第1章绪论
材料动态力学性能是指材料在动态载荷作用下的力学性能，是随频率变化的一个参数。相比于材料的静态力学性能，材料动态力学性能的表征参数和模型更为复杂，并且对环境影响也更为敏感。为了准确测试材料在极端环境下的动态力学性能，必须了解材料动态力学性能的各类表征参数、常用模型和环境影响因素。本章首先介绍材料动态力学性能的表征参数；其次，回顾材料动态力学性能的常用数学模型，包括迟滞回归曲线模型、经典黏弹性模型、广义标准线性固体模型和分数阶导数模型、复模量模型等；*后，简要介绍材料动态力学性能的环境影响因素，包括温度、频率、预压力和应变幅度等。
1.1材料动态力学性能的表征参数
材料动态力学性能是指材料在交变力场(动态载荷)作用下表现出的力学特性。广义上，材料动态力学性能包含了交变力场下，材料的黏弹性、韧性、塑性和屈服性能等；狭义上，材料动态力学性能仅指材料的黏弹性，包括材料的动态杨氏模量和阻尼，这也是本书所采用的材料动态力学性能的定义。
对于理想弹性体，材料的应变和应力之间没有时间上的延迟，因此材料的变形与外界载荷的加载历史和速率没有关系。为了表征材料动态力学性能，将特定变形条件下，材料应力和应变的比值定义为弹性模量。根据材料力学的分析，对于各向异性材料，独立的弹性模量有21个；对于正交各向异性材料，独立的弹性模量有9个；对于单向增强(一个方向和另外两个方向的材料特性不一样)的材料，独立的弹性模量有5个；对于各向同性材料，独立的弹性模量则只有2个。本书主要以各向同性材料为对象，介绍材料动态力学性能的测试方法，但只要试件制备合理，本书方法也可用于测试各向异性材料的动态力学性能。
对于各向同性材料，常用的弹性模量有杨氏模量E、剪切模量G、体积模量K和纵波模量L等，这些弹性模量彼此可以换算，独立的参数只有2个，通常用材料杨氏模量E和剪切模量G表征。
图1-1中的四个分图分别表示杨氏模量E、剪切模量G、体积模量K和纵波模量L四种弹性模量所对应材料的四类典型应变。其中，杨氏模量E对应的拉伸应变变形方式如图1-1(a)所示，一个纵向尺寸远大于横截面尺寸的试件，在拉伸应力下产生拉伸应变，因此杨氏模量又称拉伸模量，其定义为在胡克定律适用的范围内，应力和应变的比值。纵波模量L对应的平面波应变变形方式如图1-1(b)所示，试件纵向变形方向尺寸小，而横截面尺寸大，可由G和K确定。体积模量K对应的体积应变变形方式如图1-1(c)所示，试件在均匀的外部压强p作用下产生体积应变，其定义为平均应力与体积应变的比值。剪切模量G对应的剪切应变变形方式如图1-1(d)所示，试件在一对切向力作用下产生剪切应变，其定义为剪切应力与应变的比值。
图1-1材料的四类典型应变(特定形状和载荷)[1]
这些弹性模量中只有2个参数是独立的。假如已知剪切模量G和体积模量K，那么杨氏模量E和纵波模量L为
(1-1)
(1-2)
工程中另外一个常用参数泊松比.，其值可由杨氏模量E和剪切模量G得到
(1-3)
式(1-1)～式(1-3)是理想弹性体材料的动态力学参数的相互关系表达式，但现实中并不存在理想弹性体材料，所有材料都具有一定的黏性。材料黏性的存在使得其应力和应变之间的变化存在延迟，并导致交变力场作用下材料内部的能量损耗。为了同时表征材料的弹性和黏性，数学上可以使用复模量的概念。以杨氏模量E为例，复杨氏模量通常用E.表示，表达式为
(1-4)
式中，E.和E 分别称为储能模量和耗能模量；j代表复数表达中的虚部含义；.E表示损耗因子，下标E表示杨氏模量变形方式的损耗因子。损耗因子可以作为材料黏性(或材料耗能)的量度，其值等于耗能模量E.和储能模量E.的比值。由于储能模量E.、耗能模量E.和损耗因子.E三者中仅有两个参数是独立的，实际测试中只需要测试两个参数，一般会选择测试材料的储能模量E.和损耗因子.E。为了简练叙述和表示公式，本书后续章节在不引起歧义的情况下，符号E表示储能模量E.。
类似的，其他几种模量的复模量形式为
(1-5)
(1-6)
(1-7)
式(1-5)～式(1-7)中相关参数之间也可以按照式(1-1)～式(1-3)进行换算。
1.2材料动态力学性能的常用模型
描述材料动态力学性能的常用数学模型主要有迟滞回归曲线模型、经典黏弹性模型、广义标准线性固体模型和分数阶导数模型、复模量模型等[2]。
1.2.1迟滞回归曲线模型
对于理想弹性体，在动态载荷下，材料的拉伸应力和应变关系为(1-8)式中，和分别表示应力和应变；E表示杨氏模量。
实际中，由于材料的黏性，并不存在理想弹性体材料。因此，在动态载荷作用下，材料的应变总是滞后于应力一个相角。对于简谐激励，材料的应力和应变可分别表示为
(1-9)
(1-10)
式中，表示简谐激励的振动频率；和分别表示应力和应变的幅值；表示应变滞后于应力的相角。
根据式(1-9)和式(1-10)，应力和应变之间的关系可表示为(1-11)式中，E表示储能模量；表示材料A的损A耗因子。
根据式(1-11)，将和之间的变化规律图形化表示，可以得到一个斜椭圆，图1-2所示为材料在动态载荷下的迟滞回归特性曲线。根据椭圆长半轴和短半轴的比例，以及倾斜角，可以计算材料在动态载荷作用下的储能迟滞回归特性曲线模量和损耗因子。
1.2.2经典黏弹性模型
材料动态力学性能的经典黏弹性模型有开尔文模型、麦克斯韦模型和标准线性固体模型。开尔文模型由式(1-11)变形得到
除了开尔文模型，比较著名的经典模型还有麦克斯韦模型和标准线性固体模型，它们的方程分别为
(1-13)
(1-14)
式中，.通常称为应变松弛常量。显然，标准线性固体模型综合了开尔文模型和麦克斯韦模型，是三种经典模型中*精确的。
经典黏弹性模型可以在一定程度上反映材料的动态力学性能，以下分别说明三种经典模型的应用。使用开尔文模型分析时，考虑在时刻，试件上开始加载一个恒定的应力，由于，式(1-12)的通解为
(1-15)
如果考虑初始时刻(t.0)时.0=0，代入式(1-15)可得
(1-16)
所以可得
(1-17)
用麦克斯韦模型进行分析时，考虑在t＝0时刻，试件上开始加载一个恒定的应变，由于，式(1-13)的通解为
(1-18)
如果考虑初始时刻(t.0)时.0=0，代入式(1-18)可得
(1-19)
所以可得
(1-20)
在标准线性固体模型中，考虑在试件上加载简谐应力=e和简谐应变，由(1-14)式可以得到：
(1-21)
也可以写成：
(1-22)
式中，
(1-23)
(1-24)
由式(1-23)和式(1-24)可见，和是随频率变化的，这在一定程度上反映了材料动态力学性能的变化规律。然而，实际中材料动态力学性能随频率的变化规律比式(1-23)和式(1-24)更为缓慢和复杂，因此经典黏弹性模型无法全面准确地反映材料动态力学性能。
1.2.3广义标准线性固体模型和分数阶导数模型
为了解决经典黏弹性模型无法全面反映材料动态力学性能的问题，研究人员提出了广义标准线性固体模型[2]，其方程为
(1-25)
对于简谐应力和简谐应变的情况，代入式(1-25)可得
(1-26)
也可以写成：
(1-27)
那么可得
(1-28)
(1-29)
式中，
(1-30)
(1-31)
(1-32)
(1-33)
因此，只要选择足够多的阶数n，以及合适的参数和，就可以对实际中材料动态力学性能的宽频带变化规律进行拟合。广义标准线性固体模型的缺点是可能需要较大的阶数n，对应参数和的数量也会较多。为了弥补广义标准线性固体模型的不足，研究者们继续提出了材料动态力学性能的分数阶导数模型，其方程为(1-34)
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