第1章 量子力学与经验
量子力学是非常成功的物理学理论，它在经验预言方面有着超乎寻常的准确性。该理论的内核是薛定谔方程和玻恩规则，它们包含在各种不同的非相对论量子理论中。⑤?薛定谔方程支配着物理系统波函数的时间演化，而玻恩规则将波函数与系统测量可能结果的概率联系起来。本章介绍量子力学的内核，特别是它的数学形式体系与经验间的联系。这里的介绍并不企及完备，但对于后面分析波函数的意义与量子力学的本体论内容而言足矣。
1.1 数学形式体系
量子力学的数学形式体系主要由两部分组成。第一部分将一个数学对象，即所谓的波函数或量子态，赋予给定时刻恰当制备的物理系统。⑥第二部分确定波函数随时间的演化方式。波函数的演化由薛定谔方程支配，后者的具体形式由系统的性质及其与环境的相互作用决定。
波函数有两种常见的表述：希尔伯特空间表述和位形空间表述，二者各有优势。在希尔伯特空间表述中，波函数是希尔伯特空间中的一个单位向量或态向量，用狄拉克括号通常表示为。希尔伯特空间是一个具有标量积的完备向量空间，其维度和结构取决于具体的系统。例如，复合系统的希尔伯特空间是其组分系统希尔伯特空间的张量积。⑦
希尔伯特空间的这一结构在位形空间表象中体现得更为明了。体量子系统的位形空间维度为，空间中的每个点都可以用一个有序的数组来确定，其中三个坐标一组即是每个子系统在3维空间中的位置坐标。系统的波函数是在此位形空间上的复函数⑧，它可以写作，其中是第个子系统在维位形空间中的坐标。此外，波函数是归一化的，即波函数模的平方在整个空间上的积分为1。当个子系统独立时，整个波函数可以分解为个子系统波函数的积，每个子系统都处于3维空间中。
对于一个体量子系统，系统的一些其他性质也具有维空间的波函数。例如，体系统的动量空间是由个动量坐标所参量化的维空间，动量波函数是此空间上的一个复函数。这时希尔伯特空间表述更为简便。物理系统的可测量性质或可观测量是用系统希尔伯特空间上的厄米算符来表示的，而不同性质的波函数，如位置波函数和动量波函数，可以用相应于这些性质的算符间的关系来相互变换。
量子力学数学形式体系的第二部分给出了物理系统的波函数随时间演化的规律。波函数随时间的演化由薛定谔方程支配：
（1.1）
其中，是普朗克常数除以；是哈密顿算符，取决于系统的能量性质。哈密顿量独立于演化的波函数，且它不改变波函数的归一化，在这个意义上我们说时间演化是线性的和幺正的。哈密顿量和薛定谔方程的具体形式取决于被研究的系统及其与环境中其他系统的相互作用。例如，在一个外部势中，电子波函数的演化满足下述薛定谔方程：
（1.2）
其中，是电子的波函数；是电子的质量；是外部势。
1.2 玻恩规则
量子力学的经验内容是什么？或者说赋予物理系统的波函数是如何与系统的实验测量结果相关联的？人们熟知的连接规则是玻恩规则，它得到了实验的精确验证。玻恩规则指出，对波函数为的系统的可观测量的（投影）测量将随机地得到的一个本征值，得到本征值的概率由给出，其中是相应于本征值的本征态。
玻恩规则也可以用位形空间语言表述如下。在与物理系统性质相关的位形空间中，对波函数模的平方在一特定区间上的积分给出测量到系统性质在此区间内取值的概率。例如，对于波函数为的物理系统，表示系统位置测量结果在与之间的概率，且是位置处的概率密度。类似地，对于一个波函数为的体系统，表示如下结果的概率密度，即第一个子系统的位置测量得到，第二个子系统的位置测量得到， ，第个子系统的位置测量得到。
玻恩规则为波函数与测量结果提供了概率性的联系。不过，它可能不是唯一的联系规则，因为这里的测量，即投影测量，不是唯一的测量类型。为了获悉量子力学与经验之间是否还存在其他可能的联系，我们需要更详细地对测量进行分析。
测量是被测系统与测量装置之间的一种相互作用，可以用标准的冯？诺依曼过程来描述。假定在给定时刻被测系统的波函数为，测量装置指针的初始波函数是一个以初始位置为中心、具有非常小宽度的高斯波包，记作。组合系统总的哈密顿量可以写为
（1.3）
其中，和分别是被测系统和测量装置的自由哈密顿量；是将被测系统与测量装置耦合起来的相互作用哈密顿量，可以进一步写为
（1.4）
其中，是测量装置指针的动量；是被测可观测量；表示相互作用的含时耦合强度，它在测量间隙之内是归一化的光滑函数，即，且有。
我们知道存在不同种类的测量，这取决于相互作用的强度和时间，以及被测系统是否得到恰当的保护等。*为常见的测量是玻恩规则中提到的投影测量。投影测量中，相互作用非常强，且持续时间非常短，使得它支配着其他的哈密顿量，因而测量装置和被测系统自由哈密顿量的影响可以忽略。组合系统在相互作用结束时的态可以写作
（1.5）
用的本征态展开，我们得到
（1.6）
其中是展开系数。指数项将指针的中心移动了：
（1.7）
这是一个纠缠态，其中本征值为的的本征态与测量装置的指针偏移值为的态关联在一起。
玻恩规则告诉我们（我们也通过经验知悉），这种投影测量的结果是被测可观测量的一个本征值，如?ai，其概率为。然而，我们仍然不知道这个纠缠的叠加态是不是组合系统在测量之后的终态。⑨确定结果的出现似乎与纠缠态不一致，这就是著名的测量问题。对这一问题的求解将在第?8章中给出。
1.3 与经验的确定联系
在投影测量中，由于被测系统与测量装置间的相互作用非常强，因而测量干扰到被测系统且剧烈地改变了它的波函数。这并不是一种好的测量。好的测量要求不干扰被测系统的态，从而能够测量到系统的真实性质。对于投影测量而言，仅当被测系统的初态是被测可观测量的一个本征态时，才能满足上述要求。在这种情形下，组合系统的终态并不是一个纠缠态，而是一个积态，如
（1.8）
按照玻恩规则，这一投影测量得到确定的结果。
通常好的测量是在测量时保护被测量的态，以免它被改变。一种通用的保护方案是利用量子芝诺效应（Aharonov et?al.，1993）⑩，我们来看它是如何实现的。我们在很短的测量间隙内对可观测量进行大量密集的投影测量，其被测态是一个非简并的本征态。例如，在中的时刻测量O，其中，是任意大的数。与此同时，就像1.2节中那样，我们在间隙内对可观测量A做同样的投影测量，即用式（1.4）的相互作用哈密顿量所描述的测量。
如前所述，由于相互作用持续时间很短，且非常强，以至于支配了其他哈密顿量，测量装置和被测系统的自由哈密顿量的影响可以忽略不计，从而在之后组合系统态的分支（其中对O的每个投影测量都得到被测系统处于态）由下式给出：
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