罗素悖论：在早期集合论中，任何可以想到的性质都被视为可用来定义集合。但是伯特兰·罗素1901年发现，从此类明显可以接受的集合表示中可能会得到一个悖论。罗素首先观察到，如果由元素的性质来定义集合，则某些集合可能会成为它们自身的元素，而其他一些集合则不能。例如，所有大象的集合本身不是一头大象，因而不是它自身的一个元素，但是所有抽象概念的集合必然把自身当作一个元素，因为一个集合就是一个抽象概念。因此，性质“是自身的一个元素”和“不是自身的一个元素”也应当是集合的定义性质。如此一来，我们可以把集合U定义为那些不是自身元素的所有集合的集合，即U={x|x（）x）。我们也许会问：U是不是它自身的一个元素呢？有两种回答：（1）如果U不是它自身的一个元素，那么它就满足定义性质，因而必然是U即它自身）的一个元素；或（2）如果U是它自身的一个元素，那么它就不满足定义性质，因而不是U（即它自身）的一个元素。由于U是又不是U的一个元素，结果形成一个逻辑悖论。从这个悖论可以得出一个明显的结论，即这样的集合U不存在。但是康托尔的集合论并不排除这种可能的定义性质。因而罗素悖论（Russell’s Paradox）的发现具有重要意义（迄今已有多种不同的表述方式，但在本质上是等价的）。但更加重要的是，逻辑学家和数学家一直尝试证明，集合论可能会成为全部数学的基础。在集合论的根基中出现一个悖论，让许多人对长期使用的、熟悉的数学概念产生了怀疑，但数学研究与往常一样继续在进行，并没有受到这种基础性危机的阻碍。为了避开、解决罗素悖论或使其无害化，学术界已经提出了多种原创性的解决方案，方案之一就是由罗素首次提出的类型论（type theory），并已广泛应用于自然语言（例如蒙太古语法（Montague Grammar）；参阅本书第四部分）以及程序语言及其语义研究中，但本书不讨论类型论的基本原理或有关集8合论悖论的任何其他解决方案（参阅第八章第2节的集合论公理化）。递归规则：仅采用列举法表示的有限集不会导致此类悖论，因而没有必要修改。对无限集而言，既能够避免出现此类悖论，又能够定义与普通数学相关的大多数集合的最简便方式，是提出一套规则，并利用这些有限的规则“递归地”（recursively）生成元素。
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