阿米尔·艾克塞尔，博士，在加利福尼亚大学柏克莱分校同时获得数学硕士和科学学士学位。他现在是麻省沃尔特·班特列学院的统计学副教授。他已为《美国经济》，《统计计算杂志》以及《预测杂志》等刊物写了很多科普文章。他也是《上帝的方程：爱因斯坦，相对论和膨胀的宇宙》等若干本书的作者。

　　19世纪末，一位杰出的数学家在一所精神病院里身心逐渐衰弱而死去。他一系列先进观点造成的最伟大的成就，是他对无穷的特性的超前理解。这就是乔治·康托(Georg  Cantor)的故事：他如何得到他的理论，他的改变了世界面貌的研究成果对后代产生了怎样深远的影响。
　　康托充满智慧的、深奥哲学观点的研究工作，有古希腊数学和在喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派里的源头。康托用阿列夫aleph——希姆莱字母表中的、伴有非同寻常联想的第一个字母——这个神秘数字来表示所有正整数的集合。它不是最大的数，因为——不存在最大的数，但它是一个总能趋近的终极数：恰如数字1之前不存在最后的分数。

　　2　古代起源
　　在公元前5世纪和6世纪间，古希腊人发现了无穷（或无限）。这个概念对人类直觉而言是如此矛盾、怪异，甚至是对它们的颠覆，以致使古代哲学家和发现它的数学家深感困惑，引起了无限痛苦、精神错乱，至少有一个人因此而死。这个发现引起的结果对以后2 500年的科学、数学、哲学和宗教有着深刻影响。
　　有证据表明古希腊人已接近无穷概念，这就是那时经常出现的伊利亚（Elea）哲学家芝诺（前495-前435）提出的悖论。这些悖论中最著名的是芝诺描述的古代跑得最快者阿其里（Achilles）与一只乌龟之间的赛跑。由于乌龟跑得非常慢，所以开始时是让它在前面。芝诺推理说阿其里在乌龟后面某一处时开始起跑，这时乌龟应在前面有一段距离。然后经过一段时间阿其里到达乌龟开始起跑处，而乌龟也已经进一步向前跑了一小段距离。这样的论断按此方式可继续无穷地进行下去。因而，芝诺得出结论，跑得最快的阿其里绝不能赶上跑得非常慢的乌龟。芝诺由此悖论推断出，在空间和时间可被无穷细分的假设下，运动是不可能的。
　　另一个芝诺的悖论是两分法，说的是你绝不能离开你在其中的房间。首先你走到你与房门间距离的一半处，然后是剩下距离的一半处，那么仍然剩下从你所在处到房门间的距离的一半，如此等等。甚至进行无穷多次——每次是前一次尺寸的一半——你也绝不能到达并通过房门!这个悖论的背后藏着一个重要的概念：甚至进行无穷多次有时仍能留下一个较完整的有限距离。但是，如果每一次你取得的量值是前一次尺寸的一半，那么虽然你进行无穷多次，你走过的距离的量值是最初的距离的两倍。

1　德国工业城市哈雷
2　古代起源
3　喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派
4　伽利略和波尔查诺
5　柏林
6　化圆为方
7　学生
8　集合论的诞生
9　第一个圆圈
10　“我看着它，但我不相信它”
11　粗暴的攻击
12　超限数
13　连续统假设
14　莎士比亚和精神病
15　选择公理
16　罗素悖论
17　少年哥德尔
18　维也纳的咖啡馆
19　1937年6月14—15日之夜
20　莱布尼茨，相对论和美国宪法
21　科恩的证明和集合论的未来
22　上帝无限光亮的外袍
附录
后记
注释