第1章PH分布及其排队模型简介
以指数分布M（特殊的PH分布）为基础的经典生灭过程是分析处理随机现象的基本工具之一。不仅在排队论（如采用经典生灭过程可以求解M/M/1、M/M/C1、M/M/1/C和M/M/C1/C排队模型）、库存论等学科的发展中起着重要的作用，还广泛应用于工程技术、管理科学、生命科学、生态系统、人口理论、行为科学及社会科学等领域。本章将从指数分布M说起，引出PH分布，并在此基础上简单介绍PH排队模型。
1.1PH分布简介
1.1.1指数分布族
众所周知，对各种随机模型进行解析处理的主要障碍是条件概率引起的高度复杂性。例如，计算正在接受服务的顾客的剩余服务时间，需要对顾客已接受服务的时间有全面的了解。一方面，这些关于历史过程的信息在很多应用中很难准确得知；另一方面，即使有了这些信息，条件分布的表达式也通常十分复杂。经典随机模型理论中广泛使用服从指数分布M的随机变量，通过指数分布M的无记忆性绕过这一困难。
称随机变量X服从参数为A的指数分布M，当其有分布函数和密度函数
X的数学期望为
指数分布M最独特的性质是无后效（无记忆）性。谩随机变量X表示一个顾客的服务时间，对和s>0，我们有条件概率
式（1-1）表明，不管顾客已经接受了多长时间服务，其剩余服务时间都如X-样服从参数为A的指数分布M。因此，只要假定所研究的随机变量服从指数分布M，由条件概率产生的种种麻烦就荡然无存了。
稍稍扩大一下范围，考虑下列指数分布族。设0≤a≤1，则形如
的全体分布函数称为（修正的）指数分布族。特别的，若a=0，式(1-2)退化为集中于原点的分布，其分布函数记为式中，属于指数分布族。若d=l，则式(1-2)对应于标准的指数分布M；若，则，即F(z)在处集中着概率质量，并在上有不完全概率密度函数
这时，F(z)是一个混合型分布。它在处具有离散分布的特性，在(0．+。。)上又具有连续随机变量分布的形态。指数分布族的密度函数与分布函数如图1-1所示。形如式(1-2)的分布有数学期望：
图11指数分布族的密度函数与分布函数
注意到式(1-2)可改写成
这表明指数分布族中的任何分布，都是集中于原点的分布与一个标准指数分布M的混合[F(z)以概率1-a是集中于原点上的退化分布，以概率d是一个标准指数分布]。因此，如果X的分布函数如式(1-2)所示，则X以概率1-a集中于原点，以概率d服从参数A的标准指数分布M，并具有指数分布的无后效性。
1.1.2PH分布
PH分布是一个有限状态Mark0v（马尔可夫）过程吸收时问的分布。Jensen(1954)首先把这一分布用于一类经济模型。Neu工s(1987)成功地发展了处理这类分布的矩阵分析技巧，其分布函数被表示成矩阵指数形式，清晰地显示出PH分布类与指数分布类的深刻类比。
在给mPH分布的定义前，先考虑一个在状态集{1，2， ，m，m+l）上的马尔可夫过程。状态1，2， ，m都是非常返的（马尔可夫过程在这些状态中不断转移），状态m+l是吸收的（若马尔可夫过程到达该状态则转移结束），其状态转移如图1-2所示，过程的无穷小生成元可以写成下列分块形式
m阶方阵满足，其中。工是非负列向量，满足，即行数与前面相乘矩阵的列数相同且元素均为1的列向量；过程的初始概率是，其中，这一马尔可夫过程可以结合青蛙在池塘的荷叶上随机跳动进行理解：将状态1，2， ，m理解为池塘的荷叶，将状态m—-l理解为池塘外，将0f理解为青蛙开始跳入池塘荷叶的选择概率，将d。+．理解为青蛙还未开始就已经离开了池塘的概率，将工理解为青蛙在荷叶之间的转移强度，将工0理解为青蛙从荷叶跳到池塘外的转移强度（可结合下文例l和例2进一步理解）。
图1-2PH分布状态转移图
假设一个有限状态马尔可夫过程以概率开始进入状态集合(1，2， ，m，m+l}并按照Q矩阵进行状态之间的转移，则该马尔可夫过程进入吸收状态m+l的时间分布定义为PH分布。其概率分布函数为
其中，符号称为PH分布的m阶表示。由定义，下列事实是显然成立的。
(1)若是零向量，则式(1-6)遐化为，即此时的PH分布为集中于原点的一个分布；若，则F(r)在处集中着概率质量．并在上有不完全概率密度函数
(2)PH分布的1阶原点矩是，所以PH分布的均值EX、方差VX和变异系数的平方可分别表示为
式中，和分别为数学期望和方差运算符。
分布函数式(1-6)也称为矩阵指数分布，它是指数分布族式(1-2)从数值参数到矩阵参数的一种推广。矩阵指数函数具有与指数函数。完全类似的性质，详见任何一本矩阵分析方面的著作。
PH分布除了保持指数分布M易于进行解析处理的优点，还有很多其他良好的性质。其中，较重要的性质是封闭性：若干个PH分布的运算结果通常是一个新的PH分布；合有PH分布的随机模型，其指标通常也服从PH分布。封闭性在模型的理论分析和实际应用中都带来了极大的方便，具体定理及证明参见田乃硕(1990，1994，1995，2001，2002)的相关研究。除封闭性外，PH分布还具有稠密性，也就是说，无论研究什么样的随机分布，总可选择一个适当的PH分布来代替它，并且使误差达到所要求的精度。指数分布M易于处理，但在大多数情况下与客观实际相差甚远；PH分布在很大程度上保持了指数分布容易进行解析处理的优点，又可与客观实际任意接近，这正是PH分布的诱人之处，也是PH分布迅速普及的重要原因之一。以下将通过具体的实例让读者了解实际生活中的PH分布。
例l（有折旧行为的部件寿命）部件寿命按折旧程度分为三个阶段，在第1、2、3阶段上的使用时间分别服从均值^、去和去（年）的指数分布。处在寿命第1阶段的部件以0.2的概率失效，并以0.8的概率因老化进入第2阶段，处在寿命为第2阶段的部件以0.4的概率失效，以0.6的概率因老化进入寿命的第3阶段。处在第3阶段的部件老化后将全部失效或更新。此外，由于内在的质量原因，一部件在投入使用时处在第1、2、3阶段的概率分别是0.62、0.28和0.09，并以0.01的概率根本不能使用，部件寿命折旧行为如图1-3历示。
图13部件寿命的折旧行为图
以X表示任取一部件的使用寿命，X服从一个3阶PH分布，有PH表示为，其中，于是，平均使用寿命是
例2（柔性制造系统中产品的加工时间）柔性制造系统中某产品的加工流程如图1-4所示，加工从第1道工序开始，并在每一道工序加工过程中白动测试各种指标，以决定进一步加工的需要，在完成第1道工序后，有10%的半成品可送到第3道工序稍作补充加工即可m厂，另有90%半成品需送到第2道工序进一步加工，第2道工序上的半成品加工后有60%可达到成品要求，20%需退回第1道工序返工，另有20%需送到第2道工序进行补充加工后达到成品要求。产品在工序l、2、3的加工时间依次服从数学期望为的指数分布，为了简单，假定产品到达每一道工序不需要等待。
图14柔性制造系统巾某产品的加工流程
以X表示一个产品的加工时间，X服从3阶的PH分布，有PH表示为，其中，产品的平均加工时间是
1.1.3简化的PH分布
尽管PH分布理论上可无限逼近任意非负随机变量，但却需要确定多达m2+m个参数般不，而在很多实际应用中，绐m的数据资料有限，无法标定所有参数（如城市轨道交通车站在规划设计阶段尚未建成，无法获取详细的数据资料）。Sadre(1999)和Weers工ra(1994)等采用如下基于数据的均值EX和变异系数的平方即可完全确定简化的PH拟合一般的非负随机变量取得了很好的效果：
(1)当，矩阵可以表示如下(1-11)式中。当C2=1时，m=l，此时PH分布相当于指数分布M，可见指数分布M是简化的PH分布的特例；对于的数据（包括定长分布数据，其c2为0），为了减少在排队分析过程中的计算复杂度，取，此时PH分布相当于一个30阶Erlang分布，能够获得较好的拟合效果。
(2)当，矩阵可以表示如下(1-12)在本书中，当用该简化的PH分布描述到达间隔随机变量、服务时间随机变量和离去间隔随机变量时，也分别用符号来表示，其中分别表示到达率、服务率和离去率，和分别是到达时间间隔、服务时问和离去间隔数据的变异系数的平方。该分布有以下性质，其中性质1-1和性质1-3的证明可以参考Sadre(2007，1999，2011)等人的研究文献。
性质1-1现有卵股交通流，其时间间隔分别服从的PH分布，当合并成一股交通流时，其时间间隔服从
的PH分布，其中
性质1-2非负随机变量X服从的PH分布，其Z阶PH表示为，则（n为正整数）服从的PH分布，并且有Z阶PH表示
证令的分布函数为
令矩阵，则。由于X的Z阶PH表示为(p，S)，因此，由PH分布的定义可知，S的元素满足。于是的元素满足，因此，Y=X/n仍服从PH分布．并有Z阶表示为。
由于X的均值，y的均值，因此；由于X的方差，y的方差，所以；于是，y的变异系数的平方
