为了预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。
在某种意义上，这不正是我们数学家的专业程序吗?我们习惯于外插法，这是一种从过去和现在推导未来的方法，因为我们充分地了解这相当于什
么，所以关于它给予我们的结果的有效范围，我们不会冒使我们自己受骗的危险。
迄今我们已经有了不幸的预言家。他们轻率地重申，所有能够解答的问题都已经被解决了，除了拾遗之外，没有留下什么事情。幸好，过去的情况
使我们消除了疑虑。人们往往以为，所有问题都被解决了，或者至少已列出了一切容许的解的清单。可是，解这个词的意义扩大了，不可解的问题变得
最使大家感兴趣，未曾料到的其他问题呈现出来。对于希腊人来说，好解就是只使用直尺和圆规的解；后来，它变成用求根法得到的解，接着它又变成
只利用代数函数和对数函数的解。这样一来，悲观主义者发现他们自己总是被挫败，总是被迫退却，因此我现在认为不再有悲观主义者了。
所以，我的意图并不是反对他们，因为他们已经消亡了；我充分了解，数学将继续发展，但是问题在于它如何发展，在什么方向发展?你将回答：
“在各个方向发展”，这部分为真；如果它完全为真，那可有点骇人听闻了。我们的丰富资料不久便会成为拖累，资料的积累也会造成一堆费解的大杂
烩，犹如无知的人面对未知的真理那样莫名其妙。
历史学家、物理学家甚至都必须在事实中做出选择；科学家的头脑只能顾及宇宙之一隅，永远也不能囊括整个宇宙；以致在18然界提供的不可胜数
的事实中，一些将被忽略，另一些则被保留下来。
不用说，在数学中正是这样；几何学家已不再能迅速地把握所有呈现在他面前的杂乱的事实；更有甚者，因为正是他——我几乎要说他的任性——
创造这些事实。他把它的要素收集在一起构造全新的组合；一般说来，自然并没有把预先准备好的组合给予他。
毫无疑义，有时会发生这种情况：数学家着手解决问题是为了满足物理学的需要；物理学家或工程师请求他计算某些应用方面的数值。难道能够说
，我们几何学家应当仅限于听候命令，而不为我们自己的欢娱来培育科学，只是力图使我们自己迁就我们恩主的需求吗?假如数学除了帮助那些研究自
然的人之外没有其他目标，那我们就只好听候命令了。这种看问题的方式合理吗?这绝不合理；如果我们不为科学而培育精密科学，那我们就l~~aq．-I
能创造出数学工具，待到物理学家提出请求的那一天，我们就会无能为力。 物理学家研究一种现象，也不是要等到物质生活的某种急迫需要使它成
为他们必不可少的东西；他们是对的。假使18世纪的科学家因为电在他们的眼中只是好奇的玩意儿而没有实际利益，因此忽略电的研究，那么在20世纪
，我们就既不可能有电报，也不可能有电化学或电技术。所以，不得不进行选择的物理学家并没有仅仅以功利来指导他们的选择。可是，他们怎样在自
然事实之间选择呢?我们在上一章已作了说明：使他们感兴趣的事实是能够导致发现规律的事实，这些事实因而类似于许多其他在我们看来似乎不是孤
立的、而是与另外的东西紧密聚集在一起的事实。孤立的事实吸引着大家的眼睛，吸引着外行人的眼睛和科学家的眼睛。但是，惟有名副其实的物理学
家才知道如何观察，把其类似是深刻的但却是隐蔽的许多事实结合起来的结合物是什么。牛顿(Newton)的苹果故事恐怕不是真实的，而是象征性的；不
过，让我们把它当做真实的谈一谈吧。好啦，我们必须认为，在牛顿之前，好多人都看见过苹果落地；没有一个人知道从中如何得出任何结论。假如没
有能够在事实中选择、分辨在哪些事实背后隐藏某种东西，以及识别什么正在隐藏着的精神，假如没有在未加工的事实下察觉事实精髓的精神，事实也
许是毫无成果的。
我们在数学中正好发现同样的东西。从我们正在处理的各种各样的要素中，我们能够得到无数个不同的组合；但是，这些组合中的一个倘若是孤立
的，则其毫无价值可信。我们常常含辛茹苦地构造它，但是它却没有效用，也许至多不过是为初等教育提供练习而已。当这个组合在一组类似的组合中
找到了位置时，当我们注意到这种类似时，它就完全是另外一个样子了。我们就不再是面对一个事实，而是面对一个定律。在那一天，真正的发现者将
不是耐心地建造某些组合的工匠；真正的发现者将是揭示它们的亲缘关系的人。前者看到的只是未加工的事实，只有后者才能察觉到事实的精髓。往往
为了确定这种亲缘关系，足以使他构思出新名词，这个名词是有创造力的。科学史向我们提供了大量的大家熟知的例子。
著名的维也纳哲学家马赫曾经说过，科学的作用在于产生思维经济，正像机器产生劳力经济一样。这是十分正确的。原始人用他的手指或借助卵石
来计算。在给儿童教乘法表时，我们使他们以后节省了用无数堆卵石进行计算的辛劳。某人已经发现，用卵石或其他东西计算，6乘7等于42，他特意把
这个结果记录下来，因此我们不需要重复它了。他没有白费他的时间，即使他是为消遣而计算的：他的运算只花了两分钟；如果10亿个人在他之后重复
作这个运算，那总共就要花费20亿分钟时间。
于是，事实的重要性用它产生的效益来衡量，也就是说，用它容许我们节省的思维数量来衡量。
在物理学中，具有最大效益的事实是进人十分普遍的定律中的事实，由于这些事实能够使我们根据定律预见大量的其他事实，在数学中情况正是如
此。设想我从事一项复杂的运算，费力地达到了一个结果：如果我由此还不能预见其他类似运算的结果，还不能可靠地指导运算以避免人们在首次尝试
中必须屈从的摸索，那么我就没有补偿我的辛劳。另一方面，如果这些摸索本身最终向我揭示出刚刚处理的问题深刻类似于更为广泛一类的其他问题，
如果它们一举向我表明这些问题的相似和差异，一句话，如果它们使我察觉到概括的可能性，那么我就没有白费我的时问。因此，这不是我已经赢得的
一个新结果，而是一种新的能力。
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