第1章  绪论
    1.1  几个基本概念
1.1.1  线性与非线性方程
    解决实际问题的第一步是对系统建模，其核心是建立变量间的函数关系．任何一个系统（或模型）都是由各种变量构成的，当我们分析这些系统（或模型）时，可以选择研究其中一些变量对另一些变量的影响，那么选择的这些变量就称为自变量，而被影响的量就被称为因变量．如∥=，(z)中，y随x的变化而变化，x是自变量，y是因变量．
    线性方程指因变量与自变量之间满足线性关系，如y - kx，线性方程也称一次方程，因为在笛卡儿坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线，非线性方程就是因变量与自变量之间的关系不是线性关系，这类方程很多，如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等．
1.1.2  线性与非线性微分方程
    线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方的方程，否则称其为非线性微分方程．如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程．如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程．以下这些都是非线性偏微分方程：等，其中z，可，￡是自变量，u是因变量．
1.1.3偏微分方程的分类
    按自变量的个数，将偏微分方程分为二元和多元方程，按方程中未知函数导数的最高阶数，偏微分方程可分为一阶、二阶和高阶偏微分方程．按未知函数及其导数的系数是否变化，偏微分方程可分为常系数和变系数偏微分方程．如方程xutt+Uyy=siny是一个三元二阶变系数线性偏微分方程，注意这是个线性偏微分方程，如果将该方程的等式右边替换为sin u，则该方程为非线性偏微分方程．
    通常，非线性方程包含非线性常微分方程f对未知函数及其导数都不全是线性的或一次式的常微分方程），非线性偏微分方程（对未知函数及其偏导数都不全是线性的或一次式的偏微分方程），非线性差分方程（又称为非线性映射或非线性迭代，它通常是非线性常微分方程或偏微分方程的离散形式，它对未知函数的n次迭代值都不全是线性的或一次式的）和函数方程(个函数自身或多个函数之间满足的一个代数关系式)．
    下面着重区分动力方程与演化方程，按时间和空间变量来划分，可将对实际问题建模得到的方程分为动力方程与演化方程．所谓动力方程指的是系统因变量只和时间自变量有关，这类方程用常微分方程来描述，所谓演化方程指的是系统因变量与时间和空间f位置）自变量都有关，这类方程用偏微分方程来描述．本书主要研究的是非线性演化方程(nonlinear evolution equation).
1.1.4  偏微分方程的解及其叠加性
    由若干个偏微分方程所构成的等式组就称为偏微分方程组，其未知函数也可以是若干个．当方程的个数超过未知函数的个数时，就称这偏微分方程组为超定的；当方程的个数少于未知函数的个数时，就称为欠定的．
    如果一个偏微分方程（组）关于所有的未知函数及其导数都是线性的，则称为线性偏微分方程（组）；否则，称为非线性偏微分方程（组）．在非线性偏微分方程（组）中，如果对未知函数的最高阶导数来谎是线性的，那么就称为拟线性偏微分方程（组）．
    设Q是自变数空间R中一个区域，u是在这个区域上定义的具有任意阶连续导数的函数．如果它能使偏微分方程在Q上恒等成立，那么就称u是该方程在Q中的一个经典意义下的解．
    线性偏微分方程的解具有叠加原理，即，如果Ul，V，2是一个线性偏微分方程的解，则对任意常数Cl和C，Ci.u，i+C2'L/2也是该方程的解，但是，非线性偏微分方程不具有解的叠加性．
    一个线性偏微分方程通常有无穷多个解，但是解决具体物理问题的时候，方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件，一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题，常见的定解条件有初始条件（或柯西条件）和边界条件两大类，相应的定解问题叫初值问题（或柯西问题）和边值问题．初值问题或边值问题的解（或称古典解）是指这样的函数：它在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商，而本身在区域的闭包上连续f有时根据具体问题的性质或边界条件的类型，也要求有关的偏微商连续到边界），它满足方程，并且当时间变量趋于初始时刻时或空间变量趋于区域的边界时，它（有时及其有关的偏微商）连续地取到给定的初始值或边界．除了古典解之外，还可能会有其他的觯，称为广义解．
    1.2  非线性演化方程概览
    波动是自然界中最常见的现象之一，其理论、研究方法及其应用遍及包括物理学、数学、力学、光学、化学、生物学、地理学等自然科学领域，而且也已渗透到经济学和社会学等社会科学领域．广义地讲，如果一个偏微分方程具有能描述波动现象的解，那么这个方程就被称为波动方程，
    一般情况下，波动方程同时含有时间和空间变量，因此它是一类重要的时空动力学系统．早期，由于人类认识的局限性、研究手段的限制性和处理实际问题的精度要求不高，往往将一个实际的波动问题进行简单的和理想化的假设，从而得出较容易研究的线性化模型，如弦振动方程、热传导方程等，线性化模型满足解的叠加原理．可以说，叠加是用来解决所有线性问题的系统方法的关键，如傅里叶变换和拉普拉斯变换都与解能够叠加有关，也就是能把问题分成许多小问题，然后把分离的解加起来而得到整个问题的解．另外，变量分离方法也是求解线性波动问题最为常用的方法．线性波动方程的求解问题已经得到很好的解决．
    随着人类认识的深入和科学技术水平的提高，人们越来越发现自然科学和工程技术中普遍存在各自的非线性问题，其非线性效应可以产生本质上全新的一些物理现象，称之为非线性现象．这些观象的定量描述，用线性化模型已不能完全反映客观的真实世界的波动问题，应该取而代之为各种不同的描述随时间演变过程的非线性模型，即非线性波动方程，也称为非线性演化方程．这些方程能反映各种因子或各种物理量之间相互制约和相互依存的关系．
    与线性模型不同，非线性模型不服从叠加原理，而且遵循着复杂的运动规律，不能或者至少不能明显地把非线性问题分解成一些小的子问题而把它们的解叠加起来，而必须整体地考虑非线性演化方程．在一般情况下，人们不能靠直觉和简单计算来判断非线性系统的运动特征，特别是当动力学系统的维数越高，耦合程度越强，问题的研究就越复杂和困难．
    对于非线性演化方程，人们需要知道，它是否较好地描述了要描述的客观现象；它所揭示的运动规律是如何演化的；一个量或参数对运动规律的影响又有多大？诸如此类问题的解决都涉及对非线性演化方程解的研究．非线性演化方程解的研究一般是从以下三个方面进行的：其一，在难以求得显式解的情形下，对解的适定性f存在性、唯一性和稳定性）进行分析；其二，借助于计算数学理论和计算机技术，对解进行数值模拟和分析；其三，应用某些数学技巧或假设，构造适当的变换使方程简化并求出某些显式觯．尽管这三个方向对非线性演化方程研究的切入点和适用方法不同，但它们都在探索解的变化规律中推动着非线性物理的发展．
    非线性科学就是五十多年来在综合各门以非线性特征的科学研究基础上逐步形成的旨在揭示非线性系统的共同特征和运动规律的一门跨学科的综合性科学，继牛顿力学和量子力学之后发展起来的非线性科学正在改变人们对世界的看法，形成一种新的科学观点，促进了一大类新兴学科的诞生和发展，极大地影响着现代科学的逻辑体系，非线性科学研究的主要范畴是混沌(chaos)、分形(fractal)、孤立子(soliton)和斑图(pattern)，也包括神经网络(neural network，NN)、元胞自动机和复杂系统等[31 0]．其中孤立子理论[61-]为孤立子系统提供了求显式解的方法，
    目前，孤立子一词虽被广泛引用，但尚无一般形式的定义．通常把非线性演化方程的局部行波解，称为“孤立波”，它是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定常数的情况，把这些稳定的孤波，即通过相互碰撞后的、不见消失而且波形和速度也不会改变或者只有微弱的改变f就像常见的两个粒子的碰撞一样1的孤立波称为“孤立子”．但也有一些文献把孤立子和孤立波混为一谈．在应用数学中，将孤立子理解为一大类非线性演化方程的局部化的行波解，经过互相碰撞后，不改变波形和速度；而在物理中，孤立子被理解为：(1)能量比较集中于狭小的区域；(2)丙个孤立子相互作用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到最初．这就是说，从物理本质上讲，孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳定的准粒子，
    孤立子理论是20世纪非线性科学最重要的成果之一，其发展历程大致可分为三个阶段：
    第一阶段从1834年到1955年，孤立子的发现最早可追溯到1834年，英国科学家罗素(J.Scott Russell)[121在爱丁堡戈拉斯高运河上偶然观察到了一种奇妙的孤立的水波．罗素认为孤立的波动是流体运动的一个稳定解，并称它为“孤立波”，简称孤波．这是公认的有关孤波的首次报道，罗素当时未能成功地证明并使物理学家们信服他的论断，从而埋怨数学家未能从已知的流体运动方程预言出这一现象，之后有关孤波的问题在当时许多物理学家中引起了广泛的争论．直到60年后的1895年，荷兰科学家考特维格(Korteweg)和他的博士生德伏瑞斯(de Vries)研究了浅水波的运动，提出了一个非线性演化方程（人们简称为KdV方程）[13]．他们用该方程的一个孤波解来解释罗素观察到的浅水波，但是并没有发现该方程的新的应用，这似乎说明发现KdV方程并没有太大的价值，到了“山穷水尽疑无路“的地步．当然在该阶段还有两个主要的成就：1885年，几何学家Backlund在研究负常曲率曲面时，发现了正弦戈登(sine-Gordon)方程的Backlund变换；1950 1951年，Cole-Hopf变换的发现，
    第二阶段大致从1955年到1970年．1955年，在为了验证经典统计物理中能量均分原理而设计的数值实验中，Fermi，Palsta和Ulam将64个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，其他63个的初始能量均为零，按照经典的能量均分原理，由于弱非线性相互作用，长时间以后应该导致能量有涨落的均衡分布．出乎意料的是，计算结果表明：长时间以后几乎全部能量又回到原先的初始分布，得出了与能量均分定理相悖的FPU回归问题[14]．当时由于只在频率空间来考察，未能发现孤波解，所以该问题未得到正确的解释，以致于被忽视了很长的时间．十年后，普林斯顿大学的两位应用数学家Zabusky和Kruskal[151对此产生了浓厚的兴趣，他们利用周期性边界条件进行求解时，得到了稳定传播的孤立波，进一步证实了孤立波在发生相互作用后波形和传播速度都保持不变的论断，由于孤立波的这种性质正好与弹性粒子之间的碰撞过程十分相似，故孤立波又被命名为“孤立子”，简称孤子．紧接着，人们又利用逆散射方法(IsTl[16]得到了KdV方程的解析解[17]．此时，人们对孤立波的了解已经进入了一个新的阶段．1962年Perring和Skyrme将正弦戈登方程用于研究基本粒子时，数值计算结果表明：这样的孤波并不散开，即使两个孤波碰撞后也仍保持原有的形状和速度．1967年，困惑人们多年的FPU回归现象终于得到了圆满的解释．日奉学者户田(Toda) [18]在研究声波在非线性点阵传播问题时，建立了非线性晶格点阵方程（即户田方程）．他发现此方程有精确的孤立波解，这样就很好地解释了FPU回归现象的悖论．
    第三个阶段从1970年至今，在这一阶段人们已把孤子概念和理论广泛应用于很多领域，如物理学的许多分支，包括基本粒子、流体物理、等离子体物理、凝聚态物理、超导物理、激光物理、生物物理等，以及生物学、光学、天文学等其他学科领域．这个阶段发展得特别迅速，已在世界范围内掀起了孤立子研究的热潮，在20世纪70年代，Ikezi，Taylor和Bake等在水箱实验中

前言
第1章绪论    1
    1.1几个基本概念    1
    1.1.1线性与非线性方程    1
    1.1.2线性与非线性微分方程    1
    1.1.3偏微分方程的分类    1
    1.1.4偏微分方程的解及其叠加性    2
    1.2非线性演化方程概览    3
    1.3非线性演化方程的局域结构    6
    1.3.1  1+1维非线性演化方程的孤子结构    6
    1.3.2  2+1维非线性演化方程的相干结构   14
    1.3.3  3+1维非线性演化方程的相干结构  19
    1.4几类非线性演化方程的导出   20
    1. 4.1柱坐标系下变系数KP方程的导出   20
    1.4.2  DS方程的导出   23
    1.4.3  3+1维非线性薛定谔方程的导出   28
第2章  非线性演化方程研究方法概述   34
    2.1基本方法简述   34
    2.2多线性分离变量法   38
    2.3基于直接代数法的分离变量法   40
第3章  齐次平衡法构造分离变量解  42
    3.1齐次平衡法概述   42
    3.2  1+1维非线性演化方程的分离变量解  43
    3.3  2+1维非线性演化方程的分离变量解  46
    3.4  3+1雏非线性演化方程的分离变量解   56
第4章Riccati方程映射法构造分离变量解   59
    4.1  Riccati方程映射法概述  59
    4.2  1+1维非线性演化方程的分离变量解   62
    4.3  2+1维非线性演化方程的分离变量解   66
    4.3.1幂次形式预解求分离变量解   66
    4.3.2对称形式预解求分离变量解   76
    4.3.3根号形式预解求分离变量解   80
    4.4  3+1维非线性演化方程的分离变量解   86
第5章  投影Riccati方程映射法构造分离变量解   89
    5.1投影Riccati方程映射法概述   89
    5.2  1+1维非线性演化方程的分离变量解   91
    5.3  2+1维非线性演化方程的分离变量解   96
    5.4  3+1维非线性演化方程的分离变量解   105
第6章  两种扩展方法构造分离变量解   107
    6.1扩展Riccati方程映射法构造分离变量解   107
    6 .1.1方法概述   107
    6.1.2扩展形式一   108
    6.1.3扩展形式二   113
    6.1.4扩展形式三   121
    6.2扩展投影Riccati方程映射法构造分离变量解   123
    6.2.1方法概述   123
    6.2.2扩展形式一   125
    6.2.3扩展形式二   127
第7章  各种方法构造分离变量解的联系   131
    7.1  Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系131
    7.1.1幂次形式解与多线性分离变量法构造的解间的联系    131
    7.1.2对称形式解与多线性分离变量法构造的解间的联系    131
    7.1.3棍号形式解与多线性分离变量法构造的解间的联系    132
    7.2投影Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系132
    7.3扩展Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系133
    7.3.1扩展形式一的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系133
    7.3.2扩展形式二的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系133
    7.3.3扩展形式三的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系134
    7.3.4不同Riccati方程的相互转化关系   134
    7.4扩展投影Riccati方程映射法与多线性分离变量法构造的解间的联系135
    7.4.1扩展形式一的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系135
    7.4.2扩展形式二的方法与多线性分离变量法构造的解间的联系135
第8章非线性分离变量法需注意的几个问题   136
    8.1非线性分离变量法不能求解一些典型方程   136
    8.2 一些非线性演化方程的分离变量解构建局域激发需注意的问题136
    8.2.1非传播孤子构建需注意的问题   137
    8.2.2周期波结构构建需注意酌问题   141
参考文献   148