第1章绪论
可积方程的类别之所以从偏微分方程区别出来， 是因为这一类方程具有比较好的性质: 比如Lax可积[73]、无穷维Hamilton理论[40， 41]精确可解[54， 59]等. 更重要的是: 可积方程可以实现傅里叶变换的“非线性版本”[3]， 从而将时间演化减少到一组线性常微分方程. 对于在全直线上的KdV方程初值问题， 由于非线性傅里叶变换在KdV方程中的实现过程中涉及量子力学中Schr？dinger方程的散射问题， 因此通常将非线性傅里叶变换称为反(逆)散射变换. 反散射变换方法为分析可积方程初值问题提供了强大的框架[1， 51， 82， 85]. 例如， 通过反散射方法可以直接构造出大量的精确解， 例如多孤子解. 孤子解的生成技术本质上是代数的， 通常只需要有限的分析基础. 另一方面， 利用反散射变换研究可积方程一般初值问题的解或对解的渐近性进行分析， 则依赖于详细的分析估计. 特别地， 需要对相应的非线性傅里叶变换及其逆变换进行估计， 这样的话， 即使在相对简单的情况下， 建立这些估计也是一项具有挑战性的技术工作.
随着可积系统理论的发展， 涌现出越来越多的方法和手段， 比如， 代数几何法[8， 53]、非线性化方法[21]等， 而在考虑可积方程初(边)值问题解的渐近分析时， 所谓的非线性速降法尤为有效. 下面简单介绍该方法的一些背景和发展.
非线性速降法， 是由美国科学院院士德夫特(Percy Deift， 1945.09—)和美籍华人数学家周欣(Xin Zhou)[29， 37]于20世纪90年代， 在苏联数学家Manakov[80]和Its[67]工作的基础上提出来的. 经典的速降法是1909年由德拜(Peter Debye， 1884.03—1966.11)首次提出[26]的， 该方法用来处理振荡积分
在t→∞时的渐近行为. 这里Γ表示复平面上的一条路径. 非线性速降法是用来分析Riemann-Hilbert问题的渐近表达的. 在数学领域(如可积系统、正交多项式、随机矩阵等)中的很多问题也都可以归结到分析Riemann-Hilbert问题， 这也就意味着非线性速降法有着广泛的应用. 下面先介绍什么是Riemann-Hilbert问题.
Riemann-Hilbert问题， *先由黎曼(Bernhard Riemann， 1826.09—1866.07)于1851年引入; 而后由希尔伯特(David Hilbert， 1862.01—1943.02)总结出更一般的形式作为著名的Hilbert 23个问题的第21个问题. Riemann-Hilbert问题(有时候也称Birkhoff分解问题)的定义如下.
设Γ表示复平面上一条具有有限个自交点的有向曲线， 令Γ0 = Γ\{自交点}， Γ0是有向曲线， 具有正负区域. 一般来说沿着箭头方向， 左边为正， 相应的右边为负. 给定一个2×2的矩阵函数V: Γ0→C2×2. 寻找一个2×2的矩阵函数M: C\Γ→C， 使得这个矩阵函数满足下面的条件:
M在C\Γ解析;
M在某些固定点处正规化， 例如M = I + O(1/z) ， z→∞;
边值在H？lder连续(有时候是Lp边值)意义下在Γ正(负)边存在:
(1.1)
这就是一个关于矩阵函数M(x， t， z)的Riemann-Hilbert问题.
根据拉克斯(Peter Lax， 1926.05—)的观点[73]， 如果一个非线性偏微分方程可以作为一组线性微分方程的相容条件， 那么称这个非线性偏微分方程是Lax可积的， 这一组线性微分方程称为Lax对. 而Lax对中谱参数的出现将Cauchy路径积分等复分析工具引入， 将求解微分方程转化为求解在给定有向曲线上具有特定跳跃形式的Riemann-Hilbert问题的解; 而求解有向曲线上的跳跃矩阵为单位矩阵的Riemann-Hilbert问题则可得相应可积方程的孤子解[94]. 20世纪70年代， Riemann-Hilbert问题可以看作用推广的反散射方法对可积方程求解[41， 97， 98]， 例如， 对于二阶谱问题， 所涉的Gelfand-Levitan-Marcenko(GLM)积分方程等价于Riemann-Hilbert问题， 而对于高阶谱问题， 则无法构造出GLM方程， 需要借助Riemann-Hilbert问题求解， 更重要的是， 通过分析对应的Riemann-Hilbert问题可以获得可积方程初(边)值问题解的长时间渐近行为.
1. 初值问题解的渐近分析
对于可积方程初值问题解的长时间渐近行为这一课题， 在20世纪70年代， Ablowitz， Newell， Manakov， Zakharov等数学家利用反散射等分析方法已进行了研究[4， 82， 96]， 但这些方法需要对解的渐近形式做先验判断. 在非线性速降法成功地应用到这一课题之前， 下面这个方法的发展过程值得注意.
受Zakharov和Manakov工作启发， 苏联数学家Its教授发展了等单值方法[67]， 建立了非线性Schr？dinger方程初值问题解与一个局部Riemann-Hilbert问题的关系， 而这个局部的Riemann-Hilbert问题可以利用单值形变理论精确求解， 从而通过分析Riemann-Hilbert问题给出了可积方程初值问题解的渐近表达式. 这为分析可积方程初值问题(甚至是初边值问题)解的长时间渐近行为提供了一套切实可行途径.
1993年， 美国科学院院士Deift和美籍华人数学家Zhou在Its等的工作基础上， 将等单值方法进行了严格化， 提出了一种直接而有效的渐近分析法——非线性速降法[37]. 这也是贯穿本书着重讨论的方法. Deift和Zhou利用非线性速降法分析修正KdV方程初值问题
(1.2)
所对应的Riemann-Hilbert问题， 得到了修正KdV方程初值问题解的渐近表达式中首项的精确表达. 值得说明的是， 该方法无须对解的渐近展开形式做先验假设， 并且该方法至少适应于一类可积方程(到目前为止， 在AKNS族(如NLS方程[29]、修正KdV方程[37]、Hirota方程[66]等)， WKI型(如short pluse方程[90]等)都已获得成功). 非线性速降法的主要思想是: 引进一系列的可逆变换， 使得路径形变， 进而逐步将给定的Riemann-Hilbert问题约化(保留主要部分)到*终可解的Riemann-Hilbert问题， 然后经过逆过程就获得*初Riemann-Hilbert问题的渐近行为， 从而获得可积方程初值问题解的渐近表达式.
非线性速降法自产生之后在数学分析领域得到了广泛应用， 对分析Toda方程的“Rarefaction”问题[30]、KdV方程的“Shock”问题[36]等都行之有效.
1997年， Deift和他的合作者引进了g函数， 推广了非线性速降法来研究小色散KdV方程初值问题解的长时间渐近行为[35]. 利用非线性速降法研究可积系统的长时间行为方面还有如下工作. 2002年， Vartanian研究了非聚焦Schr？dinger方程带有限密度初值问题解的渐近表达式[89]. 2003年， Deift和Zhou推广非线性速降法， 使得该方法可以用来分析当初值属于加权Sobolev空间时的非线性Schr？dinger方程解的渐近表达式[39]. 2003年， Kamissis， McLaughlin， Miller则研究了聚焦非线性Schr？dinger方程的半经典极限问题[68]. Boutet de Monvel等利用非线性速降法考虑了某些可积方程带周期边值解的长时间渐近行为[13]. 自2006年， Ablowitz， Biondini等在带非零边界问题上成功使用反散射理论以来[83]， 非线性速降法也成功地应用到可积方程带非零边界问题解的长时间行为分析中[11].
在本书的第2章和第3章中， 主要利用非线性速降法分析了可积方程带快速衰减初值问题解的长时间渐近行为. 在这里， 我们以Kodama和Hasegawa所提出的描述光纤中的光孤子的方程为例:
(1.3)
该方程在取定的参数和变换下， 可以退化为本书中所考虑的Hirota方程与Sasa-Satusma方程. 非线性速降法*初只适合分析1+1维可积系统， 这样的可积系统具有的谱问题算子是自伴的， 并且所对应的Riemann-Hilbert问题的跳跃矩阵是解析的. 对于聚焦的Schr？dinger方程
(1.4)
由于它的Lax算子为非自伴的， 一般初始数据下解的长时间渐近行为仍然没得到解决. 但是对聚焦的Schr？dinger方程(1.4)带有某些特殊初值问题解的长时间渐近分析也取得了一些进展. 如2006年， 在假设孤子解不存在的前提下， Tovbis和Zhou研究了聚焦非线性Schr？dinger方程初值问题的半经典极限解的首项渐近性质[87]; 法国女数学家Boutet de Monvel和她的合作者研究了全直线上Camassa-Holm方程初值问题解的长时间行为[15-17]; 2010年， Bertola和Tovbis研究了关于聚焦非线性Schr？dinger方程带有衰减势函数的零色散极限[10]; 2011年， Deift和Park研究了聚焦非线性Schr？dinger方程带Robin边界条件解的长时间行为[33]; 2013年， Boutet de Monvel对Degasperis-Procesi方程[14]初值问题解的长时间渐近行为给出了一个粗略的分析， 这也是首次利用非线性速降法来研究具有高阶谱问题可积方程初值问题解的长时间渐近行为. 近年来， 复旦大学范恩贵教授所领衔的科研团队利用非线性速降法获得了Fokas-Lenells方程[93]、Hirota方程[66]、short pluse方程[90]、复的short pluse方程[91]、KE方程[100]等初值问题解的长时间渐近行为. *近， 郑州大学耿献国教授等利用分块矩阵思想， 利用非线性速降法获得了Manakov系统[52]和Sasa-Satsuma方程[78]初值问题解的长时间渐近行为; 中科院郭柏灵院士团队也独立获得了Sasa-Sastuma方程的初值问题解的渐近表达式[79]， 注意到这两个系统是具有高阶(三阶)谱问题的可积系统， 然而， 在某种意义上来说， 可以把这两个三阶谱问题分块地看成一个分块的二阶对角矩阵， 从而获得部分结果. Lenells博士推广了的非线性速降法， 使得该方法能处理弱正则的Riemann-Hilbert问题[76]， 在这个方法的基础上， Lenells博士与合作者获得了关于“好的”Boussinesq方程初值问题解的长时间渐近表达式.
当然， 对于上面这些情况， 得到的主要结果都是关于首项的渐近表达. 1994年， Deift和Zhou推广了非线性速降法[38]， 得到了非聚焦NLS方程、修正KdV方程的初值问题解的高阶渐近表达， 并且渐近表达式的系数之间的关系可以依次迭代确定; 2000年， Vartanian利用高阶的Deift-Zhou理论， 得到了修正NLS初值问题的解的渐近表达[88]. 2015年， 范恩贵教授等利用Deift-Zhou的高阶渐近分析理论， 研究了关于Hirota方程的初值问题解的渐近表达， 并得到解的高阶表达式[65]， 当参数取定特殊值时， 可得到文献 [38]中的结果. *近， Lenells博士和他的合作者， 利用能处理弱正则Riemann-Hilbert问题的非线性速降法， 获得修正KdV方程
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