一、 哈代的明信片
让我们从一则小故事开始我们的黎曼猜想（Riemann hypothesis）漫谈吧。这则故事来自与哈代相识的匈牙利数学家波利亚（George Pólya，1887—1985）。故事大约发生在20世纪30年代，当时英国有位很著名的数学家叫做哈代（Godfrey Hardy，1877—1947），他不仅著名，而且在我看来还是两百年来英国数学界的一位勇者。为什么这么说呢？因为在17世纪的时候，英国数学家与欧洲大陆的数学家之间发生了一场激烈的论战。论战的主题是谁先发明了微积分。论战所涉及的核心人物一边是英国的科学泰斗牛顿（Isaac Newton，1642—1727），另一边则是欧洲大陆（德国）的哲学及数学家莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646—1716）。这场论战打下来，两边筋疲力尽自不待言，还大伤了和气，留下了旷日持久的后遗症。自那以后，许多英国数学家开始排斥起来自欧洲大陆的数学进展。一场争论演变到这样的一个地步，英国数学界的集体荣誉及尊严、牛顿的赫赫威名便都成了负资产，英国的数学在保守的舞步中走起了下坡路。
这下坡路一走便是两百年。
在这样的一个背景下，在复数理论还被一些英国数学家视为来自欧洲大陆的危险概念的时候，土生土长的英国数学家哈代却对来自欧洲大陆（而且偏偏还是德国）、有着复变函数色彩的数学猜想——黎曼猜想——产生了浓厚兴趣，积极地研究它，并且——如我们将在后文中介绍的——取得了令欧洲大陆数学界为之震动的成就，算得上是勇者所为。
当时哈代在丹麦有一位很要好的数学家朋友叫做玻尔（Harald Bohr，1887—1951），他是著名量子物理学家玻尔（Niels Bohr，1885—1962）的弟弟。玻尔对黎曼猜想也有浓厚的兴趣，曾与德国数学家兰道（Edmund Landau，1877—1938）一起研究黎曼猜想（他们的研究成果也将在后文中加以介绍）。哈代很喜欢与玻尔共度暑假，一起讨论黎曼猜想。他们对讨论都很投入，哈代常常要待到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次当他赶到码头时，很不幸地发现只剩下一条小船可以乘坐了。从丹麦到英国要跨越宽达几百公里的北海（North Sea），在那样的汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情，弄得好算是浪漫刺激，弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的平安，信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。哈代却是一个坚决不信上帝的人，不仅不信，有一年他还把向大众证明上帝不存在列入自己的年度六大心愿之中，且排名第三（排名第一的是证明黎曼猜想）。不过在面临生死攸关的旅程之时哈代也没闲着，他给玻尔发去了一张简短的明信片，上面只有一句话：
“我已经证明了黎曼猜想。”
哈代果真已经证明了黎曼猜想吗？当然不是。那他为什么要发那样一张明信片呢？回到英国后他向玻尔解释了原因，他说如果那次他乘坐的小船真的沉没了，那人们就只好相信他真的证明了黎曼猜想。但他知道上帝是肯定不会把这么巨大的荣誉送给他——一个坚决不信上帝的人——的，因此上帝是一定不会让他的小船沉没的。哈代的这个解释让我想起了一句有趣的无神论者的祈祷语： 上帝啊，如果你存在的话，拯救我的灵魂吧，如果我有灵魂的话（God， if there is one， save my soul if I have one）。
上帝果然没舍得让哈代的小船沉没。自那以后又过了大半个世纪，吝啬的上帝依然没有物色到一个可以承受这么大荣誉的人。
六、 错钓的大鱼
在黎曼的论文发表之后的最初二三十年时间里，他所开辟的这一领域显得十分冷清，没有出现任何重大进展。如果把黎曼论文的全部内涵比作山峰的话，那么在最初这二三十年时间里，数学家们还只在从山脚往半山腰攀登的路上，只顾着星夜兼程、埋头赶路。那高耸入云的山巅还笼罩在一片浓浓的雾霭之中，正所谓高处不胜寒。但到了1885年，在这场沉闷的登山之旅中却爆出了一段惊人的插曲： 有人忽然声称自己已经登顶归来！
这个人叫做斯蒂尔切斯（Thomas Stieltjes，1856—1894），是一位荷兰数学家。1885年，这位当时年方29岁的年轻数学家在巴黎科学院发表了一份简报，声称自己证明了以下结果：
M(N)≡∑n 这里的μ(n)是我们在第4章末尾提到过的默比乌斯函数，由它的求和所给出的函数M(N)被称为梅尔滕斯函数（Mertens function）。这个命题看上去倒是“面善”得很： 默比乌斯函数μ(n)不过是一个整数函数，其定义虽有些琐碎，却也并不复杂，而梅尔滕斯函数M(N)不过是对μ(n)的求和，证明它按照O(N1/2)增长似乎不像是一件太困难的事情。但这个其貌不扬的命题事实上却是一个比黎曼猜想更强的结果！换句话说，证明了上述命题就等于证明了黎曼猜想（但反过来则不然，否证了上述命题并不等于否证了黎曼猜想）。因此斯蒂尔切斯的简报意味着声称自己证明了黎曼猜想。
虽然当时黎曼猜想还远没有像今天这么热门，消息传得也远没有像今天这么飞快，但有人证明了黎曼猜想仍是一个非同小可的消息。别的不说，证明了黎曼猜想就意味着证明了素数定理，而后者自高斯等人提出以来折磨数学家们已近一个世纪之久，却仍未得到证明。与在巴黎科学院发表简报几乎同时，斯蒂尔切斯给当时法国数学界的一位重量级人物埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）发去了一封信件，重复了这一声明。但无论在简报还是在信件中斯蒂尔切斯都没有给出证明，他说自己的证明太复杂，需要简化。
换作是在今天，一位年轻数学家开出这样一张空头支票，是很难引起数学界的任何反响的。但是19世纪的情况有所不同，因为当时学术界常有科学家做出成果却不公布（或只公布一个结果）的事，高斯和黎曼都是此道中人。因此像斯蒂尔切斯那样声称自己证明了黎曼猜想，却不给出具体证明，在当时并不算离奇。学术界对之的反应多少有点像现代西方法庭所奉行的无罪推定原则，即在出现相反证据之前倾向于相信声明成立。
但相信归相信，数学当然是离不开证明的，而一个证明要想得到最终的承认，就必须公布细节、接受检验。因此大家就期待着斯蒂尔切斯发表具体的证明，其中期待得最诚心实意的当属接到斯蒂尔切斯来信的埃尔米特。埃尔米特自1882年起就与斯蒂尔切斯保持着通信关系，直至12年后斯蒂尔切斯过早地去世为止。在这期间两人共交换过432封信件。埃尔米特是当时复变函数论的大家之一，他与斯蒂尔切斯的关系堪称数学史上一个比较奇特的现象。斯蒂尔切斯刚与埃尔米特通信时还只是莱顿天文台（Leiden Observatory）的一名助理，而且就连这个助理的职位还是靠了他父亲（斯蒂尔切斯的父亲是荷兰著名的工程师兼国会成员）的关照才获得的。在此之前他在大学里曾三度考试失败。好不容易“拉关系、走后门”进了天文台，斯蒂尔切斯却“身在曹营心在汉”，手上干着天文观测的活，心里惦记的却是数学，并且给埃尔米特写了信。照说当时一无学位、二无名声的斯蒂尔切斯要引起像埃尔米特那样的数学元老的重视是不容易，甚至不太可能的。但埃尔米特是一位虔诚的天主教徒，他恰巧对数学怀有一种奇特的信仰，他相信数学存在是一种超自然的东西，寻常的数学家只是偶尔才有机会了解数学的奥秘。那么，什么样的人能比“寻常的数学家”更有机会了解数学的奥秘呢？埃尔米特凭着自己的神秘主义眼光找到了一位，那就是默默无闻的观星之人斯蒂尔切斯。埃尔米特认为斯蒂尔切斯具有上帝所赐予的窥视数学奥秘的眼光，他对之充满了信任。在他与斯蒂尔切斯的通信中甚至出现过“你总是对的，我总是错的”那样极端的赞许。在这种奇特信仰与19世纪数学氛围的共同影响下，埃尔米特对斯蒂尔切斯的声明深信不疑。
但无论埃尔米特如何催促，斯蒂尔切斯始终没有公布他的完整证明。一转眼5年过去了，埃尔米特对斯蒂尔切斯依然“痴心不改”，他决定向对方“诱之以利”。在埃尔米特的提议下，法国科学院将1890年数学大奖的主题设为“确定小于给定数值的素数个数”。这个主题读者们想必有似曾相识的感觉，是的，它跟我们前面刚刚介绍过的黎曼那篇论文的题目十分相似。事实上，该次大奖的目的就是征集对黎曼那篇论文中提及过却未予证明的某些命题的证明（这一点明确写入了征稿要求之中）。至于那命题本身，则既可以是黎曼猜想，也可以是其他命题，只要其证明有助于“确定小于给定数值的素数个数”即可。在如此灵活的要求下，不仅证明黎曼猜想可以获奖，就是证明比黎曼猜想弱得多的结果——比如素数定理——也可以获奖。在埃尔米特看来，这个数学大奖将毫无悬念地落到斯蒂尔切斯的腰包里，因为即便斯蒂尔切斯对黎曼猜想的证明仍然“太复杂，需要简化”，他依然能通过发表部分结果或较弱的结果而领取大奖。
可惜直至大奖截止日期终了，斯蒂尔切斯依然毫无动静。
但埃尔米特也并未完全失望，因为他的学生阿达马提交了一篇论文，领走了大奖——肥水总算没有流入外人田。阿达马获奖论文的主要内容正是我们在第5章中提到过的对黎曼论文中辅助函数ξ(s)的连乘积表达式的证明。这一证明虽然不仅不能证明黎曼猜想，甚至离素数定理的证明也还有一段距离，却仍是一个足可获得大奖的进展。几年之后，阿达马再接再厉，终于一举证明了素数定理。埃尔米特放出去的这根长线虽未能如愿钓到斯蒂尔切斯和黎曼猜想，却错钓上了阿达马和素数定理，斩获亦是颇为丰厚（素数定理的证明在当时其实比黎曼猜想的证明更令数学界期待）。
那么斯蒂尔切斯呢？没听过这个名字的读者可能会觉得他是一个浮夸无为的家伙，事实却不然。斯蒂尔切斯在分析与数论的许多方面都做出过重要贡献。他在连分数方面的研究为他赢得了“连分数分析之父”的美誉；挂着他名字的黎曼斯蒂尔切斯积分（RiemannStieltjes integral）更是将他与黎曼的大名联系在了一起（不过两人之间并无实际联系——黎曼去世时斯蒂尔切斯才10岁）。但他那份哈代明信片式的有关黎曼猜想的声明却终究没能为他赢得永久的悬念。现在数学家们普遍认为斯蒂尔切斯所宣称的关于M(N)=O(N1/2)的证明即便有也是错误的。不仅如此，就连命题M(N)=O(N1/2)本身的成立也已受到了越来越多的怀疑。这是因为比M（N）=O（N1/2）稍强、被称为梅尔滕斯猜想（Mertens conjecture）的命题： M（N） 三十、 监狱来信
在前面各章中，我们介绍了数学家们在证明黎曼猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。这些尝试有些是数值计算，它们虽然永远也不可能证明黎曼猜想，却有可能通过发现反例而否证黎曼猜想——当然，迄今为止并未有人发现反例；有些则是解析研究，它们具有证明黎曼猜想的潜力，但迄今为止距离目标还很遥远。如果小结一下的话，那么这两类尝试虽然很不相同，却都可以被归为直接手段，因为它们的目标都是黎曼猜想本身。
既然这两类直接手段都遇到了困难，那我们不妨来问这样一个问题： 除这些直接手段外，还有没有别的手段可以帮我们研究黎曼猜想，或至少带给我们一些启示呢？
答案是肯定的。
事实上，黎曼猜想虽然是一个极为艰深的难题，但这种长时间无法解决的难题在科学上是并不鲜见的。科学家们对付这种难题的大思路其实很简单，那就是直接手段行不通时，就采用间接手段。当然，大思路虽然简单，具体采取什么样的间接手段，可就大有讲究了。一般来说，常用的间接手段有两类： 第一类是研究与原问题相等价的问题——那样的问题一旦被解决，原问题自然也就解决了；除了研究等价问题外，人们有时还会研究比原问题更普遍的问题。有读者可能会问：那样的问题难道不应该与原问题同样困难、甚至更困难吗？是的，一般来说，与一个难题相等价或更普遍的问题本身也不太可能是省油的灯。但是，解决难题往往需要灵感，而不同的问题（哪怕是等价的问题）所能激发的灵感是不同的，因此研究那样的问题有时能起到意想不到的作用。第二类则是研究与原问题相类似、但却更简单的问题——这类手段虽不能解决原问题，却有可能带给我们启示。更重要的是，在原问题实在太艰深时，这类手段往往比其他手段更具可行性。
就目前我们对黎曼猜想的了解而言，它看来是属于那种“原问题实在太艰深”的情形，因此我们要介绍的间接手段是“往往比其他手段更具可行性”的第二类间接手段。这类手段在科学研究中有着广泛的应用。比如物理学家们遇到很困难的三维空间中的问题时，往往转而研究二维、一维，甚至零维空间中与原问题相类似的问题。又比如生物学家们从事一些不宜在人体上作尝试的研究时，往往转而用动物作为研究对象。最近比较热门的用凝聚态体系模拟基础问题的做法，也是第二类间接手段的例子。这方面的一个例子，是利用石墨烯（graphene）中的电子运动与相对论量子力学中无质量粒子运动的类似性，来研究后者。此外，2009年受到过一些媒体关注的用特定流体中的声子运动来模拟黑洞附近的光子行为的所谓“声学黑洞”（sonic blackhole）研究也是一个例子。这类手段通俗地讲，其实就是研究“山寨版”的问题。只不过与经济领域中的“山寨版”产品被四处喊打不同，科学领域中的“山寨版”问题不仅不违规，对它们的研究还广受鼓励。有时候，在“山寨版”问题上的突破，甚至能成为重大的科学成就，并获得重大的科学奖项。黎曼猜想就是一个很好的例子，它的艰深与重要，使得“山寨版”的黎曼猜想也“鸡犬升天”，变成了非同小可的问题，研究或解决它的数学家甚至可以获得数学界的最高奖，堪称是史上最牛的“山寨版”。需要补充说明的是，“山寨版”黎曼猜想的重要性并不仅仅来自“正版”黎曼猜想的艰深与重要，它本身以及它与其他数学领域的关联也有着不容忽视的重要性。
为了介绍这种史上最牛的“山寨版”，让我们把时光暂时拉回到1940年。
1940年4月，著名的法国几何学家埃里·嘉当（lie Cartan，1869—1951）收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法国海滨城市鲁昂（Rouen）的一座军事监狱。
一位著名数学家居然收到一封来自监狱的信件，那会是什么样的信件呢？照常理来说，最大的可能性是某位民间“科学家”（简称民科）的杰作，对于法国数学家，情况尤其如此。因为在这方面，法国科学院（French Academy of Sciences）可谓是开了风气之先——自从一个多世纪前它为费马大定理悬赏以来，民科信件便如雪片般地飞向了法国数学家的手里。那热情，就连一百多年的时光也不足以使之熄灭。自那以后，知名法国数学家收到民科来信就不再是新鲜事了。不过嘉当收到的这封信件却有些不同，它的寄信人地址虽然很“民间”，笔迹却颇为熟悉，因为那笔迹属于一位真正的数学家。那数学家不仅嘉当认识，更是他那数学家儿子昂利·嘉当（Henri Cartan，1904—2008）的好朋友。那位数学家叫做韦伊（André Weil，1906—1998），他一生的许多重要工作虽然还有待于此刻拿在嘉当手里的这封监狱来信来揭开序幕，但当时的他就已在代数、分析、数论等诸多领域中享有了一定的声誉。五年前，他还与几位志同道合的年轻数学家（其中包括昂利·嘉当）一同，创立了一个后来大名鼎鼎的数学学派——布尔巴基学派。
嘉当对笔迹的细心留意使那封监狱来信免遭了被弃之垃圾桶的命运，也为我们的黎曼猜想之旅增添了一段新的故事。
……
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真的非常喜欢这个系列，感觉确实好看。记得2010年春节我一口气把此系列当时有的都看完，绝对是那个春节zui美好的回忆！
——sfman
极好的数学科普文章！热烈鼓掌！
——来自134.94的游客
黎曼猜想漫谈系列是昌海兄zui值得出版的系列文章之一。
——星空浩淼
這一系列的文章實在精彩，看得非常過癮
——来自140.109的游客
很喜欢昌海兄的写作态度和行文风格，有量更有质。看这个黎曼猜想的系列也很久了，真是对数学中的东西开了眼界，呵呵。
——woodswan
这一系列真的写的很不错。出版了一定要收藏一本。
——胡一指
向卢老师致以zui诚挚的谢意——黎曼猜想漫谈是我数学博士期间读过的zui难忘的数学书。
——来自218.75的游客
一个字：好！
两个字：很好！
三个字：非常好！
——dfj
很精彩，读者可以了解历史上科学家们的不懈探索和惊人才智。感谢作者源源不断地提供通俗易懂的高质量科普。
——来自216.165的游客
作为一名在校计算机专业学生，很少能这么专心的读下去。感谢博主的文章，把数学的美丽展现给我这样的平常人。谢谢！
——来自61.135的游客
不知该鼓掌还是该流泪，只觉得就这么结束了……怅然若失啊！
——往事如昨