第 1讲数学预备知识
本书的预备知识主要是有关凸分析、集值映射、不动点定理和 Ky FAn不等式的一些基本概念和结论 .本讲将在 n维欧氏空间 Rn的框架中 ,对这部分内容作简明扼要的介绍,主要参考了文献 [11]～[16].
1.1 n维欧氏空间 Rn
关于 n维欧氏空间 Rn ,相信读者是熟悉的．
对任意 Rn中的两点 x =(x1, ,xn)和 y =(y1, ,yn),定义 x与 y之间的距离
[ n]1 d (x, y)= 生 (xi . yi)22 .i=1
显然有
(1) d (x, y) . 0, d (x, y)=0当且仅当 x = y;
(2) d (x, y)= d (y, x);
(3)对任意
Rn中的一点 z =(z1, ,zn), d (x, y) : d (x, z)+ d (y, z).
m
设 {xm}是 Rn中的一个序列 , x ∈ Rn ,如果 d (x,x) → 0(m →∞),则称 xm → x,显然 x是唯一确定的,即如果 xm → x, xm → y,则 x = y.
又 d (x, y)是 (x, y)的连续函数 ,即如果 xm → x, ym → y,则 d (xm,ym) → d (x, y).
对任意 x0 ∈ Rn和实数 r> 0,记 O (x0,r) = {x ∈ Rn : d (x, x0) 00
设 G是 Rn中的非空点集 , x0 ∈ G,如果存在 r> 0,使 O (x,r) . G,则称 x是 G的内点 . G中全体内点的集合称为 G的内部 ,记为 intG.如果 G中每一点都
是 G的内点,即 G = intG,则称 G是 Rn中的开集.显然有
(1)空集
.和 Rn都是开集;
(2)
任意个开集的并集是开集;
(3)
有限个开集的交集是开集．
设 F是 Rn中的非空点集 ,如果对 F中的任一序列 {xm}, xm → x,则必有
x ∈ F ,就称 F是 Rn中的闭集.易知闭集的余集是开集,开集的余集是闭集,且有
(1)空集
.和 Rn都是闭集;
(2)
任意个闭集的交集是闭集;
(3)
有限个闭集的并集是闭集．
设 A是 Rn中的非空点集 ,所有包含 A的闭集的交集 ,也就是包含 A的最小闭集,称为 A的闭包,记为 Aˉ.显然 A是闭集当且仅当 A = Aˉ.
设 X是 Rn中的非空点集 ,可以将其视为 Rn的子空间 :对任意 X中的两点
x =(x1, ,xn)和 y =(y1, ,yn),仍以 Rn中两点之间的距离公式 d (x, y)来定义它们在 X中两点之间的距离 . Rn中任意开集与 X的交即为 X中的开集 , Rn中任意闭集与 X的交即为 X中的闭集 . x0 ∈ X,任何包含 x0的 X中的开集称为 x0在 X中的开邻域.
设 A是 Rn 中的非空点集 ,称 d (A) = sup d (x, y)为 A的直径 . 如果
x∈A,y∈A
d (A) < ∞,则称 A是 Rn 中的有界集.
以下两个结果的证明见文献 [17].
聚点收敛定理设 X是 Rn中的有界闭集 ,则对 X中的任意序列 {xm},必有子序列 {xmk },使 xmk → x ∈ X (mk →∞).
注 1.1.1这是数学分析实数理论中 WeierstrAss定理的推广 .进一步 ,如果 X是 Rn中的有界集 ,则对 X中的任意序列 {xm},必有子序列 {xmk },使
mk
→ x (mk →∞),这里因 X不一定是闭集,故 x不一定属于 X.
λ∈Λ
m
G1, ,Gm,使 Gi . X.
i=1
注 1.1.2这是数学分析实数理论中 Borel覆盖定理的推广 .进一步 ,如果 X是 Rn中的有界闭集 , {Gλ : λ ∈ Λ}是 X中的任意一族开集 (其中 Λ是指标集 ),
m
Gλ = X,则存在这族开集中的有限个开集 G1, ,Gm,使 Gi = X.
λ∈Λ i=1
证明 .λ ∈ Λ,因 Gλ是 X中的开集 ,存在 Rn中的开集 Gλ.,使 Gλ = G.λ n X.
mm
因 G X,存在 G1., ,G.,使 G X,故 Gi = X.
λ mi
λ∈Λ i=1 i=1
设 X是 Rn中的非空子集 , f : X → R是一个函数 , x0 ∈ X,如果 .ε> 0,存在x0在 X中的开邻域 O (x0),使 .x ∈ O (x0),有
f (x) f (x 0) . ε),
则称 f在 x0是上半连续的 (或下半连续的 ).如果 f在 x0既上半连续又下半连续 ,
则称 f在 x0是连续的 ,此时 .x ∈ O (x0),有 f (x) . f (x0) <ε.如果 .x ∈ X,
f在 x连续 (或上半连续 ,或下半连续 ),则称 f在 X上是连续的 (或上半连续的 ,
或下半连续的).
设 A是 Rn中的非空点集 , x ∈ Rn ,称 d (x, A) = inf d (x, y)为 x与 A之间的
y∈A
距离. d (x, A)是 x的连续函数且 d (x, A)=0当且仅当 x ∈ Aˉ.
引理 1.1.1设 X是 Rn中的非空点集, f : X → R是一个函数,则
(1) f在 X上是上半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) c}是 X中的闭集;
(2) f在 X上是下半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) : c}是 X中的闭集;
(3) f在 X上是连续的当且仅当 .c ∈ R, {x∈ X : f(x) c}和 {x ∈X :f (x) :c}都是 X中的闭集.
m
证明只证 (1).设 f在 X上是上半连续的 , .x∈{x ∈ X : f (x) c}, xm → x0 ∈ X,则 xm ∈ X,且 f (xm) cε> 0,因 f在 x0上半连续且 xm → x0 ,
反之 , .x0 ∈ X, .ε> 0,因 {x ∈ X : f (x) f (x0) + ε}是 X中的闭集 ,故 {x ∈ X : f (x) 0
有 f (x) 注 1.1.3可以将引理 1.1.1叙述为:
(1) f在 X上是上半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x)
(2) f在 X上是下半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) >c}是 X中的开集;
(3) f在 X上是连续的当且仅当 .c∈R, {x∈X : f (x)c}都是 X中的开集.
定理 1.1.1设 X是 Rn中的有界闭集, f : X → R,那么有
(1)如果
f在 X上是上半连续的,则 f在 X上有上界,且达到其最大值;
(2)如果
f在 X上是下半连续的,则 f在 X上有下界,且达到其最小值;
(3)如果 f在 X上是连续的 ,则 f在 X上既有上界也有下界 ,且达到其最大值和最小值.
证明只证 (1).用反证法 ,如果 f在 X上无上界 ,则对任意正整数 m,存在
m
x∈ X,使 f (xm) >m.因 X是 Rn中的有界闭集 ,由聚点收敛定理 ,必有 {xm}
mk
的子序列 {xmk },使 x→ x0 ∈ X.因 f在 x0是上半连续的 ,令 ε = 1,当 mk充分大时,有 mk m
记 M = sup f (x) < ∞,则对任何正整数 m,存在 x∈ X,使 M . m 1 <
x∈X
f (xm) : M.同上 ,存在 {xm}的子序列 {xmk },使 xmk → x ∈ Xε> 0,当 mk充
分大时,有 M . 1 M : f (x0).又 f (x0) : M,最后得 f (x0) = M.定理 1.1.2设 X是 Rn中的有界闭集 , {G1, ,Gm}是 X中的 m个开集 ,且
m
Gi = X,则存在从属于此开覆盖 {G1, ,Gm}的连续单位分划 {β1, ,βm},
i=1
即 .i =1, ,m, βi : X → R满足
n
(1)0()1;在上是连续的且有 ::.∈βXXβxx,,ii (2)()0,如果则 ;.∈∈XβG>xxx,ii(3)()=1.∈ Xβxx, ．ii=1 =1证明 定义如下::.→iβXR ,m,, i ()= .∈ X,βxxi .生 ()=0,=1()=0,首先如果则有因是\.\dx,XGidx,XGG ,m,,i, ii 开集是闭集故即而这与矛盾\∈\∈∈∈XGXGXx/GXG=xxx,,,,,.iiiii=1 生=10()1,()=1.由此在上连续且有 ::∈iβXXββ ,mxxx,,,,, iii ()0,()0,如果则 \∈\∈βdx,XGx/XGG>>xx,.iiii=()()定义的范数或模n.∈ Rxx,xx,,1nll ().()0()注意到 有这样 nnm.∈.∈.→→∞RRdd=xyxyx,yx,xm,,, =()=()nn 定义与的内积.∈.∈RRxx,xyy,yxy1,, 1,,nn生
d (x, X\Gi)
md (x, X\Gi) i=1
m
i=1
m
生
ni=1
2
n 1
生生 2ll =xx.i
i=1
显然有
(1) lxl 0, lxl =0当且仅当 x =0;
(2) .α ∈ R, lαxl = |α|lxl;
(3) .y ∈ Rn , lx + yl : lxl + lyl.当且仅当 lxm . xl→ 0(m →∞).
n(x, y) = xiyi.i=1
显然有
(1) (x, x) 0, (x, x) =0当且仅当 x =0;
(2) (x, y) = (y, x);
(3) .α, β ∈ R, .z ∈ Rn , (αx + βy, z) = α (x, z) + β (y, z).
注意到 .x ∈ Rn ,有 (x, x) = lxl2 ,且 .y ∈ Rn ,有
|(x, y)| : lxllyl (CAuchy不等式).
引理 1.1.2 .x ∈ Rn , .y ∈ Rn ,平行四边形公式
2
22 川
lx + yl+ lx . yl2 =2 (lxl+ lyl
成立.
证明
22
lx + yl+ lx . yl= (x + y, x + y) + (x . y, x . y) = (x, x) +2 (x, y) + (y, y) + (x, x). 2 (x, y) + (y, y)
22
川
=2 (lxl+ lyl.
设 X和 Y分别是 Rm和 Rn中的两个非空子集 , Rm和 Rn上的距离函数分别记为 d和 ρ, f : X → Y是一个映射 , x0 ∈ X.如果 .ε> 0,存在 x0在 X中的开邻域 O (x0),使 .x ∈ O (x0),有 ρ (f (x) ,f (x 0)) < ε,
则称映射 f在 x0上连续的 .如果 f在 X中的每一点都连续 ,则称 f在 X上是连续的.此外,定义 X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y } ,
. (x, y) ∈ X × Y, . (x ,y ) ∈ X × Y,定义 (x, y)和 (x ,y )之间的距离
2
l ((x, y) , (x ,y )) = [(d (x, x ))2 +(ρ (y, y ))2]1 .
易知 ,如果 X和 Y分别是 Rm和 Rn中的有界闭集 ,则 X × Y必是 Rm+n中的有界闭集.
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