第三章微分中值定理与导数应用
一、本章知识概述
一直以来，导数作为函数的变化率，在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义。因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用。但它只是反映函数在一点附近的局部特性，如何利用导数进一步研究函数的性态，使导数用于解决更广泛的问题，就需要本章将要介绍的微分学基本定理——中值定理，它们是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式，它们是由函数的局部性质推断函数整体性质的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系，因而称为中值定理。中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性模型，因而称为微分中值定理。
中值定理不仅可以解决实际问题，而且是微分学自身发展的理论基础。导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”，此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景。例如求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离（即射程），其依赖于炮筒对地面的倾斜角（即发射角）；又如，在天文学中，求行星离开太阳的最远和最近距离等。以微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数研究函数的性态，例如判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大（小）值以及函数作图的方法等，此外还利用此定理为理论基础，给出一种求未定式的方法——洛必达法则。
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