《医学影像精准分析的数学理论与算法》共6章。第1章是绪论,介绍了医学影像精准分析与智能诊断的数学理论与技术的研究现状,以及面临的主要挑战和若干关键科学问题。第2章介绍了图像处理中一些典型凸优化问题及其求解方法,重点介绍了变分不等式和邻近点算法。第3章主要介绍了图像分割方法,包括活动轮廓模型、深度学习方法以及卷积神经网络与活动轮廓模型的结合。第4章介绍了基于几何理论的医学图像的配准方法,具体地讲,通过手术导航、双平面透视成像系统下的膝关节配准两个医学实例,介绍一些基础且有效的图像分割及配准的方法,包括点云或图像刚性配准、小形变的非刚性弹性配准方法以及大形变的非刚性弹性配准方法——大形变微分同胚度量映射方法。第5章主要介绍了医学影像重建与生成方法。第6章主要介绍了医学成像重建基础、无监督深度学习以及VAE在成像重建中的应用、PixelCNN在成像重建中的应用、去噪自编码模型在成像重建中的应用等。

第1章医学影像精准分析与智能诊断的数学理论与技术综述
　　人民健康是关乎国计民生的大事，是经济、社会发展的基础.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴、人民幸福的重要标志，是实现中国梦和“健康中国”的重要组成部分.习近平总书记指出，要推进“互联网+医疗”等，要“把人民健康放在优先发展的战略地位2016年10月，中共中央、国务院印发了《“健康中国2030”规划纲要》.2018年4月，国务院提出了《关于促进“互联网+医疗健康”发展的意见》.社会经济的发展和人民生活水平的提高对健康的需求与日俱增，当今科学技术的巨大进步使得智能诊疗应运而生.智能诊疗的目标是使诊断治疗精准、高效、低损害、低成本，主要是通过髙端精准医疗设备和手段，尽可能地降低临床实践的不确定性，实现智能化的诊疗，同时尽量将损伤控制到*低程度.因此，根据国家重大战略需求，深入开展智能诊疗领域的基础研究以及关键技术研发，提升我国相关领域自主创新能力，构建和完善适合我国国情的智能诊疗体系，对于保证在涉及国计民生领域不受制于人，具有十分重大的意义.
　　智能诊疗是一门多学科交叉的髙尖科技，需要现代医学、信息科学、统计学和数学科学等学科协同合作和推进.医学影像的高效精准分析是智能诊疗的前提，是“卡脖子”的核心技术，高效精准的医学影像分析可以及时准确预测和识别疾病、科学规划治疗方案、适时实施手术导航和量化评估治疗效果等.由于是特定成像设备对人体器官和组织等信息采集与反馈成像，因此医学影像高效精准分析需要处理大形变、非线性、小样本、多模态、多序列等问题，而数学在其中起着不可替代的基础性作用(见).对于当今国际关注的医学影像分析与疾病智能诊疗，已有方法和技术面临着巨大挑战，人们需要新思想、新理论、新方法和新技术才能获得更加清晰的图像、更加精准的信息和更加快速的处理能力.
　　针对医学影像精准分析与智能诊断的临床需求，有如下的关键科学问题亟待解决：①强不适定性数学反问题与医学成像新原理和新方法；②高维数据统计约束下的泛函极小化问题、保解剖结构的*优传输问题与医学影像精准分析技术;③基于医学影像精准分析的疾病智能诊断的数学方法等问题.通过对上述问题的研究，建立医学影像高效精准分析的数学理论和关键技术，推进数学、医学以及信息等多学科交叉与合作，突破制约实施智能诊疗的技术瓶颈，形成我国在医学影像精准分析与智能诊断领域的自主创新体系和一批*立自主的知识产权，促进我国在该领域赶超世界先进，抢占高新技术制髙点.
　　从技术准备、医疗设备、医学数据资源和研究队伍来看，目前系统发展医学影像精准分析的数学理论与技术时机已经成熟.在科学技术层面，数学、医学、信息、统计学和数据科学等学科的飞速发展，为医学影像高效精准分析提供了坚实的技术储备和科学探索经验.特别是，数学理论和算法成功地应用到以深度学习为代表的人工智能、信息论和软件工程等领域，在科技方面取得了一系列突破，充分证明了数学对高新技术和工程的巨大促进与推动作用，为医学影像高效精准分析提供了思想、认识论和方法论等方面的准备(见).自改革开放以来，我国的医疗和科研机构的硬件条件得到了很大的改善，特别是中心城市的综合医院，都拥有国际尖端的医疗设备，加上庞大的患者基数，产生了海量医学影像和医疗学数据资料，为全面开展医学影像精准分析研究奠定了坚实的基础.在研究队伍层面，随着我国改革开放以来大力发展科技，在数学、医学、信息技术等领域已拥有一批高水平且具有国际视野的学术团队，这些团队正在积极地推进数学、医学和信息科学的深入交叉与合作，并取得了可喜的成果.医学影像精准分析的数学理论与技术研究以及临床应用研究呈现出“基础科学、高新技术与产业渴求交叉合作与共同发展”的大好局面.这表明在医学影像高效精准分析的数学理论与核心技术研究方面，我国已有了技术储备、设备条件和研究队伍等方面的充分准备.
　　此外，实际应用需求呼唤医学成像和影像分析的数学理论与技术研究，同时也凸显了核心技术缺位，逐步暴露出我国在医学成像和影像分析行业数学理论与技术基础的薄弱，形成了产业对相应的关键数学技术需求的倒逼态势.这些事实给医学影像精准分析的数学理论和技术研究取得突破带来了重大机遇.实际上，发达国家在医学影像分析方面的战略部署无一不是力争保持高新技术领先、维护国家安全、推动经济发展.支持智能诊疗的影像分析技术也正在成为我国经济发展创新驱动的新引擎，产业转型升级的助推器.但是，我国医学影像分析与智能诊疗领域的进一步发展，面临着缺乏医学影像精准分析的核心数学理论与关键技术的瓶颈.支持智能诊疗的医学影像分析的基础理论和核心算法的突破，可以有效地推动相关产业健康发展和高效创新.因此，这方面的研究是非常必要，也是十分迫切的.
　　实现医学影像的精准分析和智能诊疗是国家战略的重要组成部分，是时代的必然要求，具有重要的科学价值和巨大的社会经济价值.聚焦医学影像精准分析的数学理论与技术研究是关键的切入点，符合国家重大战略需求和当代的国情，契合学科前沿的发展趋势，有望取得重大突破.另一方面，长期以来医疗技术和装备领先的国家对我国实施技术封锁，由于缺乏核心技术，我国高端医疗装备绝大多数还是依靠进口，国产化装备和智能诊疗技术的发展受外部影响非常严重，开展医学影像精准分析的数学理论与技术研究，可以提升我国在该领域的核心竞争力，拥有自主知识产权，培育和形成智能诊疗与高端医疗设备研发的产学研体系，改变受制于人的现状.因此，这方面研究与实施不仅是必要的，而且是十分迫切的.同时也是切实落实国务院发布的《国务院关于全面加强基础科学研究的若干意见丨国发〔2018〕4号）以及科技部办公厅、***办公厅、中国科学院办公厅、自然科学基金委办公室等四部委联合发布《关于加强数学科学研究工作方案》关于“持续稳定支持基础数学科学”和“加强应用数学和教学的应用研究”的具体实践.
　　上述科学问题，既是当前数学研究领域中的前沿科学问题，也是高新技术中具有挑战性的问题.对这些基础理论问题和创新方法进行深入研究，设计并实现相应的核心算法，不仅能为支持智能诊疗的医学成像与影像分析的基础理论取得原始创新成果和学科发展提供重要的推动作用，还能为微分几何、非线性偏微分方程、高维统计、强不适定反问题、概率论、非凸优化理论和快速高效算法等领域提出新的科学问题，促进数学学科的发展；另一方面，由此所产生的数学新理论、新方法、新技术，由于其科学性、基础性和前瞻性，可进一步推动影像精准分析的创新和发展.同时，对这些问题的深入研究，将造就一批从事医学影像精准分析的数学技术研究及其应用的青年人才.通过多学科合作，推动数学与医学、信息科学、生物医学工程等学科的交叉与发展，产生新思想、新理论、新方法和新技术，进而形**的学科生长点与亮点，打造该领域的中国学派.
　　1.1研究现状
　　随着医学影像精准分析研究逐渐成为国际科学技术新前沿和新制高点，对于医学影像分析的数学理论和技术研究也日益受到人们的极大关注，取得了一些重要成果，并得到广泛应用.
　　医学影像成像算法方面医学影像成像是医学影像精准分析的基础与前提，其成像速度、成像剂量、成像参数等决定了医学诊断应用中的可用性、效率或对人体的伤害程度；其成像质量决定了医学影像辅助诊断的效果与精度.例如，CT成像质量与剂量密切相关：一方面，CT成像剂量高会导致对人体损伤大；另一方面，在实际的疾病筛查与诊疗中，临床需要低剂量，因此亟待解决降低剂量条件下高质量CT成像问题；磁共振成像(MRI)的成像速度依赖于物理空间的采样量见所以降低采样量的同时实现高质量成像，是避免成像速度慢所带来的效率低或影像模糊等问题的关键.因此，研究医学成像像源控制，实现成像剂量与采样量降低条件下的成像质量提升，是医学影像成像技术的基础与关键问题.从本质上说，医学影像成像问题是一个数学反问题，而低/微剂量CT或快速/超快MRI成像问题则是更具挑战性的强不适定数学反问题.传统的成像方法主要关注如何设计约束解空间的先验或正则化项(见[18-22])，通常采用影像变换域内的稀疏正则化项进行约束；近期的深度学习方法通过设计各种类型的深度学习网络模型，实现从观测数据/粗成像图像到高质量成像图像的映射(见[23-28])，在一定程度上超越了传统人为设计稀疏正则化的解空间约束能力.如何进一步降低成像质量对剂量/采样数据量的依赖，实现医学成像的低/微剂量和快速/超快成像是提升医疗成像手段的高效性和通用性的关键.
　　医学影像分析方面国际上许多著名大学和研究机构都开展了医学影像分析与处理方面的基础理论和应用研究，包括美国耶鲁大学医学院、麻省理工学院人工智能实验室、哈佛医学院神经生物学系、约翰斯？霍普金斯大学；国内医学影像分析与处理研究也得到了很多大学和研究机构的重视，尽管起步比较晚，但在较高的起点上取得了一系列成果(见[29-33]).此外，GE医疗、飞利浦医疗等著名医学影像设备公司，都有专门的医学影像分析研究中心开展研究；西门子公司在普林斯顿设研究院，专注于医学图像分析的理论方法基础研究和软件开发.
　　医学影像精准分析主要包括医学图像的分割、配准、融合与合成等方面，其国内外现状可概括如下：
　　(1)图像分割图像分割是把图像分成若干个特定的、具有*特性质的区域并提出感兴趣目标的技术和过程.它是从图像处理到图像分析的关键步骤.现有的图像分割方法主要分为以下几类：基于阈值的分割方法、基于区域的分割方法、基于边缘的分割方法以及基于特定理论的分割方法等.自1998年以来，研究人员不断改进原有的图像分割方法并把其他学科一些新理论和新方法用于图像分割，提出了不少新的分割方法，譬如：Chan和Vese的CV模型、李纯明等的距离正则化的水平集方法、Chen等提出的基于先验形状的活动轮廓分割模型以及Huang等提出的基于超声影像的几何分割模型.在求解方面，Osher和Fedkiw及Sethian 提出了基于几何变形模型的水平集方法，后被Caselles等应用到图像分割模型的求解中；Chambolle_于2004年提出的对偶算法也被应用于求解凸松弛CV模型；Chan等_提出一种基于Wesserstein距离的分割模型并用快速全局*优化方法进行求解;Boykov和Kolmogorov提出了Graph-cut的方法，将图论引入图像分割算法中.基于几何的图像分割方法方面，也取得了不少成果(见[43-48]).
　　(2)图像配准图像配准是指对于一幅医学图像寻求一种或一系列的空间变换，使它与另一幅医学图像上的对应点达到空间上的一致.医学图像配准的精度
　　往往对临床应用有很大影响.图像配准分为刚性配准和非刚性配准.目前刚性配准算法相对成熟，在一般的问题上可以达到快速全自动的程度.但是在临床的实际问题中，刚性配准往往无法刻画两幅图像间的差异.非刚性配准的局部空间变换有很高的自由度，可以描述两幅图像之间所有尺度的细节差异.非刚性配准算法，一般可分为基于特征的非刚性配准算法、基于灰度的非刚性配准算法和基于特征与灰度的混合型非刚性配准算法.代表性的配准模型与算法有：Horn和Schunck提出的基于变分方法的配准模型(即Horn模型)、Rosenfeld和Kak提出的基于交叉相关的配准模型、Reddy等M提出的基于傅里叶变换的配准方法、Viola和Wells[521提出的基于*大化互信息准则(Shannon熵）的配准方法、Lowe!53!提出的基于SIFT特征匹配的配准模型、Fischer等提出的基于*率约束的非刚性配准模型、Vemuri等[541提出的基于水平集和非线性偏微分方程的配准方法、Moelich和Chan提出的基于逻辑模型的耦合分割与配准方法以及陈韵梅等提出的基于Rinyi度量的形变多模态配准模型等.此外，基于*优运输理论和几何方法的图像配准与模板生成方法也取得一些进展[57_671.虽然*优传输理论已经被应用于图像配准问题和图集生成问题，但受限于*优传输模型的高度非线性以及医学图像数据的高维度特性，

目录
“数理医学丛书” 序
前言
第1章 医学影像精准分析与智能诊断的数学理论与技术综述 1
1.1 研究现状 3
1.2 面临的主要挑战及发展动态分析 7
1.2.1 面临的主要挑战 7
1.2.2 发展动态分析 9
1.3 若干关键科学问题 9
1.4 科技界、产业界与临床医学的需求目标 13
参考文献 15
第2章 图像处理中一些典型凸优化问题及其求解方法 21
2.1 引言 21
2.2 预备知识 22
2.2.1 与线性约束凸优化问题等价的变分不等式 23
2.2.2 邻近点算法 25
2.3 变分不等式框架下的邻近点算法 27
2.3.1 原始–对偶混合梯度法 27
2.3.2 定制的邻近点算法 28
2.3.3 与 CP 方法的关系 31
2.4 可分离两块凸优化问题的交替方向法 31
2.4.1 交替方向乘子法及其收敛性 33
2.4.2 线性化交替方向法 37
2.4.3 交替方向法的改进 41
2.5 可分离多块凸优化问题的分裂收缩算法 42
2.5.1 交替方向法求解可分离三块凸优化不收敛的例子 43
2.5.2 可分离三块凸优化问题的交替方向类方法 43
2.6 分裂收缩算法的统一框架 45
2.6.1 变分不等式形式下的统一框架.46
2.6.2 统一框架下的收缩性质 47
2.6.3 基于统一框架的算法 48
2.7 基于统一框架的算法收敛性验证 50
2.7.1 可分离两块凸优化问题的交替方向法及其改进 50
2.7.2 可分离三块凸优化问题的交替方向类方法 54
2.8 结论和思考 58
2.9 图像处理中的典型凸优化问题 59
2.9.1 图像去噪 60
2.9.2 图像去卷积 62
2.9.3 图像填补 64
2.9.4 图像缩放 65
2.9.5 图像分解 67
2.10 监视器视频数据背景提取 69
参考文献 70
第3章 图像分割方法 74
3.1 图像分割简介 74
3.1.1 图像分割的数学定义 74
3.1.2 早期图像分割方法 75
3.2 活动轮廓模型 79
3.2.1 参数活动轮廓模型 79
3.2.2 几何活动轮廓模型 82
3.2.3 小结 89
3.3 深度学习方法.89
3.3.1 深度学习与卷积神经网络 89
3.3.2 基于卷积神经网络的图像分割模型 95
3.4 卷积神经网络与活动轮廓模型的结合 102
3.4.1 预处理或后处理 102
3.4.2 模型加入网络 104
3.4.3 网络替换模型 105
3.4.4 端到端可学习模型 107
参考文献 108
第4章 医学图像的配准 116
4.1 预备知识 116
4.1.1 坐标系间的关系 116
4.1.2 常用的*优化方法简介 117
4.1.3 期望*大化算法 119
4.1.4 哈密顿–蒙特卡罗取样方法 121
4.1.5 Retinex图像增强方法 122
4.2 点云的刚性配准 124
4.2.1 三维点云之间旋转变换的直接求解 124
4.2.2 对应关系不确定的点云刚性配准 126
4.3 刚性配准在智能诊疗中的应用 129
4.3.1 多个坐标系间的关系 129
4.3.2 相机内外参数的确定 130
4.3.3 三维立体成像系统中标志点的定位 136
4.3.4 应用1:手术导航 137
4.3.5 应用2:双平面透视成像系统下的膝关节配准 138
4.4 图像间小形变的非刚性弹性配准 140
4.5 图像间大形变的非刚性弹性配准及公共模板的确定 141
4.5.1 微分同胚流形中的测地线 141
4.5.2 两个图像之间的配准 144
4.5.3 *关于 I，v，m的一阶变分的推导过程 146
4.5.4 微分同胚配准中公共模板的确定 148
参考文献 151
第5章 医学影像重建与生成方法 153
5.1 医学图像重建与生成介绍 153
5.1.1 传统医学图像重建方法 154
5.1.2 传统医学图像生成方法 154
5.1.3 基于深度学习的医学影像重建与生成 155
5.2 快速磁共振成像的ADMM深度神经网络 155
5.2.1 压缩感知磁共振重建模型与ADMM算法 156
5.2.2 ADMM深度网络 157
5.2.3 ADMM深度网络训练 159
5.2.4 实验 159
5.3 并行磁共振成像的先验学习深度网络 161
5.3.1 重建模型 162
5.3.2 模型优化 163
5.3.3 图像和灵敏度先验学习的展开网络 164
5.3.4 实验 165
5.4 保结构一致性的跨模态影像生成 166
5.4.1 跨模态结构一致性建模 168
5.4.2 网络结构 169
5.4.3 训练损失 170
5.4.4 实验 171
5.5 总结与展望 172
5.5.1 医学影像重建与生成的总结与讨论 172
5.5.2 深度学习在医学影像分析中的挑战问题 173
参考文献 174
第6章 无监督深度学习及其在成像重建中的应用 180
6.1 医学成像重建基础 180
6.1.1 磁共振成像背景介绍 180
6.1.2 CT成像重建背景介绍 181
6.2 无监督深度学习介绍 183
6.2.1 各种常用模型介绍 183
6.2.2 分析与启示 191
6.3 VAE在成像重建中的应用 194
6.3.1 VAE先验信息学习 194
6.3.2 深度先验重建模型 195
6.4 PixelCNN在成像重建中的应用 197
6.4.1 PixelCNN先验信息学习 197
6.4.2 迭代重建模型 198
6.5 DAE在成像重建中的应用 199
6.5.1 EDAEP算法 199
6.5.2 REDAEP算法 204
6.5.3 MEDMSP算法 210
6.6 总结与展望 215
6.7 算法证明 215
6.7.1 去噪自编码器中的证明 215
6.7.2 DAE与DSM等价性的证明 216
参考文献 218
“数理医学丛书”已出版书目