孙路弘

       毕业于北京师范大学数学系，曾任北京师范大学附属实验中学数学老师。

       自称脑力工程师，擅长调整智力结构、塑造思维形态，从心理学、脑神经科学入手，解读孩子成长过程中的心理、大脑和认知变化。

       互联网时代，通过各种网络平台授课，开设课程从小学生数学课程到家长心理学课程，还包括乐高中的数学学习方法、从扑克牌的玩法中学会加减乘除等。

       曾翻译图书《孩子天生会数学》，作品有《妈妈教的数学》《爸爸教的数学》。

       在家庭数学教育过程中，父母的分工是天然形成的。妈妈是生活的关照者，兴趣的启蒙者；爸爸则是自信的建设者，思维的开拓者。巩固兴趣，将数学兴趣转化为理性思维，是来自爸爸的影响。

       本书作者“中国奥数di一人”孙路弘继《妈妈教的数学》之后再度创作《爸爸教的数学》，从孩子思维发展的认知规律出发，在自己的童年趣事和成长经历中追根溯源，结合多年数学任教经验，提炼出数学思维开发的精髓和工具，让每位爸爸都能找到适合自己孩子的数学思维培养方式。

       童年时期思维模式的形成，影响人的一生；理性的思考、踏实的推导、严谨的习惯，这三个层面的耕耘都需要爸爸的示范和引导。

       音符里藏着数学规律

       1974 年 7 月 9 日

       星期二   下雨

       今天开始放暑假了，在爸爸的办公室做作业。从今天开始，爸爸教我弹钢琴，就用他办公室的这架钢琴，先是车尔尼 299 的第一首，我的脚够不着下面的棱子，爸爸说现在用不上。左手做的简单，就弹 4 个小节，按 4 次，右手太麻烦了。爸爸一直在扳我的手指，最前面的一节要立起来。

       1974 年 7 月 10 日

       星期三   小雨

       妈妈到办公室来看我了，我就可以休息一会儿，手都酸了。我们一起玩敲瓶子游戏，用啤酒瓶装上水，然后用筷子敲，敲了以后，声音都是不同的，把 7 个瓶子都装上不同数量的水，从最少的到最多的，然后再敲，我才发现声音与钢琴右手弹出来的差不多，有一些一样，有一些不一样。然后，妈妈让我把不一样的倒掉一些水，就差不多一样了，有的是加一些水就差不多了，真好玩。

       1974 年 7 月 11 日

       星期四    阴

       今天妈妈也弹了 4 个小节，我敲瓶子，后来我弹，她敲。每次我敲的时候都能踩上她弹的点儿。水越多，声音越低；水越少，声音越高。爸爸拿回来 3 个瓶子，我们又装上了水，已经有 10 个瓶子了。

       1974 年 7 月 12 日

       星期五    晴

       今天做了好多分数的作业，妈妈让我敲空瓶子，然后跳到水最多的瓶子，然后再敲一半水的瓶子，我才发现水是一半的那个瓶子的声音正好就是琴键上的发（4），就在中间，妈妈说这就是二分之一。

       以上摘自我的日记。

       直到上了北京师范大学数学系，我才看到《唐老鸭漫游数学奇境》的动画片，也才知道古希腊数学家毕达哥拉斯是最早用分数来确定音符的人。拨动一条线上不同比例的地方，就可以听到不同的声音，并通过确定比例的数字来标定这个声音，这样就可以重复同一个声音了。

       回顾过去，钢琴我只学过这一个假期，不到两个月的时间，后来手风琴倒是学了 4 年。在音乐中，我找到了许多跟数学相通的东西。比如，哆（1）来（2）咪（3）发（4）唆（5）拉（6）西（7）加上升阶哆，在钢琴键盘上，这 8 个琴键是白色的，还有 5 个黑色的琴键，加起来就是 13 个，排列起来就是 5、8、13，恰好是斐波那契数列中的一段。

       再比如，常用的和弦哆（1）咪（3）唆（5）就是奇数组合，而来（2）发（4）拉（6）就是偶数组合。还有对节拍的熟悉，从熟练到合拍，都能直接同步体会到节奏中的分数和比率。

       波士顿儿童医院附属认知神经科学实验室过去 15 年的研究发现，从小学一年开始接触音乐的孩子，在数学测试中的表现和对概念的理解都比没有接触过音乐的孩子高出许多。哈佛大学儿童发展研究中心通过过去 50 年的研究也得出了相同的结论。

       我没有成为音乐家，不像我父亲，他是作曲家，在他那个年代写出了一些脍炙人口的歌曲。我虽然会拉手风琴，但在生活中也很少会自娱自乐地拉上一段早已熟练自如的《骑兵进行曲》《小放牛》等。音乐对我来说，似乎就是为了完成一个阶段的任务，从小学五年级的暑假开始到初二这个阶段。与其说是练习手指的灵活性，倒不如说是在脑海中一遍又一遍地重复那些有规律的音符，每个有规律的音符连在一起都是动听的和弦，在不同的数字组合间来回跳跃，旋律就不断地变换和流淌，这才让我真正体会到艺术的表现力，数学的美。

       学习钢琴能够直接影响孩子对分数的理解。小学五年级开始学习分数，其实是不容易的。

       在数学的发展历史上，分数是从毕达哥拉斯制作弦开始的。一根弦拉长，绷直，手指划过，发出声音。毕达哥拉斯将弦截半，再拉长，绷直，手指划过，又有一个声音。然后继续下去，毕达哥拉斯分别记录了自己的做法，以及对应的声音。从此便有更多的人开始探索声音的不同组合，并尝试用符号表示，这时，分数的样子就出来了。

       小时候，爸爸经常说，记不住公式没事，能现场把公式推导出来才是本事；能够唱出一段歌曲来不稀罕，在钢琴上找到那段曲子的音符才是本事。

       那时，隔壁女高音吊嗓子的时候，我就在这边的钢琴上一个键一个键地找那些音，然后写下来。学习分数的时候，我特别喜欢1/7、2/7、3/7，就是因为能够找到音阶，嘴里能够哼出调子来。

       这个过程，根本不是在做题，而是在探索。爸爸实际上带着我走了一条探索的思维小路。

       爸爸从事的是乐曲创作，办公室有各种能够发出声音的乐器。其中有一个竖琴，一直立在爸爸办公室的角落里。有时我用钢琴找到《丢手绢》的调子后，又用竖琴去找。长长的一根弦，我从中间开始拨，听到声音后，又从这个中点向上拨，听声音，再从中点向下拨，再听声音。我体会到的是，一半，一半的一半。等到课堂上，老师讲分数的时候，我脑海中直接反应出的就是弦的一半，以及一半的一半。

       我脑海中是先有了数量被切分的认识，再接触数学中的说法。而多数同学是没有整体切分的认识，便直接接触了分数的说法。

       多数同学的这个认识，在认知心理学上叫附着信息，而我大脑中的那种认识过程是原生信息的发展，就是先有了一个来自实际的认识，再接触到抽象的、提炼出来的术语（分数）。这时，新的术语便直接在脑海中生了根，因为这个根底下原本就埋下了一颗种子，而新的术语在种子上发芽、发育、发展，便会一直坚实，不会走样。

       实用主义与系统知识进入大脑的次序不同，会影响人对内容的理解程度。从实用主义出发，人的目的性更强。次序颠倒，便难以理解，就只是为公式而公式了。

       很多孩子没有这样幸运，他们没有那个根，所以，附着到大脑里的新术语只能依靠不断地重复、不断地练习来强化记忆，而不是靠理解。通过大量的练习，有的孩子能在大脑中与现实中的事情结合起来，也就生根了。但有的孩子却难以做到生根，10 年后，这些分数的概念就变成了习惯，但并不是真正透彻地理解。不能做到理解，相关的从分数扩展出来的术语也就渐渐遗忘了，比如真分数（最简分数）、假分数、带分数这些术语，都是无根的，也就遗忘了。根，就是那种实用的目的。

       家庭中，有大量生活细节可以帮助孩子播下各种数学的种子。等孩子到了课堂上，一下子就能把新学到的术语词汇与这些种子连接起来。种子周围是有土壤的，这片土壤就是周围的脑神经元，它们能够让种子发芽、发育、发展得更好。在我家，妈妈负责让我不惧怕数学，同时产生兴趣，而爸爸则扩展了我的灵活性。

       数学思维需要准确的理解、灵活的思考以及严谨的操作。这三个思维层面的耕耘都来自爸爸。

       回顾爸爸给我的数学认知，理解的准确性、思维的灵活性、操作的严谨性，这三个层面的思维方式是最宝贵的。这些又都是在不知不觉中，通过玩儿、猜测、实践和参与各种活动而来的。

       妈妈，启发了我对数学的兴趣；爸爸，给了我思维的方法。

引言：父亲影响我一生的思考习惯

第一回合：音符里藏着数学规律

每个有规律的音符弹出来都是动听的和弦，在不同的数字组合间来回跳跃，旋律就不断地变换和流淌。体会到这些，才真正体会到艺术的表现，数学的美。数学思维需要准确、灵活和严谨，这三个思维层面的耕耘，都来自爸爸。

第二回合：数字间的故事

儿童认知心理学揭示，10 岁左右，孩子开始对一些神秘的事物产生好奇，尤其是有规律的、能够猜测到的，比如数字的变化。数学思维也是对数字的不断加工，加工的过程中，很多数字中的规律、窍门，以及数字之间的关系，就都渐渐熟悉了。

第三回合：钥匙去哪儿了

9 岁以后，孩子开始从触觉学习转向视觉学习，开始通过文字的形式来探索外界，因此，学习的形式也要开始变化，不是先行动，而是先充分思考，把要采取的行动写下来，或者把采取过的行动写下来。

第四回合：数学思维开窍的过程

数学思维的酝酿过程有三个核心特点，一是要慢，二是要图形，三是要持续想。着迷是开窍的前奏，着迷现象背后的大脑原理是吸引力、好奇和尝试。这三条，可以让孩子在相当长的时间里不厌其烦地从事那件事情。

第五回合：画图是重要的解题方法

遇到难题不要慌，试着画出来，要用纸、笔，要沉思。图形能让人一目了然，题目中蕴含的逻辑制约关系，在图上也很容易看出来。画图是解题的关键环节，很多时候，图画出来了，解也就出来了。

第六回合：天平两端的数学

看起来玩的是天平，实际上是通过不断地配比和调试，让天平达到平衡，从而在脑海中建立等式。等式是一个抽象的数学概念，这个概念最初就来自天平。

第七回合：井字游戏玩转加减乘除

把数学教育的内容打扮成游戏的样子，这一点非常重要。让孩子情不自禁地喜欢玩、愿意玩、可以没完没了地玩。玩的过程中，什么加减乘除的规则啊，等式运算的结果啊，进位、补位、借位啊，就都运用自如了。

第八回合：谈天说地中蕴含大智慧

孩子成长过程中的心理建设、精神发育、性格形成、智力基础等，都源自父母与孩子的对话，对话是环境影响中能占到50% 以上的重要环节。其中，父亲的作用不能缺少，自信、勇敢、坚强、执着等重要的人格品质，都是来自父亲的影响。

第九回合：从猜谜游戏孕育出抽象思维

数学学习要培养的是思考能力，而思考能力再进一步就是抽象思维。数学是思维的体操，是在思考过程中解决一个又一个不同问题所带来的乐趣，不是100 道大同小异的四则运算题，而是操作简单、结果有趣又能引发思考的形式。

第十回合：家庭数学辅导的12 个疑惑

积极的态度、热情的参与并不等于能让孩子学会正确的方法和思路。中国的孩子并不是输在了起跑线上，而是输在了起跑姿势上。学习的方法不对、内容不对、思路不对都会让孩子养成错误的习惯、形成错误的认识，甚至记下错误的概念。

后记

附录：算吧！

妈妈说

测试题答案