第1章 绪论
1.1 有限元及其应用
在工程技术领域中,对于许多力学问题和场问题,人们已经得到了它们应遵循的基本方程和定解条件,但是能用解析方法求解的只是它们当中极少数,即方程比较简单,且几何形状相当规则、边界约束理想化的问题。而绝大多数工程技术问题往往由于某些特征是非线性的,或由于求解区域的几何形状复杂,则不可能得到解析的答案。这类问题的解决通常采用两种途径,一是引入简化假设,将方程、结构几何形状和边界条件简化,使达到能用解析法求解的地步。例如材料力学、结构力学和应用弹性力学介绍的内容就属于这一类,但是这种方法的应用只是在有限的情况下是可行的,因为过多的简化可能导致很大的误差。另一种途径是采用数值计算方法求得复杂工程实际问题的近似解,特别是近50年来,随着电子计算机的飞速发展和广泛应用,数值分析方法已成为求解科学技术和工程问题的主要工具。
数值分析方法发展至今基本上可以分为两类。一类是以有限差分法为代表,其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解,即首先将求解区域划分为网格,然后在网格的节点上用差分方程近似替代微分方程,进而求得网格节点上的近似解。如果网格节点较多时,近似解的精度可以得到改善。有限差分法能够求解某些相当复杂的问题,特别是流体流动问题,在流体力学领域它至今仍占支配地位。但必须看到有限差分法有很大的局限性,特别是用于几何形状复杂的问题,它的精度将会降低,甚至发生困难。
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