为有限生成的右尺-模.
　　1.1.3张量积
　　利用已有的兄-模构造新的兄-模是非常基础的工作.除了直和，张量积也是构造模的重要方法.这里我们在一般意义下引入张量积概念，但对张量积的理论，仅介绍我们需要的部分.为了定义加群及模上的张量积，我们先介绍自由加群.
　　定义1.1.4设是加群，为的子集.如果中任意元素都能唯一地表为二，其中，且在表达式中仅有有限个非零的，那么称是以为自由生成系或基底的自由加群.
　　容易看到，加群是以为自由生成系的自由加群的充分必要条件是，是以为自由生成系的左模，这里为整数环.
　　引理1.1.5关于自由加群，有以下两款基本事实.
　　(1)对于任意非空集合，都存在以为基底的自由加群.
　　(2)设是以为基底的自由加群，为任意加群.苦为到的映射，则一定存在唯一群同态，使得对任意都有.
　　证(1)对于每个，令，再做这些加群的直和，此时为加群.将中有且仅有一个分量为1且其余分量均为的元素构成的集合记为.再令为由集合生成的的子群，容易验证即是以为基底的自由加群.
　　对于，将它对应到中这样一个元素：在中的分量为且其余分量均为.容易看到这个对应，记为，是到的双射.将中的每个元素均替换为，其他元素不变，并保持运算，即得到以为基底的自由加群.
　　(2)任取因为可唯一地表为，故可定义到的映射使得，易见丁为满足要求的群同态.再者，由的唯一表示性，容易验证这样的群同态必唯一.
　　定义1.1.6设为右兄-模，灰为左楱，为加群，是笛卡儿积到的映射，若对任意，以及任意，都有，
　　则称为到的一个尺-平衡映射，简称平衡映射.
　　定义1.1.7设为右尺-模，为左兄-模，为加群.如果存在平衡映射使得
　　(1)6的像生成;
　　(2)对于到任意加群的任意一个平衡映射，一定存在群同态使得，也即，如图1.1所示，对任意都有，

目录
前言
符号和术语
第1章 表示、模和特征标 1
1.1 模 1
1.1.1 Hom与End 1
1.1.2 模的定义 1
1.1.3 张量积 3
1.1.4 张量积模 8
1.1.5 向量空间的张量积 10
1.2 代数上的表示、模及特征标 11
1.2.1 代数 11
1.2.2 代数上的模与表示 12
1.2.3 模同态 14
1.2.4 特征标 15
1.2.5 代数及其模的张量积 16
1.3 完全可约模和半单代数 18
1.3.1 不可约模和完全可约模 18
1.3.2 半单代数 22
1.3.3 群代数 27
第2章 有限群的特征标理论基础 29
2.1 定义 29
2.1.1 基本概念 29
2.1.2 例子和应用 35
2.2 特征标的基本性质 38
2.2.1 常表示的几条基本事实 39
2.2.2 一次表示和线性特征标 40
2.2.3 若干说明 43
2.2.4 代数整数、类函数与特征标值 44
2.2.5 正交关系 46
2.3 特征标的核、中心及次数 50
2.3.1 特征标的核 50
2.3.2 特征标的中心 51
2.3.3 不可约特征标的次数 53
2.3.4 例子 55
2.4 诱导特征标 58
2.4.1 一般域上的诱导特征标 58
2.4.2 复数域上的诱导特征标 63
2.4.3 置换特征标 65
2.4.4 Brauer置换引理 69
2.5 特征标的积 71
2.5.1 模的张量积与特征标的积 71
2.5.2 群直积下的特征标 73
2.5.3 特征标积的性质 75
2.5.4 Frobenius-Schur定理 76
2.6 特征标的 Galois共轭与Burnside零值定理 80
2.6.1 特征标的Galois共轭 80
2.6.2 Burnside零值定理.85
2.7 Clifford定理 89
2.7.1 特征标语言的Clifford定理 89
2.7.2 模语言下的Clifford定理 94
2.8 G-不变特征标 99
2.8.1 特征标串的基本性质 99
2.8.2 特征标下降定理和特征标提升定理 103
2.8.3 线性特征标的扩充 107
2.9 Frobenius群 109
2.9.1 Frobenius定理.109
2.9.2 Frobenius群的结构性质 110
2.9.3 Frobenius群的特征标理论描写 113
2.9.4 Camina对 117
2.9.5 特征标与群结构 119
第3章 特征标的基本理论续.121
3.1 射影表示 121
3.1.1 射影表示和因子系 121
3.1.2 中心扩张和Schur乘子 124
3.1.3 特征标串环境下的射影表示和通常表示.132
3.2 特征标的扩充定理 135
3.2.1 同构特征标串 135
3.2.2 特征标的扩充 139
3.3 群作用下的特征标与共轭类 142
3.3.1 Glauberman置换引理 143
3.3.2 Glauberman-Isaacs特征标对应.145
3.3.3 群在交换群上的作用 152
3.4 特征标的张量积诱导和圈积的表示 154
3.4.1 特征标的张量积诱导定理 155
3.4.2 圈积的表示 159
3.5 M-群 163
3.5.1 M-群及 M-特征标的基本性质 163
3.5.2 可解群与M-群 169
3.6 特征标环上的 Brauer 定理.170
3.6.1 Brauer定理 171
3.6.2 Brauer定理的应用 175
3.7 域扩张下的群表示和特征标 178
3.7.1 基本事实 178
3.7.2 分裂域 184
3.7.3 不可约表示提升到分裂域时的结构定理.186
3.7.4 p-Brauer特征标的基本概念 190
3.8 本原群 192
3.8.1 半线性群 Γ(qm) 193
3.8.2 可解拟本原线性群 196
3.8.3 本原素因子和本原线性群 200
3.8.4 可解置换群在幂集上的正则轨道存在性.203
3.9 线性群 207
3.9.1 有限域上可解线性群的阶 207
3.9.2 Blichfeldt定理 212
3.9.3 复线性群中正规Sylow子群的存在性 214
3.9.4 复数域上的本原线性群 216
3.9.5 p-可解线性群 218
第4章 特征标次数.226
4.1 特征标次数的素因子226
4.1.1 It.-Michler定理 226
4.1.2 Thompson定理 230
4.1.3 非交换单群的不可约特征标 234
4.2 特征标次数的个数 236
4.2.1 可解的极小非交换商群 237
4.2.2 |cd(G)|≤4的有限群 240
4.2.3 特征标次数的个数与可解群的Fitting高 249
4.2.4 特征标次数的个数与可解群的导长 251
4.2.5 特征标次数的重数 253
4.3 特征标次数图 255
4.3.1 准备工作 256
4.3.2 特征标次数图的图论性质 262
4.3.3 Γ(G)不连通的有限群 G 的结构 266
4.3.4 特征标次数图不是完全图的可解群 268
4.3.5 以特征标次数为顶点的图 275
4.3.6 特征标次数图与共轭类长图的关系 276
4.4 ρ-σ问题.281
4.4.1 关于cd(G)的ρ-σ猜想 281
4.4.2 共轭类长形式的ρ-σ问题 287
4.4.3 素因子在特征标次数中出现的重数 288
4.5 *大特征标次数 290
4.5.1 几个**结果 290
4.5.2 大轨道长度 292
4.5.3 |G/Op(G)|p与b(G)的关系 297
4.5.4 若干注记 302
4.6 平均特征标次数 303
4.6.1 共轭类个数 303
4.6.2 平均特征标次数 304
4.6.3 平均共轭类长 311
4.7 具有给定特征标次数条件的有限群 316
4.7.1 特征标次数为连续整数的有限群 316
4.7.2 特征标次数均平方自由的有限群 327
参考文献 332
索引 338