多纳尔·欧谢是马塞诸塞州曼荷莲学院的伊丽莎白·T·凯南讲席教授。在过去的25年里，他的著作和论文被世界范围的学者们阅读，并被翻译成多种欧洲文字，以及俄文、中文和日文。欧谢是高维空间奇点拓扑学和几何学方面的专家。

    大部分人也许从未想过一个三维宇宙可能会具有的不同形状。但是，只要你想过这个问题，庞加莱猜想将会是关于这些形状最简单的叙述，并且你会期望它的正确性。提出问题总是要比解决问题容易，一百年来，没有人能指出这个猜想是对还是错。因为它的重要意义，克莱数学研究所在2000年将庞加莱猜想定为新千禧年的七道著名未决难题之一，并给问题的解答提供一百万美元的奖金。<br>    2003年初，一位隐居的俄罗斯数学家格里高利·佩雷尔曼在互联网上张贴了三篇论文，声称证明了该猜想（以及更多的结果）。这位回避媒体的人以将答案张贴在互联网而不是发表于有正式审稿程序杂志的方式震撼了整个数学世界。他的结果经受住了数年、数个数学家小组的严格检验。<br>    在长达七年的等待后，佩雷尔曼的文章终于被克莱研究所承认，获颁100万美元奖金。和菲尔兹奖一样，佩雷尔曼拒绝接受这个奖项，他说“我对金钱和名誉没兴趣。”，他从数学得到了他想要的一切，还要其他的干吗呢。<br>    《庞加莱猜想》讲述了那些有趣的人物、机构的故事，以及本世纪导致佩雷尔曼激动人心的证明、和在这过程中拓宽了我们理解宇宙是如何运行的数学知识。

    多纳尔?欧谢写了一本真正了不起的书籍。他不仅解释了长期未决的、美妙的庞加莱猜想，而且清晰地描述了俄罗斯数学家格里高利?佩雷尔曼是如何最终解决这个问题的。围绕着这个故事，欧谢将基础拓扑学和在佩雷尔曼杰出成就中发挥作用的惊人概念——如里奇流等——编织成一幅画卷。读完《庞加莱猜想》，你将会对那个并非我们创造的数学领域中的无穷深度和丰富程度怀有深深的敬意。 <br>    ——马丁?加德纳（Martin Gardeners）《爱丽丝漫游奇境注解本》和《啊哈！灵机一动》作者 庞加莱猜想的历史再现了现代数学中最重要领域的发展历程。多纳尔?欧谢以寓教于乐的方式讲述了这个故事——概念、事件和促使一切发生的人物。在此我极力推荐这本书。 <br>    ——基斯?德夫林（Keith Devlin），斯坦福大学《数学基因》和《千禧年问题》作者。

    第一章2003年4月坎布里奇<br>    数学中的革命总是安静地发生着。没有嘈杂的军队，没有任何武器。简要的新闻故事也从不会出现在头版，更不会有预告。就像在2003年4月7日，一个阴冷、潮湿的周一下午，发生在马萨诸塞州坎布里奇市的那件事一样。<br>    人们不分老少地聚集在麻省理工学院的报告厅中，他们有的坐在地上，有的坐在过道里，有的站在报告厅的后面。演讲者——俄罗斯数学家格里高利?佩雷尔曼（GrigoryPerelman）——穿着一身皱巴巴的深色西服和一双帆布运动鞋，不时在作报告的时候走来走去。他留着胡子，秃顶、粗眉毛，还有一双有神的黑色眼睛。他试了试麦克风，踌躇地说：“我讲话没什么条理，所以我可能会为了演讲的生动性而牺牲某些细节。”听众发出一阵笑声，报告正式开始。他拿起一支粉笔，写下了一个短小的、有二十年历史的数学方程。[1]这个方程被称为里奇流方程（Ricciflowequation），它研究了当空间为某种奇怪类型的热量时的曲率变化，类似于熔岩从高弯曲度的区域流下，并在稍小曲率的区域寻找自己的扩张路径的过程。<br>    佩雷尔曼邀请听众一起将我们的宇宙想象为巨大的、抽象的、包含所有可能宇宙的数学集合中的一个元素。他将这个方程重新解释为描述这些可能宇宙运动的方程，好像它们是在一片广袤土地的高山上流下的水滴一样。当每个元素运动时，宇宙内部的曲率发生变化并在某些区域成为定值。在绝大多数情况下，这些宇宙会产生美妙的几何结构，有些是我们在学校学到的标准欧氏几何，还有一些不同的几何结构。但是某些下山的路径会带来问题——沿着这些路径运动的元素会产生某些数学上很糟糕的被掐掉的区域，或者更坏的情形。但是没关系，演讲者断言我们可以使得这些路径改向，随后他简要描述了如何做到这一点。<br>    听众之所以来参加这次报告会，源于佩雷尔曼在上一年11月张贴在某网站上的论文。在那篇论文的最后一节，佩雷尔曼大致描述了一段证明步骤，如果该论述正确，那么他将证明所有数学领域中最著名的、最困难的、也是最美丽的猜想。由当时最伟大、也是历史上最有天才的数学家亨利?庞加莱（HenriPoincaré）于1904年所提出的庞加莱猜想，是关于我们自身所处宇宙形状的大胆假设。但这仅仅是假设。证明或否定该猜想所带来的挑战如警笛般回荡在数学家的脑中，也使得该问题不仅是几何与拓扑领域，更是数学领域最著名的难题。[2]在2000年5月，克莱研究所——一个以促进和传播数学知识为己任的研究所——将该问题选为七个千禧年问题之一，并提供100万美元悬赏该问题的答案。

前言<br>第一章2003年4月坎布里奇<br>第二章地球的形状<br>第三章可能的世界<br>第四章宇宙的形状<br>第五章欧氏几何<br>第六章非欧几何<br>第七章伯纳德?黎曼的面试演讲<br>第八章黎曼的遗产<br>第九章克莱因和庞加莱<br>第十章庞加莱的拓扑学论文<br>第十一章伟大的先行者们<br>第十二章猜想的扎根<br>第十三章更高的维数<br>第十四章新千年的解答