第1讲Hamel基
1.1准备知识
*先，我们给出几个需要用的定义：
定义1.1.1设数域为实数域或复数域，对于K上的线性空间的子
集S1，如果存在一组非全零的系数，使得
，其中，那么称线性相关的.反之，则称为线性无关的.
定义1.1.2线性空间内的子集的所有线性组合全体，称为的线性包，记为到或在某些文献中，也称为由S产生的线性子空间.
有了上面的定义，我们就可以给出本节要讨论的Hamel基的概念：
定义1.1.3线性空间
注1.1.4由定义1.1.3可知，在x表达式的“和”中，仅有“有限个”非0系数；此外，对应于H中元素的线性表达式是唯一的.
下面，我们给出两个例子：
例1.1.5
例1.1.6设线性空间
下面，我们给出有关Hamel基性质的几个定理：
定理1.1.7每个线性空间E均存在Hamel基.
证明令汉为E的所有线性无关子集全体，按包含关系在其内定义半序，则其任意全序子集均有上界.
注1.1.8类似地，我们可以证明：
(1)若和是的线性无关子集，且
(2)若
定理1.1.9在线性空间E中，任意两个不同丑基都具有相同的基数.
证明设
现设是无限集，因为，对于任意的存在有限元集使得，所以有
(1.1)
aGA
事实上，反之，假设存在使得.由于为，故有
可由中其他的元素线性表出，这与中的元素是线性无关的假设矛盾.
定义1.1.10线性空间E的Hamel维数，是指其Hamel基的势，记为.的子集M的Hamel维数是指[M]的Hamel维数.
例1.1.11
例1.1.12
*先，
其次，包含有一线性无关集，而定理1.1.13具有相同Hamel维数的线性空间是同构的.
证明设
综上所述，是一个双射线性映射，从而与是同构的.
1.2 Hamel基的应用
虽然对于任意无穷维线性空间而言，求其Hamel基是困难的，但这个抽象概念却十分有用.我们可以从其抽象的存在性出发，得到一些非常有趣的结果.在这一节中，我们将通过几个命题来展示其应用.
*先，借助Hamel基，我们可以得出在某类无穷维距离线性空间中存在线性非连续泛函的结论.为此，我们先介绍以下定义.
定义1.2.1若线性空间E满足条件：
(1)五中有“平移不变”距离.即对任意元
(2)当
则称为距离线性空间（或赋准范空间特别地，将条件换为:
则称为具有绝对齐性距离的距离线性空间，或简称赋少范空间.
注1.2.3根据距离的三角不等式，我们可以推导出范空间必须满足，并且是赋准范空间.特别是，当时，这类空间是赋范线性空间.数列空间是赋卢-范空间的一个典型例子.
注1.2.4在本书后面的内容中，我们将给出
(1)距离线性空间，也称为赋准范空间，是一种特殊的线性拓扑空间，它不仅满足公理，而且还满足**可数公理.
(2)赋卢-范空间，它是一种线性拓扑空间，除了满足公理外，还具有局部有界性.请参考文献.
注1.2.5
推论1.2.6如果是无穷维的赋卢-范空间，那么，在五上必存在不连续的线性泛函.
证明设
显然，上的线性泛函，然而
这是因为
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