G．H.Hardy（1877-1947）享有世界声誉的数学大师，英国分析学派的创始人之一。数学贡献涉及解析数论、调和分析、函数论等方面。曾指导包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚在内的众多数学大家。
　　J．ElLittlewood（1885-1977）著名英国数学家。任剑桥大学教授多年，他也是英国分析学派的重要建立者，与G．H．Hardy长期合作取得了丰硕的成果。在数论和分析学等方面贡献很大。
　　G.Pólya（1887一1985）著名数学家和数学教育家。美国国家科学院院士，美国艺术和科学学院院士。长期担任斯坦福大学教授、。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。他撰写的《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想，》等阐述解题方法的著作有世界性影响。
　　译者简介
　　越民义1921年6月生，贵州省贵阳人。1945年毕业于浙江大学数学系。早年曾在浙江大学数学系、贵州大学数理系任教。1951—1990年，在中国科学院数学研究所、应用数学研究所做研究工作。研究员曾担任《中国大百科全书》数学卷运筹学分卷主编，《应用数学学报》副主编（1978一1985）、主编（1985—1995），以及《运筹学学报》主编（1982年至今）。著作有《组合优化导论》（浙江科学技术出版社，2001）等。

　　《不等式(第2版)》是由Hardy、Littlewood和Pólya合著的一部经典之作。作者详尽地讨论了分析中常用的一些不等式，涉及初等平均值、任意函数的平均值和凸函数理论、微积分的各种应用、无穷级数、积分、变分法的一些应用、关于双线性形式和多线性形式的一些定理、Hilbert不等式及其推广等内容。《不等式(第2版)》适合于高等院校数学专业高年级本科生和研究生，以及对数学感兴趣的研究人员阅读参考。

　　“20世纪数学经典著作之一……它透彻地介绍了数学分析中的所有标准不等式，并给出了详尽的证明。”
　　——NewTechnicalBooks

　　第1章　导论
　　1.8　主题的选择
　　我们选择主题的指导原则可以概括如下。
　　（i）本书的第一部分（第2章至第6章）系统地讨论了一个确定的主题。我们的目的一直是要详尽地讨论一些分析中“日常用到的”简单小等式（包括与它们类似的不等式和推广），其中有3个是基本的，即
　　（1）算术平均和几何平均的定理（定理9）；
　　（2）Htflder不等式（定理11）；
　　（3）Minkowski不等式（定理24）。
　　因此前面6章主要讲述这3个定理。我们从多种途径来证明它们。第2章处理有限的情形，第5章处理无限的情形，第6章处理积分的情形，而第3章（它包含凸函数论的一个普遍介绍）则主要是它们的推广。在这6章中，最重要的是第2，3，6这3章，我们试图作一个全面的而在某些方面又是详尽彻底的讨论。
　　（ii）本书的其余部分（第7章至第10章）是在另外一种指导精神下写成的，因而必须以另外一种标准来衡量。这几章包含一系列的论述，它们建立在前面各章更系统的研究的基础之上。我们并没有试图把它们做到严整和完善。仅仅是把它们作为某些现代研究领域的一个导引，所选择的主题主要取决于我们个人的兴趣。
　　尽管如此（或者说因此之故），这几章还是有一定的统一性的。在实变或复变函数论中，在FOUIier级数论中，或是在正交展开的一般理论中，都存在着大量的现代内容，其中“LebesgueLk类”占据着中心地位。这类工作要求相当熟练的不等式的技巧，还会到处用到Holder不等式和Minkowski不等式以及其他具有同样一般性质的比较现代和比较巧妙的不等式。目的就是要为这一门分析写这样的一个导引，使得它可以被认为是前面各章主要内容的一个自然的延续和发展。
　　我们的兴趣主要是在实分析的某些方面，而不是在算术或代数本身。代数和分析之间的界线常常难以划分清楚，尤其是在二次型和双一次型的理论中是如此，因此在取舍之间我们常常很犹豫。但我们总是把那些在我们看来其主要兴趣是在代数方面的那些材料全都舍弃掉。

第1章　导论　1
1.1　有限的、无限的、积分的不等式　1
1.2　记号　2
1.3　正不等式　2
1.4　齐次不等式　3
1.5　代数不等式的公理基础　4
1.6　可比较的函数　5
1.7　证明的选择　5
1.8　主题的选择　7

第2章　初等平均值　9
2.1　常用平均　9
2.2　加权平均　10
2.3　Mr(a)的极限情形　11
2.4　Cauchy不等式　12
2.5　算术平均定理和几何平均定理　13
2.6　平均值定理的其他证明　15
2.7　Hlder不等式及其推广　17
2.8　Hlder不等式及其推广(续)　19
2.9　平均值Mr(a)的一般性质　21
2.10　和数Sr(a)　23
2.11　Minkowski不等式　24
2.12　Minkowski不等式的伴随不等式　26
2.13　诸基本不等式的解说和应用　27
2.14　诸基本不等式的归纳证明　31
2.15　与定理37有关的初等不等式　32
2.16　定理3的初等证明　35
2.17　Tchebychef不等式　35
2.18　Muirhead定理　37
2.19　Muirhead定理的证明　38
2.20　两个备择定理　40
2.21　关于对称平均的其他定理　41
2.22　n个正数的初等对称函数　42
2.23　关于定型的一点说明　45
2.24　关于严格正型的一个定理　47
2.25　各种定理及特例　50

第3章　关于任意函数的平均，凸函数论　55
3.1　定义　55
3.2　等价平均　56
3.3　平均Mr的特征性质　57
3.4　可比较性　59
3.5　凸函数　59
3.6　连续凸函数　60
3.7　关于凸函数的另一个定义　62
3.8　诸基本不等式中的等号　63
3.9　定理85的改述和推广　64
3.10　二阶可微的凸函数　65
3.11　二阶可微的凸函数的性质的应用　66
3.12　多元凸函数　67
3.13　Hlder不等式的推广　69
3.14　关于单调函数的一些定理　70
3.15　关于任意函数的和数：Jensen不等式的推广　71
3.16　Minkowski不等式的推广　72
3.17　集合的比较　75
3.18　凸函数的一般性质　77
3.19　连续凸函数的其他性质　79
3.20　不连续的凸函数　81
3.21　各种定理及特例　82

第4章　微积分学的若干应用　87
4.1　导引　87
4.2　中值定理的应用　87
4.3　初等微分学的进一步应用　88
4.4　一元函数的极大和极小　91
4.5　Taylor级数的使用　91
4.6　多元函数的极大极小理论的应用　92
4.7　级数与积分的比较　94
4.8　W.H.Young的一个不等式　95

第5章　无穷级数　98
5.1　导引　98
5.2　平均值Mr　99
5.3　定理3和定理9的推广　101
5.4　H?lder不等式及其推广　102
5.5　平均值Mr(续)　104
5.6　和数Sr　104
5.7　Minkowski不等式　105
5.8　Tchebychef不等式　106
5.9　小结　106
5.10　各种定理及特例　106

第6章　积分　109
6.1　关于Lebesgue积分的一些初步说明　109
6.2　关于零集和零函数的说明　110
6.3　有关积分的进一步说明　111
6.4　关于证法的说明　113
6.5　关于方法的进一步说明：Schwarz不等式　114
6.6　当r≠0时平均值Mr(f)的定义　115
6.7　函数的几何平均　117
6.8　几何平均的其他性质　119
6.9　关于积分的Hlder不等式　120
6.10　平均Mr(f)的一般性质　123
6.11　平均Mr(f)的一般性质(续)　125
6.12l　nMrr的凸性　126
6.13　关于积分的Minkowski不等式　126
6.14　关于任意函数的平均值　131
6.15　Stieltjes积分的定义　133
6.16　Stieltjes积分的特别情形　134
6.17　前面一些定理的推广　135
6.18　平均Mr(f;Ф)　136
6.19　分布函数　137
6.20　平均值的特征化　138
6.21　关于特征性质的说明　139
6.22　完成定理215的证明　140
6.23　各种定理及特例　142

第7章　变分法的一些应用　151
7.1　一些一般性的说明　151
7.2　本章的目的　152
7.3　对应于不可达到的极值的不等式的例子　153
7.4　定理254的第一个证明　154
7.5　定理254的第二个证明　156
7.6　用来阐明变分法的其他例子　159
7.7　进一步的例子：Wirtinger不等式　161
7.8　包含二阶导数的一个例子　164
7.9　一个较简单的定理　169
7.10　各种定理及特例　169

第8章　关于双线性形式和多线性形式的一些定理　172
8.1　导引　172
8.2　带有正变量和正系数的多线性形式的不等式　172
8.3　W.H.Young的一个定理　174
8.4　推广和类似情形　176
8.5　在Fourier级数中的应用　178
8.6　关于正的多线性形式的凸性定理　179
8.7　一般的双线性形式　180
8.8　有界双线性形式的定义　182
8.9　［p，q］中有界形式的一些性质　183
8.10　［p，p′］中两种形式的卷积　184
8.11　关于［2，2］中诸形式的一些特有定理　186
8.12　在Hilbert形式中的应用　187
8.13　关于带有复变量和系数的双线性形式的凸性定理　188
8.14　最大组(x，y)的进一步的性质　190
8.15　定理295的证明　191
8.16　M.Riesz定理的应用　193
8.17　在Fourier级数上的应用　194
8.18　各种定理及特例　195

第9章　Hilbert不等式及其类似情形和推广　200
9.1　Hilbert二重级数定理　200
9.2　一类广泛的双线性形式　201
9.3　关于积分的相应定理　203
9.4　定理318和定理319的推广　204
9.5　最佳常数：定理317的证明　205
9.6　关于Hilbert定理的进一步论述　207
9.7　Hilbert定理的应用　209
9.8　Hardy不等式　212
9.9　进一步的积分不等式　215
9.10　关于级数的进一步定理　218
9.11　从关于积分的定理推出关于级数的定理　219
9.12　Carleman不等式　220
9.13　当0＜p＜1时的定理　222
9.14　带有两个参数p和q的一个定理　224
9.15　各种定理及特例　225

第10章　重新排列　231
10.1　有限变量集的重新排列　231
10.2　有关两个集的重新排列的一个定理　232
10.3　定理368的第二个证明　233
10.4　定理368的改述　234
10.5　有关三个集的重新排列定理　235
10.6　将定理373化为一种特殊情形　236
10.7　证明的完成　238
10.8　定理371的另一种证明　240
10.9　任意多个集的重新排列　242
10.10　关于任意多个集的重新排列的另一个定理　243
10.11　应用　245
10.12　函数的重新排列　245
10.13　关于两个函数的重新排列　247
10.14　关于三个函数的重新排列　247
10.15　完成定理379的证明　249
10.16　定理379的另一个证明　252
10.17　应用　255
10.18　关于将函数按降序重新排列的另外一个定理　258
10.19　定理384的证明　 259
10.20　各种定理及特例　 262

附录A　关于严格正型　267
附录B　Thorin关于定理295的证明及推广　270
附录C　关于Hilbert不等式　272
参考文献　274