第1章 万有引力常数
但是牛顿生于1642年，这中间还有一大段的空白。就我们所知，有一点似乎很清楚，牛顿并未像音乐家莫扎特或数学家高斯一类的天才那样在年少时期便展露出伟人的锋芒。母亲对他的期望是让他成为一个农民。幸好牛顿对于农事毫无兴趣，虽然母亲的态度十分坚决，但最终在牛顿所就读学校的校长（似乎是当时唯一看到牛顿潜力的人）和他叔叔的联合劝说下，才答应了把牛顿送去剑桥大学的三一学院读书。1661年，牛顿顺利进入了他的“安全学校”。这无疑是历史上最成功的B计划之一。
牛顿在学院度过的早期时光也并没有被他自己或同代人很好地记录下来。他在日记中记录了一些幸事（“去酒馆两次”）以及衰事（“打牌输掉两次”），但其中并没有丝毫天才破土而出的讯息。情况在1664年峰回路转，在当年“流水账”式的日记本中，牛顿记下了非常严肃认真的数学研究。在此之前，牛顿的数学知识似乎只有如今高中二年级学生的水平。牛顿当时的算术学不错，但他在代数学、几何学和三角学方面则有所欠缺。假如以他当时的水平去参加SAT入学考试的话，恐怕也拿不到什么好成绩。牛顿是通过购买或借阅各种最前沿的数学书籍跟上了学习的进度。从奥特雷德的著作《数学之钥》（Clavis Mathematicae）［1］中，他学习到代数学的强大和灵活性，这为他日后提出二项式定理奠定了基础。他也从沃利斯的《数学文集》（Opera Mathematica）［2］中汲取养分，最终发展出他在数学领域的标志性成就--无穷小微积分。而通过阅读斯霍滕翻成拉丁语的笛卡儿的《几何学》（Geometrie）［3］，牛顿弥补了自己在几何学方面的缺陷。
他应该是在1665年拿到学士学位，那一年英国爆发了最后一次大规模的黑死病疫情。由于人口密集，卫生条件差，疫情广为蔓延。从一些侧面也可以印证疫情的严重性，查理二世国王的宫廷从伦敦撤离到了牛津郡，剑桥大学也关闭了。于是牛顿返回他位于乌尔索普的家乡，在那里度过了一年半的时光，“专心研习数学与哲学”［4］。就是在这段时间，他重塑了整个世界。
万有引力定律的发展
牛顿在数学领域有着突出的贡献，但最令他名垂千古的仍是其对于科学的贡献，因为科学进步才是引领人类前进的主要动力。虽然牛顿在光学领域作出了重大贡献，但他能获得如此地位的主要原因，首先归功于他在力学和万有引力方面所做的工作，其次则是他发展出的理论及实验的科学方法。
对一条科学理论的首次阐释几乎都不是最简单的版本。像牛顿这样的革新者通常并不关心自己所说的是否能被普罗大众所理解，他们更感兴趣的是要让同行接受其观点，然后以此为基础搭建理论的大厦。牛顿的《自然哲学之数学原理》［5］便是如此。这本书通常简称为《原理》，我会偶尔拿来翻一翻，也曾下决心等退休之后好好读一读（不过它还在尚未完成的列表中）。《原理》的风格仿照了标准的几何学教材，公理、定理、前提条件、证明，条分缕析，而许多结论实际上也是几何学的。这一点并不意外，因为这本书的主要成就之一就是为开普勒三大定律的解释提供了依据（其中一部分就是牛顿对万有引力定律的论述），而这三条定律全部都是几何学的。开普勒第一定律是指行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆的，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律是指太阳中心和行星中心的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第三定律是指各行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
这些定律不只是一位优秀的几何学者通过某些前提所推出的结论，它们都有经验基础，是基于第谷·布拉赫辛苦积累的数据，经过长期的数据收集和模型拟合才得出的。第谷是一位对天文学感兴趣的丹麦贵族，他很欣赏开普勒的早期工作，于是邀请开普勒来到他位于布拉格附近的住所，当时他正在那里建造一座新的天文台。于是，开普勒就成为了第谷的思想传人。
当时，哥白尼革命渐成气候，开普勒尝试将第谷的那些宝贵数据与哥白尼的太阳系模型结合起来，后者认为行星是沿着均匀的圆形轨道围绕太阳运动的。开普勒最初设想的行星圆形轨道模型还引入了五个正多面体--正四面体、立方体、正八面体、正十二面体以及正二十面体。
无论如何，开普勒是打算把手头的数据塞进圆形轨道模型之中的。值得庆幸的是，第谷当时刚刚获得了十分准确的火星观测记录，记录显示出火星的轨道明显不是圆形。要是当时第谷刚刚完成观测的不是火星而是金星，而金星的轨道几乎就是一个完美的圆，那么开普勒何时能发现第一定律或者最终能否发现第一定律，可能就要打上一个问号了。
第一定律的发现体现出开普勒十分严谨的科学态度，而第二和第三定律的发现则凭借的是他过人的数学能力。计算第二定律中扫过区域的面积已经大大超出了基础欧几里得几何学的能力，同时，找出第三定律中所蕴涵的复杂关系也要求具备相当的数学天赋。尽管任务艰巨，开普勒仍投入了数年时间来构建和检验其第二和第三定律。在这个过程中，开普勒遭遇了众多个人及政治上的变故，他的妻子和最爱的一个儿子都因病离开了人世，又由于拒绝皈依天主教，他可以谋生的途径也受到限制。此外，他的母亲遭到施行巫术的指控，他不得不为此事奔波，进行辩护。在当时，此项指控是会导致酷刑致死的。不过，这项指控被证明是出于传言。（这并不意外，因为据我所知，不论是当年还是现在，货真价实的巫术案件并不多见。）最终，开普勒帮助母亲证明了清白。
开普勒的墓志铭很好地总结了他的成就：
我曾测量天高，今欲测量地深；
思想遨游天际，肉体长眠大地。［6］
速度问题
从开普勒第一及第二定律中可以直观得出的结论是，行星运行在自己的轨道中，在不同的位置上运行的速度不同。所谓椭圆就是两端拉长的圆圈，形状好像飞艇，有一长一短两根对称轴。如果画一个椭圆
图1
代表行星的轨道，并把太阳置于椭圆长轴的左焦点上，再假设行星在靠近太阳的一端从长轴的紧上方运行到关于长轴对称的紧下方（图1）本书插图均为编者所加，部分图片的许可协议见文前的“图片使用说明”，图注文字遵从CCBYSA30协议。--编者注，我们可以将行星扫过的区域大概视为一个等边三角形（虽然行星的运动轨迹是一条曲线，但在很短的距离内，我们可以将其视为与长轴垂直的一条线段）。三角形的高是长轴上太阳与近侧椭圆弧之间的距离，由于太阳位于椭圆的左焦点，因此这一距离比长轴的一半要短。很明显，如果行星的运行速度保持不变，那么在相同的时间内，不管它是靠近太阳还是远离太阳，它在轨道上都会划过相同的距离。这时，如果行星在长轴远端的紧下方运行相同的距离到了紧上方，根据开普勒第二定律，仍然可以将行星扫过的区域视为一个等边三角形，那么这个等边三角形的底边和刚才的相同。然而，这个三角形的高是从太阳到长轴远端的距离，这比长轴的一半要长，因而前后两个三角形的面积是不同的。因此，如果开普勒第一及第二定律成立，那么行星在太阳近端和远端的运行速度应该是不相同的。
牛顿在微积分方面所做的工作对于解释以上问题非常重要。微积分提供了一种方法，能够用于确定不断变化的数值，比如行星或一辆车在任意特定时刻的速度。举例来说，某个下午我花了三个小时从洛杉矶开车去圣地亚哥，全程210千米。通过简单运算，我的平均速度为每小时70千米，但这无从告诉我汽车经过405号州际公路的开阔地带时速度有多快，或是米申维耶霍附近遇到堵车时速度有多慢。如果要确定汽车在下午两点钟的速度，我们需要查看某一时间段内的平均速度，并逐渐把时间段缩小。要确定某一个时间点的速度，以之为起点往后一秒钟内的平均速度要比以之为起点往后一分钟内的平均速度更加准确，因为在一分钟的时间段内汽车改变速度的可能性更大。如果我们测量平均速度时选择更短的时间段，比如说0001秒，那么所得出的速度就十分接近汽车在时间段起点的准确速度了。当然，前提是我不能在这0001秒内撞上一辆卡车。
牛顿的《原理》不仅意识到这个问题，而且还提出了一种可以计算出在任何时间点的瞬时速度的方法，在今天的微积分中被称为差商法，其中涉及对平均值求极限。他同时预料到了很多微积分学生在学习这部分时会面临的困难以下文字引用了王克迪的译文，参见：《自然哲学之数学原理》，王克迪译，袁江洋校，陕西人民出版社，武汉出版社，2001年，第49页。--译者注：所以我在证明以后的命题时宁可采用最初的与最后的和，以及新生的与将趋于零的量的比值，即采用这些和与比值的极限，并以此作为前提，尽我可能简化对这些极限的证明。这一方法与不可分量方法可作相同运用，现在它的原理已得到证明，我们可以更可靠地加以使用。所以，此后如果我说某量由微粒组成，或以短曲线代替直线，不要以为我是指不可分量，而是指趋于零的可分量，不要以为我指确定部分的和与比率，而总是指和与比率的极限，这样演示的力总是以前述引理的方法为基础的。［7］
虽然我对于微积分知识有很好的把握，但上面这段牛顿的解释对我来说也不好懂。而对一名21世纪的学生来说，我以为，要从他的书中学习不论是微积分还是万有引力定律，几乎都是不可能的。
大G和小g
牛顿万有引力理论的核心内容实际上包含两个常数：《原理》一书中所描述的普适常数G，以及在地球表面由重力引起的局部加速度g。后者常被称为小g，相对来说比较容易测量，只要我们不要求太高的精准度，比如能够接受小数点后两位或三位的近似值。在一块真空区域（消除空气阻力），让一个物体自由下落，测量坠落距离和坠落时间即可计算出近似值。最初是伽利略发现物体的坠落距离与坠落时间的平方成正比，这一点同样也是牛顿万有引力定律的众多推论之一，在微积分第一学期的课程中就会见到：令距离为d，时间为t，则有公式d=12gt2，很容易就可以计算出小g大约为98米每二次方秒。将该数值拆开来看会比较容易想象，“98米每秒”（停顿）“每秒”。也就是说，物体基于地球重力下落的速度每秒增加98米每秒。在月球表面，物体的坠落速度会慢得多，这一点宇航员已经向我们展示过了，这时即使是大笨狼怀尔也来得及从坠落的铁砧下逃脱。正因如此，小g并非普适常数，而是一个局部常数。
大G则是普适常数，但G和g之间存在一种关系，你可能已经有所预料了。牛顿的重要成就之一，就是提出了球体的万有引力的表现形式就好像其全部质量均集中于中心的一点上。因此，地球（质量为M，半径为R）对一个质量为m的物体所施加的引力就有两种计算方式：按照万有引力定律，F=GmM/R2；按照牛顿的第二力学定律，F=mg。将两个等式合并，等号两边的m被抵消掉，从而推出等式g=GM/R2。古希腊人就已经掌握了R的大体数值，但如果要确定G的大小，则必须知道M的数值，这一点直到牛顿去世以后很久才有所进展。
事实上，在之后的两个世纪里面，并没有人真正想要确定G的大小，因为那一时期的所有科学研究都不需要用到G的数值。过去在天文学中的很多进展，今天也依旧如此，都是利用比例来计算的。这一点并不意外，因为通过各种比例等式也可以进行很实用的运算，在《原理》一书很久之前人们就已经这么做了。比例最早出现在算术学里。（如果两个鸡蛋做成的饼干够三个小朋友吃，那么多少个鸡蛋做成的饼干才够12个小朋友吃呢？）之后又出现在几何学里，我们可以利用相似三角形对应边的比例等式来测量一棵无法攀登的树或远处山峰的高度。这两种对于比例的应用（算术学和几何学）在自然科学领域都有着非常重要的实用性，在日常生活之中也是如此。鸡蛋数量不对的话，烤出来的饼干可能就会参差不齐，而这应该不是你期望看到的。
牛顿能从他的万有引力定律中推导出开普勒第三定律--任何两颗行星公转周期之比等于行星与太阳平均距离的立方之比。天文学家可以利用这些比值，再加上地球与太阳之间的距离（乔凡尼·卡西尼在《原理》一书出版之前十多年就算出了该数据）［8］以及一颗行星的公转周期便可计算出该行星与太阳之间的平均距离。整个计算过程完全不需要知道万有引力常数，因此便没有人费心去钻研它，它的面纱直到18世纪末才在一项实验中被揭开。
卡文迪许试验
大多数伟大的科学家除了留下了他们之一亨利·卡文迪许便是其中一位。
卡文迪许1731年生于法国，父母为查尔斯·卡文迪许公爵和安妮·格蕾夫人，他因此继承了很大一笔遗产。他在剑桥大学读了三年书后便辍学了，也没有拿到剑桥的学位，但这并未对他的科学事业造成一丝一毫的妨碍。不过卡文迪许却在私人生活中面临着严重的障碍，社交场合和人际关系对他来说似乎是个天大的困难。他在女子面前过分害羞，连与家里的女仆沟通时都需要动用纸条。为了防止与女仆狭路相逢，他甚至还在家里修建了特别的楼梯通道和入口。显然，卡文迪许的社交活动并不值得写进日记之中，不论是他自己的日记还是他人的。他在公共场合现身的记录大概就只有参加科学会议的场合了。
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——John L. Casti，《逻辑人生：哥德尔传》、《剑桥五重奏：机器能思考吗》作者