前言第1章 张量分析及其物理意义1.1 概念与背景1.1.1 动机与背景介绍1.1.2 Descartes张量1.1.3 k重线性函数方式的张量等价定义1.1.4 物理中二阶张量的例子1.1.5 张量不变量与定律的协变性1.2 基本性质1.2.1 张量代数运算1.2.2 对称与反对称张量1.2.3 反对称张量的外积运算1.2.4 张量的判别准则1.2.5 各向同性张量1.2.6 二阶张量特性1.3 张量场及其微分运算1.3.1 张量场1.3.2 张量场的不变函数与偏微分方程协变性1.3.3 微分形式与反对称张量场1.3.4 梯度算子及物理作用1.3.5 散度及其物理意义1.3.6 向量场旋度与Stokes公式1.3.7 电磁场的Maxwell方程1.4 张量分析在流体动力学中应用1.4.1 形变速度张量1.4.2 流体运动方程1.4.3 本构方程1.4.4 Navier-Stokes方程1.5 变换群表示下的张量1.5.1 变换群观念的张量1.5.2 群表示张量的不变量1.5.3 反演变换及赝张量1.5.4 SO(3)群的双值表示及旋量1.5.5 旋量的物理解说1.5.6 旋量Bose-Einstein凝聚方程的协变性1.6 评注第2章 弯曲空间的数学理论--Riemann几何2.1 几何与物理关系概论2.1.1 宇宙背景空间与几何学2.1.2 微分流形--弯曲空间的数学抽象2.1.3 物理向量场与切空间2.1.4 定律协变性背景下的流形张量场2.1.5 流形上协变微分与联络2.1.6 张量不变量的物理意义2.2 流形上的向量场2.2.1 向量场流的概念2.2.2 Frobenius定理--向量场编织流形的充要条件2.2.3 带边流形向量场指标与边界环绕数公式2.2.4 切球丛截面特征数2.2.5 余切场及余切球丛上指标理论2.2.6 由球丛截面特征数看指标公式2.2.7 环绕数公式在流体动力学中应用2.3 Riemann几何基础2.3.1 内蕴几何的自然观点2.3.2 Riemann度量产生的初等几何2.3.3 度量空间等距类2.3.4 短程线诱导的协变导数2.3.5 测地坐标系2.3.6 曲率张量2.4 Riemann流形上微分形式2.4.1 流形上微分形式2.4.2 微分形式的积分与stokes公式2.4.3 Allendoerfer-Fenchel微分形式2.4.4 Q0(M)中的内积结构2.4.5 Laplace-Beltrami算子2.4.6 Hodge分解定理2.5 评注第3章 整体微分几何理论3.1 流形共轭结构理论概述3.1.1 共轭元及其指标概念3.1.2 同调群及其几何化定理3.1.3 共轭对称性定理3.1.4 de Rham上同调的几何表示3.1.5 微分形式的谱级数展开3.2 Riemann度量对角化理论3.2.1 度量对角化充要条件3.2.2 对角化度量的联络与曲率张量3.2.3 向量场和余切向量场的△算子3.2.4 WeitzenbSck公式3.2.5 Lipschitz-Killing曲率3.3 2n维带边流形上广义Gauss-Bonnet公式3.3.1 概况性介绍3.3.2 微分形式观念的仿射联络与曲率3.3.3 联络流形上一般标架场的结构方程3.3.4 Riemann流形上正交标架场的结构方程3.3.5 二维Gauss.Bonnet(GB)公式3.3.6 陈省身微分形式3.3.7 广义GB公式3.3.8 各类指标公式的流形可加性与边界性质3.4 评注第4章 物理背景下的几何分析4.1 流形上的分析框架4.1.1 向量丛与截面4.1.2 关于截面的Sobolev空间4.1.3 Sobolev嵌入定理及其实质4.1.4 Rellich-Kondrachov紧嵌入4.2 向量丛上的微分算子4.2.1 基本概念4.2.2 椭圆微分算子4.2.3 截面的梯度与散度4.2.4 向量场的Helmho~z分解4.2.5 内积丛截面的正交分解4.2.6 相对论引力效应的Navier-Stokes算子4.3 Riemann度量泛函变分原理4.3.1 物理背景4.3.2 度量泛函变分学的基本框架4.3.3 零散度变分的标量势定理4.3.4 Einstein-Hilbert泛函4.3.5 度量张量的Einstein场方程4.3.6 对角化度量的变分问题4.3.7 度量能量的Hamilton系统4.4 评注第5章 物理学基本原理5.1 相对性原理5.1.1 Newton绝对时空观念5.1.2 Galileo不变性与Lorentz变换5.1.3 Einstein相对性原理5.1.4 相对论力学5.2 相对论物理学5.2.1 Minkowski四维空间5.2.2 Lorentz张量5.2.3 四维动质能向量以及三角关系式5.2.4 Lorentz电磁场张量与相对论不变量5.2.5 电动力学方程的协变性5.2.6 相对论量子力学方程5.2.7 Lorentz群旋量表示及Dirac方程协变性5.3 Lagrange动力学原理5.3.1 引言5.3.2 相对论力学最小作用原理5.3.3 电动力学的作用量5.3.4 量子物理中的Lagrange密度5.3.5 对称性与守恒量对应的Noether定理5.4 Hamilton动力学原理5.4.1 能量守恒系统的动力学5.4.2 电磁场的能量密度5.4.3 量子Hamilton系统5.4.4 旋量BEC方程5.5 评注第6章 广义相对论与引力场6.1 相对论引力场理论6.1..1 等效原理6.1.2 广义相对性原理6.1.3 Lagrange动力学原理的引力场方程6.1.4 引力场方程非变分原理的推导6.1.5 引力场中的电动力学方程6.1.6 能量动量张量表达公式6.2 考虑暗能量效应的引力场方程6.2.1 宇宙中的暗能量6.2.2 带标量势的引力场方程6.2.3 修正场方程的点源引力场理论6.2.4 球对称场的引力势6.2.5 真空场的Schwarzschild解6.3 广义相对论的验证6.3.1 球对称场中的运动守恒量6.3.2 Schwarzschild场中的运动方程6.3.3 水星近日点进动6.3.4 光线在引力场的偏转6.3.5 光的引力红移6.4 黑洞6.4.1 Schwarzschild半径6.4.2 黑洞形成的物理条件6.4.3 星体的密度极限6.4.4 黑洞的探测6.5 评注第7章 宇宙学7.1 宇宙的构成7.1.1 恒星分布的HR图7.1.2 星团7.1.3 星系与银河系7.1.4 星系团和巨洞7.1.5 暗物质与暗能量7.2 大爆炸理论7.2.1 Hubble定律7.2.2 宇宙的膨胀7.2.3 宇宙起源的大爆炸7.2.4 微波背景辐射7.2.5 氦元素的丰度7.3 宇宙的演化7.3.1 宇宙学原理7.3.2 Newton引力的宇宙动力学7.3.3 Friedmann模型7.3.4 Lemaitre的A方程7.3.5 带标量势的宇宙学理论7.4 暗物质暗能量的统一理论7.4.1 框架性介绍7.4.2 球对称引力场方程7.4.3 相容性问题7.4.4 标量势能与引力相互作用公式7.4.5 简化的引力公式7.4.6 非均匀性的效应7.4.7 暗物质与暗能量机理7.4.8 总结性结论7.5 评注参考文献
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