第1章 数学与人类文明
对任何一门学科的理解，单有这门学科的具体知识是不够的，即使你对这门学科知识掌握得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的认识，需要了解这门学科的本质. 本章的目的就是从历史的、 哲学的和文化的角度给出关于数学本质的一般认识. 这一章简要讨论数学的内容与特点及精神、数学发展简史及数学与人类文明.
1.1 数学的内容、特点及精神1
数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科. 由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统. 数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器. 今从以下几个方面来谈数学的内容、特点及精神.
1.1.1 数学是什么
1. 数学的定义
给数学下定义是一件困难的事情. 对任何事物下定义都会遇到同样的困难. 因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去. 另外，数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化. 要给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的. 考虑全面性与历史发展，可给数学下两个定义.
(1) 数学是数和形的学问. 数学是一棵参天大树. 它的根深深地扎于现实世界.它有两个主干，一曰形——几何，一曰数——代数.
几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力;
代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力.
几何与代数两者相辅相成. 没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明. 借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明. 著名数学家庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们到达目的地. 为此必须从远处瞭望目标，而数学教导我们，瞭望的本领是直觉. ”英国数学家阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养.”然而在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉.
如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围. 所以只研究数与形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的. 这就产生了微积分. 它的延伸是无穷级数、微分方程、微分几何等. 那么，什么是数学呢？19 世纪，恩格斯给数学下了这样的定义：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”
恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分. 但是在 19 世纪末，数理逻辑诞生了. 在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义. 于是人们又考虑数学的新定义.
(2) 数学是关于模式和秩序的科学，是对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性.
这一定义实际上是用“模式”代替了“数与形”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式、形的模式、运动与变化的模式、推理与通信的模式、行为的模式 这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的. 我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季循环往复；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的. 人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学. 通过数学建立模式可以使知识条理化，并揭示自然界的奥秘.
模式和秩序的科学都是数学吗？物理学、力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定.
物理学的基本元素：具有波粒二象性的场；生物学的基本元素：细胞；数学呢？数、形、机会、算法与变化.
数学的处理对象分成三组：数据、测量、观察资料；推断、演绎、证明；自然现象、人类行为、社会系统的各种模式.
数学提供了有特色的思考方式.
抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究.
符号化：把自然语言扩充、深化，而变为紧凑、简明的符号语言. 这是自然科学共有的思考方式，以数学为*.
公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理. 归纳与演绎并用.
**化：考察所有的可能性，从中寻求**解.
建立模型：对现实现象进行分析. 从中找出数量关系，并化为数学问题.
应用这些思考方式的经验构成数学能力. 这是当今信息时代越来越重要的一种智力. 它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险. 数学能使我们更好地了解人们生活于其中的充满信息的世界.
2. 名家论数学
(1) 数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的 (恩格斯).
(2) 因为数学可以使人们的思想纪律化，能教会人们合理地去思维. 无怪乎人们说，数学是锻炼思想的“体操”(加里宁).
(3) 如果欧几里得 (几何) 不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学思想家 (爱因斯坦).
(4) 在数学中，*微小的误差也不能忽略 (牛顿).
(5) 读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩，凡有所学，皆成性格 (培根).
(6) 宇宙之大，核子之微，火箭之速，日用之繁，无处不用数学 (华罗庚).
(7) 现代科学技术不管哪一部门都离不开数学，离不开数学科学的一门或几门学科 (钱学森).
(8) 数学的统一性及简单性都是极为重要的. 因为数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地解释世界. 归根结底，数学仍然是人类的活动，而不是计算机的程序 (M. F. Atiyah).
1.1.2 数学的内容
大致说来，数学分为初等数学、高等数学与现代数学三大部分.
1. 初等数学
初等数学主要包含两部分：几何学与代数学. 几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科.
初等数学基本上是常量的数学.
2. 高等数学
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：
解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学.
线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题.
高等代数：研究方程式的求根问题.
微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题. 作为微积分的延伸，还有常微分方程与偏微分方程.
概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理.
所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦.
3. 现代数学
现代数学的内容非常丰富，抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分. 它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识.
1.1.3 数学的特点
数学具有两重性，即内部的发展和外部的发展. 数学本身的内部活力和对培育其发展的养分的需要，数学本身就是智力训练的学科. 另外数学也是科学、工程、工业、管理和金融的基本工具和语言.
从内部的发展来看，数学区分于其他学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的理论与结果的优美性；从外部的发展来看，数学区别于其他学科的明显特点有两个：第一是它的应用的极其广泛性，第二是它的应用的前瞻性；此外，数学还有一个明显的特点，就是数学的技术性. 下面分述.
1. 抽象性
在中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了. 数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征. 整数的概念、几何图形的概念都属于*原始的数学概念. 在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、实数、复数、函数、微分、积分、n 维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念. 但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景. 不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性. 例如，物理学中的许多概念如力、质点、理想气体等都有相当程度的抽象；又如“人”这个概念，他已不是指张三、李四了，也不是指男的、女的、老的、少的、胖的、瘦的人了，而是一个抽象的概念. 因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点. 数学抽象的特点在于：
(1) 在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切. 数学的抽象似乎使数学离现实远了一些，但从逻辑上看，当有关的概念越抽象时，它反映的对象越广. 因而，正是这种高度的抽象导致了宽广的应用.
(2) 数学的抽象是一个历史过程，是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象，例如人们对数的认识. 从中可以看出，科学的抽象使我们更接近真理，使认识更深刻、更精确.
(3) 数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中. 如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算. 这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的.
2. 精确性
数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性. 这点读者从中学数学就已很好地懂得了. 当然，数学的严格性不是绝对的、一成不变的，而是相对的、发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程. 数学为精确性而一直奋斗，从而形成了今天这种世人看来*不易引起争议的精确、严谨的学科.
例如，欧几里得几何，从少的不能再少的几个命题出发演绎出全部欧几里得几何命题，成为*为人们称道的欧几里得公理体系.
3. 理论与结果的优美性
数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求. 数学理论的高度概括性和数学结果与公式的简洁、和谐、对称、奇异的优美之例比比皆是.可以说，数学理论和结果都是按美学标准建起来的. 与其寻求一个数学美的严格定义 (很难办到)，不如我们去把握数学美的如下特征：
数学美在于发现一般的规律. 例如，圆周率刻画了所有圆的周长与直径的比.
数学美在于和谐、雅致. 例如，费马与笛卡儿创立的解析几何学.
数学美在于高度的抽象和统一. 例如，阿拉伯数字.
数学美在于对称、简洁、有序.
一般说来，能够被称为数学美的对象 (问题、理论和方法等) 应该是：在极度复杂的事物中揭示出极度的简单性，在极度离散或杂乱的事物中概括出的极度的统一性或和谐性.
数学的语言和符号是静怡典雅的音乐. 数学的模式是现实世界数形贡献优美的画卷. 数学的抽象思维是人类智慧奥妙的诗篇.
4. 应用的广泛性
数学应用的极其广泛性也是它的特点之一. 凡是出现“量”的地方都少不了用数学，研究量的关系、量的变化、量的变化关系、量的关系的变化等现象都少不了数学. 数学应用贯穿到一切科学领域的深处，而且成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其他数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度.
数学的应用通常是在对现实生活中的物理学、生物学和商业等活动中碰到的事件或系统进行数学建模时所激发产生的. 一般通过建立数学模型来研究实际问题.
由于数学建模的重要性，国家教育委员会 (现称为教育部) 从 1992 年起已在全国范围内组织大学生数学建模竞赛，并将其纳入高等学校教学评估指标体系中.
5. 应用的前瞻性
前瞻性亦可说是超前性. 有许多的数学研究与问题并不直接起源于应用，得到了有关原理之后，许久还未与应用挂上钩，隔了一些时间以后才被应用上了，这就具有明显的超前性
