一 数
1.1 自然数的难题
在数学中，再也没有比自然数（也就是正整数）更自然、更原始的对象了。可以说，数学中的一切都是从这里开始的。不知多么久远之前，人们已经知道自然数1，2，…，可是，只有到很晚的时候人们才知道零、负数、有理数、无理数、实数、复数、代数数、超越数乃至四元数、八元数以及各种结构（例如有限域）的元素。这些对象早的也就两千五百多年，晚的不过百年，其中对许多对象我们都已经有了丰富的知识。但是，这些看来十分简单的数仍有大量的问题尚未解决，而在这些尚未解决的问题当中，没有想到的是大多数问题出现在我们再熟悉不过的自然数序列之中。
中国人熟知的哥德巴赫猜想就是其中的一个，但除此以外，还有成千上百个难题同它一样，让许多人费力费时而得不到证明或反证，其中有一些问题小学生都能懂，却难倒所有的大数学家。这反映出数学能从十分简单的对象中得出复杂而难证的定理。
1.1.1 3n+1问题
对许多提法简单的数学问题的理解也必须有点数学基础知识，例如什么是素数。可是对3n+1问题，则什么基础知识都不需要，小学生都能懂，而且小学生还把它作为算术的练习来玩。
3n+1问题：不管从什么正整数n出发，我们进行如下的一系列运算，最终在有限步内达到1。
这里的运算很简单，你碰到的数无非是两类：奇数和偶数。碰到n是奇数时，你就求3n+1；而当n是偶数时，你就把它除以2，当然得数仍是整数。不管是奇数还是偶数，都照这个办法做下去。3n+1问题就是你最终总可以到达1，虽然1可以变成3×1+1=4，接着4变成2，2又变成1。后面这个循环可以无休止进行下去，但是这就没意思了。因此，我们第一次变到1，就不再继续算下去了。
最早谁发现这个猜想似乎已经不可考证，但传说是从20世纪30年代“世界数学中心”、德国小城哥廷根来的，因此西方文献中也有用当时在哥廷根的两位数学家科拉茨（Lothar Collatz，1910-1990）或哈塞（Hehnut Hasse，1898-1979）命名的，称为科拉茨问题或哈塞问题，也有用原籍波兰、后去美国的数学家乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）命名的。
顺便提一下，乌拉姆是位很有名气的数学家，他首先发展了用掷骰子的办法来进行计算，这一方法非常重要，后来用赌城蒙特卡罗来命名，称为蒙特卡罗方法。除此之外，他还参与美国的原子弹特别是氢弹的设计和制造。
这个问题在20世纪50年代初期，由哈塞传到美国。他到了锡拉丘斯大学，因此这个问题也称为叙拉古问题，这是由于锡拉丘斯的原文Syracuse与阿基米德被罗马士兵杀死的城市——意大利南部的叙拉古的拼写完全一样。
日本数学家角谷静夫（Kakutani Kazio，1911—2004）听到这个问题之后，也曾传播这个问题。他在耶鲁大学和芝加哥大学讲学时，提到这个问题，结果所有数学家都放下手头的工作，一心一意去钻研这个问题，经过一个月毫无成果的工作之后，才不得不罢手。
当代最伟大的数学家之一爱尔特希（Paul Erdos，1913—1996）不无悲观地承认：“当代数学还没有发展到解决这个问题的水平。”
尽管如此，数学家还是不甘心让这么一个简单的问题彻底打垮。他们开始悬赏求解：1970年加拿大几何学家考克斯特（H.S.M，（Coxeter，1907—2003）出奖赏50美元，爱尔特希把奖金提高十倍——500美元，到80年代又有人提高到1000英镑。时至今日，还没人能够领赏。
尽管没人能攻克这个堡垒，但从它引出各种问题对数学发展很有用。它与丢番图逼近、一致分布、遍历理论、可计算理论等密切相关。
眼前无路可回头，是否能够从某一个数找到一个反例?数学家用计算机算了几万亿以上个数，结果无一例外。
1.1.2 表示问题
数的最重要的进步是寻找一种十分方便的表示，也就是进位制和位值制。可是这种表示的深刻之处在于它的简便性、唯一性以及可以任意推广，而这些正足数学重要性的一个方面。
数学的符号把许多啰嗦的话变成简单的缩写，1234读起来是一千二百三十四，用其他语言更是十分繁琐。除此之外，数学的进步永远为推广留下了空间。我们用1，2，3，4，5，6，7，8，9，0可以表示一切自然数，但是仔细写出来，还需要10的各次方幂。
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