超限公理还使形式系统的相容性证明得到实质性缩减。为要证明形式系统无矛盾，只要证明在该系统中不可能导出公式0≠0即可。对此，希尔伯特方法的基本思想是：只使用普遍承认的有限性的证明方法，不能使用有争议的原则诸如超限归纳、选择公理等等，不能涉及公式的无限多个结构性质或无限多个公式操作。希尔伯特这种所谓的有限方法亦由超限公理加以保障：借助超限公理，可将形式系统的一切超限工具（包括全称量词、存在量词以及选择公理等）都归约为一个超限函子，然后系统地消去包含丁的所有环节，就不难回到有限观点。希尔伯特的形式化观点是在同以L·布劳威尔（Brouwer）为代表的直觉主义针锋相对的争论中发展的。对直觉主义者来说，数学中重要的是真实性而不是相容性。他们认为“一般人所接受的数学远远超出了可以判断其真实意义的范围”，因而主张通过放弃一切真实性受到怀疑的概念和方法（包括无理数、超限数、排中律等）来摆脱数学的基础危机。希尔伯特坚决反对这种“残缺不全”的数学。他说：“禁止数学家使用排中律就等于禁止天文学家使用望远镜和禁止拳击家使用拳头。”与直觉主义为了保全真实性而牺牲部分数学财富的做法相反，希尔伯特则通过完全抽掉对象的真实意义进而建立形式系统的相容性来挽救古典数学的整个体系。希尔伯特对自己的纲领抱着十分乐观的态度，希望“一劳永逸地解决数学基础问题”。然而，1931年奥地利数学家K·哥德尔（Gtidel）证明了：任何一个足以包含实数算术的形式系统，必定存在一个不可判定的命题S（即S与～S皆成立）。这使形式主义的计划受到挫折。一些数学家试图通过放宽对形式化的要求来确立形式系统的相容性，例如1936年，希尔伯特的学生G·根岑（Gentzen）在允许使用超限归纳法的情况下证明了算术公理的相容性。但希尔伯特原先的目标依然未能实现。尽管如此，恰如哥德尔所说：希尔伯特的形式主义计划仍不失其重要性，它促进了20世纪数学基础研究的深化。特别是，希尔伯特通过形式化第一次使数学证明本身成为数学研究的对象。证明论已发展成表征着数理逻辑新面貌的富有成果的研究领域。希尔伯特的形式主义观点，在他分别与其逻辑助手w·阿克曼（Ackermann）和P·贝尔奈斯（Belnays）合作的两部专著《数理逻辑基础》（GzndziZgederTheoretischenLogik，1928）和《数学基础》（GrundlagenderMathematik，1934，1939）中得到了系统的陈述。数学问题C·卡拉西奥多里（Garatheodory）曾引用过他直接听到的一位当代大数学家对希尔伯特说过的话：“你使得我们所有的人，都仅仅在思考你想让我们思考的问题”，这里指的是希尔伯特1900年在巴黎国际数学家大会上的著名讲演《数学问题》（MathematischeProbleme）。这篇讲演也许比希尔伯特任何单项的成果都更加激起了普遍而热烈的关注。希尔伯特在其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟见解，而整个讲演的核心部分则是他根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题，数学史上亦称之为“希尔伯特问题”。这些问题涉及现代数学的大部分领域，它们的解决，对20世纪数学产生了持久的影响。1．连续统假设。1963年，P·科恩（Cohen）在下述意义下证明了第一问题不可解：即连续统假设的真伪不可能在策梅罗（ZetTile-lo）一弗伦克尔（fracnkel）公理系统内判明。2．算术公理的相容性。1931年哥德尔“不完备定理”指出了用元数学证明算术公理相容性之不可行。算术相容性问题至今尚未解决。3．两等底等高的四面体体积之相等。这一问题1900年即由希尔伯特的学生M·德恩（De-hn）给出肯定解答，是希尔伯特诸问题最早获得解决者。4．直线作为两点间最短距离问题。在构造各种特殊度量几何方面已有许多进展，但问题过于一般，未完全解决。
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——李文林
数学家的数学思想是全社会的财富。数学的传播与普及，除了具体数学知识的传播与普及，更实质性的是数学思想的传播与普及。在科学技术