本书从数学内容的思想性角度为高中数学教师和大学师范生以及数学教育研究生的教学与实习提供了建议性意见，书中针对教材内容与课堂教学给出了大量案例分析，同时还以课堂评析、实录等方式提供了作者在中学授课的部分教学案例供一线教师参考。

本书有别于传统的数学教育理论书籍，作者融数十年数学研究与教学经验于数学教育研究中，提出了一些新颖的见解，直接面向一线教学提出具体的教学建议，不失为一本具有重要指导意义的一线教师教学参考书。

本书适合大学师范生作为教法教材或参考书，也可以作为中学一线教师的培训用书或教学指导用书及中学生的参考读物，还可以作为数学教育研究工作者及数学教育研究生的参考书。

第1章问题驱动的数学教学

第1章问题驱动的数学教学

1.1数学教育的本质

1.1.1我们该教什么样的数学

1.1数学教育的本质

第二次世界大战结束后，国际上较早进行中小学数学教育改革的国家之一是美国。众所周知，自20世纪50年代以来，美国进行了4次大的数学教育改革［1］，分别是： 

(1) 新数学运动。

(2) 回到基础。

(3) 问题解决。

(4) 课程标准。

每一次改革都有着深刻的社会背景，例如新数学运动源于美苏军备竞赛，苏联人率先将人造地球卫星送上了太空，这让发了第二次世界大战横财的美国人心理很不平衡，他们认为科技实力是决定国家强弱的关键，而科技实力取决于基础教育，于是开始了著名的新数学运动。然而，若干次的数学教育改革，并没有能让美国人满意，他们甚至为他们的孩子在国际数学水平测试中表现欠佳而纠结，也因此对亚洲特别是中国的中小学数学教育产生了兴趣。2009年，中国第一次参加了国际PISA(Programme for International Student Assessment,国际学生评估项目)评估，图1.1是这次评估的数学素养分数对比。它显示了中国学生的数学测试水平远远高于国际平均水平，美国学生则低于国际平均水平［2］。

图1.1

到底是什么导致了中美学生数学测试之间的这种差异？美国中小学的数学教育真的不如中国吗？有一个很有趣的现象，中国学生在各种国际竞赛中成绩斐然，可中国的科技水平却依然与人家有着比较大的差距。北京大学郑也夫先生2013年9月在广州教育大讲坛上发表演讲，他认为在中国受过12年中小学教育的人即使进入哈佛耶鲁等世界名校也不会获诺贝尔奖，因为12年的中小学教育把人修理得已没有了想象力和创造力，只是一个考试机器。那么，美国的情况如何？在考试中觉得颜面无存的美国基础教育培养了多少个诺贝尔奖得主？成立于1938年的美国纽约市The Bronx High School of Science自1972年以来共出了8位诺贝尔奖得主(7位物理奖得主，1位化学奖得主），6个毕业生获普利策奖［3］，这不能不发人深省。美国人在教育问题上纠结，中国人也在教育问题上纠结，中国人纠结的是迄今为止，除屠呦呦外，中国大陆尚没有其他人获得自然科学领域的诺贝尔奖等国际性的大奖。科技实力取决于基础教育的观点为大家所公认，如果说中国的基础教育是世界一流的，为什么一流的教育却造就不出一流的人才？有人甚至认为： “中国的本科教育是世界一流的。”根据科技部统计，2017年中国科技研发能力名列世界第17位，尚没有进入世界科技研发能力第一方阵。如果我们的中小学乃至大学本科教育是世界一流的，我们也认同科技实力取决于基础教育，那么，我们的科技水平落后于一些发达国家又作何解释？逻辑上是说不通的。美国中小学数学教育与中国中小学数学教育孰优孰劣？可能存在一个比较的标准问题，国际数学能力测试能不能说明问题？在多大程度上说明问题？说明了什么问题？我们需要什么样的数学水平？如果这些问题不搞清楚，所谓的孰优孰劣是毫无意义的。日本与中国同处于亚洲，日本学生的数学水平(按照国际数学能力测试衡量)是不弱的，但与中国不同的是，日本的科技实力同样不弱，不仅日本的科技产品遍布世界各地，而且诺贝尔奖与菲尔兹奖对于他们也不新鲜。为什么两个同处亚洲、学生能力测试水平都不弱的国家科技实力却相差很大？这同样是个值得深思的问题。美国学生数学测试水平不如中国学生的内在根源是什么？中美之间中小学数学教育的差别在哪里？我们认为主要体现在这样几个方面： 

1. 教育理念不同

《数学教育概论》［4］中将数学的功能分成了几类，从教育的角度看，数学的功能也许分为如下三类更合适： 

(1) 思维能力的培养。

(2) 应用能力(包括计算)的培养。

(3) 审美能力的培养。

历史上，西方将数学归类在哲学范畴，中国则将数学归类为技术范畴，分类的不同体现了数学认识上的差别，也决定了教育方式上的差别。美国中小学教育比较注重学生个性的张扬与兴趣的培养，喜欢就学，不喜欢可以不学，不会因为学不好而为未来的生存担忧，他们的数学教育对技巧与细节也许不那么关心。同时，美国也给热爱学习的学生提供了最优质的教育。中国的教育则过于注重技巧与细节，而对于知识的趣味性及内涵的思想则不那么关心，中国参加数学竞赛中的佼佼者最后有很多厌恶了数学甚至放弃了数学。

2. 文化背景不同

中国无论是文还是武都讲究循规蹈矩，练字需要首先学会临摹，练武需要首先学会一招一式，把式有一点点不标准也不行，必会被师父脚踹或棍棒相加。模仿是中国从古到今的学习范式，最终能够不拘泥于一招一式，自创招式甚至无招胜有招者大多成为大师，但这样的人凤毛麟角。西方更注重个性的张扬，不拘泥于小节与一招一式。一位留洋的博士写过一篇文章，讲到他的孩子在美国学习绘画与在中国学习绘画的经历。在美国，教师通常不给参照物，要求学生凭想象画出某个东西，例如，教师可能要学生画太阳，但并不事先在黑板上画好一个太阳让学生模仿，学生画好后的第一个问题通常是： “老师，我画得对不对？”中国则不然，通常是教师在黑板上挂一幅太阳的图画，或者在黑板上先画好一个太阳，然后要学生照着画，学生画好后的第一个问题通常是： “老师，我画得像不像？”这个简单的例子反映了不同的文化背景与教育方式。

3. 社会背景不同

美国的贫富差距比较悬殊，但城乡差别不是很大，乡下人不一定喜欢往城里拥，学生的升学压力也不大。中国也存在贫富差别，距离共同富裕还有很长的路程要走，城乡差别、大城市与小城镇差别巨大，社会产业结构、分配结构不尽合理，学生升学压力巨大。这些差别决定了美国的教师们可以在教育中更重视激发学生的学习动机，而在中国无论是教师还是学生、家长则时刻不敢懈怠。因为在中国的实际情况是： 对教师而言，能让学生考个好成绩的教育就是好教育，对学生而言，能让自己改变命运的教育就是好教育。

美国的中小学数学教育是否成功不好评说，但美国人纠结于自己的学生在国际数学水平测试中表现不佳似乎显得有点妄自菲薄，因为数学能力的检验远远不是一张考卷可以完成的。说到底，评判教育成败的标准不是学生应试成绩如何，反映一个国家、一个学校教育水准的终极标准是毕业生的社会认同度，而这个度既无法准确量化，也无法立竿见影。国民素质的整体提升，科技实力的日益强大，百姓生活的健康安宁，幸福指数的不断提高才是基础教育成功的根本标志。这就衍生出另一个重要问题： 我们需要教什么样的数学？

我们需要教什么样的数学？简而言之： 教有用的数学！什么是有用的数学？知识本身无所谓有用与无用，学习者会用，知识对于他就是有用的，学习者不会用，知识对于他就是无用的。有人认为，能解决实际问题的数学就是有用的数学，能解决实际问题的数学固然是有用的，但这远远不是有用数学的全部，甚至不是数学最重要的部分。

众所周知，数学是一门思维科学，属于哲学范畴，换句话说，它教给我们的是思考问题、解决问题的方法。大自然的神秘面纱远远没有被人类完全揭开，数学方法无疑是了解大自然必不可少的重要手段，可以说，没有数学，人类将无法真正认识并了解自然。面对神秘莫测的大自然，不仅现有的数学工具是不够的，即使是已有的数学工具，也远远没有弄清楚到底哪个有用，哪个没有用。正由于此，人们并不清楚很多现代数学与自然科学之间到底有没有关系，或者说，如今的数学对于自然科学到底有没有用？

历史上，数学与自然科学殊途同归的例子并不罕见，泛函分析的发展与量子力学的发展就是个典型的例证。柯朗(Courant)与希尔伯特(Hilbert)的书《数学物理方法》［5］最终为物理学家所推崇也充分说明了这一点。出现这种有趣的现象并不奇怪，因为数学与自然科学在方法论上是相通的。由此可见，数学的有用体现在两个方面： 

(1) 科学的思维方法； 

(2) 自然科学与现实生活中的应用。

从某种意义上说，前者更重要，因为科学的思维方法是了解未知的钥匙。

中小学课堂教了多少有用的数学？教材内容增加什么，减少什么也许不是最重要的，重要的是教师在课堂上做了什么。

目前的教材内容虽然发生了很大改变，但大部分课堂教学仍然过于注重数学技巧与细节，对学生的学习造成了极大的负担，却对数学知识中蕴藏的数学思想往往视而不见或忽略不计。这些技巧与细节对于提高学生的应试能力的确发挥了重要作用，问题是，这些技巧有用吗？它对于学生日后的工作与生活很重要吗？如果这些东西对他们日后的工作与生活无足轻重，他们为什么要学习这些东西？因此如何减少学生学习数学的负担，增加学习数学的兴趣，学点真正可以学以致用的东西，这才是当务之急，才是有意义与有价值的！

中小学数学内容大多数都是数百年以前的经典数学，经过了千锤百炼，其在自然科学、现实生活中的作用是毋庸置疑的，但为什么又有“毫无用处”一说？这是因为教师的教学过于关注知识本身或者说过于关注解题的技巧，教了很多百无一用的技巧，学生满腹经纶，却没有将满腹的知识转化成内在的能力，面对工作中出现的各种实际问题依然束手无策，更不用说创新了！所以在改革环节中教师怎么理解教材，如何实施教学的过程才是最关键的。改革的同时需要促进教师观念的改变： 教学不应只是传授知识，更应重视培养学生思维能力及运用能力！数学思维能力及运用能力的培养依赖于学生对数学的兴趣，这种兴趣来自哪里？来自对数学的审美能力。数学的美概括起来大概有这样几个方面： 

(1) 简单性； 

(2) 对称性； 

(3) 奇异性； 

(4) 统一性； 

(5) 抽象性； 

(6) 哲理性； 

(7) 趣味性。

数学之美如同数学思想一样被湮没在书本中，学生从书本上是看不到的，老师的任务就是要挖掘隐藏在书本知识背后的思想与美丽并展现给学生。一个精彩的课堂，其结构、形式以及教师的机智都可以散发出数学美的光芒。生于公元410年的希腊数学家普罗克洛斯(Proclus)对数学有过这样一番富有诗意的评论： 

数学就是这样一种东西： 

她提醒你有无形的灵魂； 

她赋予她所发现的真理以生命； 

她唤起心神,启迪智慧； 

她给我们的内心思想添辉； 

她涤除我们有生以来的蒙昧与无知。

这段话既是对“数学是什么”的回答，也是对“数学有没有用”的回答。

1.1.2数学教育的本质是什么

柯朗认为： “‘数学是什么？’这个问题，不能通过哲学概括、语意学定义或者新闻工作者所特有的迂回说法来做出令人满意的回答。”历史上东西方对数学的认识也有重大差别，中国古代将数学看作一门技艺，在学科分类中将数学归类于技术范畴。西方则将数学看作一种思想，将之归类为哲学范畴。这种对数学的不同认识同时影响了各自的数学教育。数学是什么？在不同时期，人们对这一问题的回答各有不同，对于前辈们而言，“数学是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。”数学始终与物理、天文、化学相伴，有时，人们甚至分不清某个科学家是数学家还是物理学家或天文学家，那时，数学是真正的科学皇后。虽然今天的数学与现实及自然科学似乎渐行渐远，但有两个问题是应该注意的： 

(1) 直到微积分，全部的数学都源于自然科学，都是为了解决现实或自然科学中出现的问题。

(2) 即便是今天的数学，它与自然科学似乎没有直接的关系，人们却惊异地发现，很多现代数学与自然科学殊途同归。

无论人们对数学的认识有多么大的差异，有一点是毋庸置疑的： 

数学因为问题而产生，因为解决问题而发展。

换句话说： 问题是数学的核心！是驱动数学发展的原动力。没有问题，既不可能有自然科学，也不可能有数学。全部数学的历史是不断发现问题与解决问题的历史。

希尔伯特讲过这样一句话： “一门学科如果能不断提出问题，那它就充满活力”［7］。这就给我们提出了一个问题： 数学教育的本质是什么？弗赖登塔尔认为： 数学教育是数学的“再创造”［8］。既然数学教育是数学的再创造，数学教育自然离不开问题。具体地说，所谓数学教育即带领学生重走一遍数学发现之路，在发现的过程中构建数学的知识体系。

1. 什么叫问题驱动？

问题驱动一词源于国家自然科学基金委天元基金的一类项目，这类项目旨在针对自然科学与生产实践中出现的问题开展应用数学研究。课堂教学研究引进这个概念最早出现在一些物理文献中。张奠宙、张荫南的“微积分新视野”［9，10］中也使用了“问题驱动”一词。不过以往关于“问题驱动”的理解与这里的定义有所不同，过去人们对“问题驱动”有一种定义： “问题驱动教学即所谓问题驱动教学方法,是基于建构主义教学理论,教师从学生所拥有的朴素的原始观念出发,设置一系列问题,并对这些问题分析与解决,让学生在思维参与中体验到许多的概念、公式、定理、解决问题的思想方法不是‘天外来客’,让学生在问题驱动下理解知识。”这个定义混淆了问题驱动与问题情境！它实际上指的是为教学而设计的问题链。所谓驱动式问题有两类，一类是促使一个概念、一个原理、一门理论产生的那些原始的问题，哲学上称为“本原性”问题。另一类是在理论发展过程中派生出来的与自然科学没有直接关系的问题，这些问题称为“派生性”问题。以微积分为例，微积分的产生源于4类基本问题： 

(1) 速度问题； 

(2) 光学与曲线的切线问题； 

(3) 面积问题； 

(4) 最大值、最小值问题。

这些都属于本原性问题。如何求函数的导数？如何求函数的积分？如何判断一个函数是可积的？可导性与连续性是什么关系，等等，这类问题就是所谓的“派生性”问题。我们为什么要强调问题驱动？这涉及数学教育的本质是什么，数学教育的本质在于通过数学学习为学生构建数学知识体系，从而使学生具备3个方面的能力： 

(1) 善于用数学的眼光观察问题； 

(2) 善于用数学的头脑思考问题； 

(3) 善于用数学的方法解决问题。

一言以蔽之，即学会数学的发明创造。从这个意义上说，数学基础教育的根本在教师、在课堂。无论用哪种教材，甚至把几十年前的旧教材翻出来，再针对考试大纲补充适当的内容，也许可以取得与现行教材一样的效果。

数学的再创造存在3个方面的难度： 

(1) 并非所有的概念与原理都可以还原它们真实的历史，需要老师通过合情推理，模拟其产生与发展的过程，没有研究经验的积累是做不到的； 

(2)  数学家的认知能力与学生的认知能力是不同的，课堂教学需要将数学家的认知过程转换成学生可以接受的认知过程，同样需要研究经验的积累； 

(3)  如何针对具体内容设置恰当的问题情境引发学生思考？没有相当的数学素养与眼界也是做不到的。

2. 如何实现问题驱动的数学教育？

弗赖登塔尔认为： “数学教育要结合学生的生活现实与数学现实”。

所谓生活现实即学生生活中有过的体验，所谓数学现实即学生已具备的数学知识与素养。从这个意义上说，将驱动教学的问题通过适当的情境展现出来就显得很重要了，这就是问题情境。换句话说，课堂上展现出来的问题未见得是历史上解决这类问题的真实情境，但应该反映问题的本质。例如，我们在介绍导数概念时，不一定创造一个光学情境，毕竟不是每个学生都对光学有直接的体验，完全可以将问题创设在学生生活中司空见惯的情境中。重要的是通过学生熟悉的情境探究清楚问题的本质。教学中应该注意3个方面的问题： 

(1) 有些教材中有不少问题情境是伪情境或者不符合学生的实际生活体验，所以课堂教学不能拘泥于教材。

(2) 对一个问题的分析过程往往蕴含着许多思辨因素，所以教学中应该注重数学思辨。

(3) 增强课堂的弹性。

这些问题后文将做详细阐述。

3. 数学课堂的灵魂是什么？ 

传统的教学注重的是知识传授与技巧的培训，忽略了一个更重要的东西——思想，缺少思想的教育不是教育，而是知识与技能培训。很多人认为，学生掌握了某门课程的知识，会运用这些知识去解决一些问题就足够了，在我看来，这只是低层面上的要求。

知识不是终极目标，它也是一种载体，承载着几十年甚至千百年来前人的智慧，这就是思想，换句话说，知识是思想的载体。

老师的任务是什么？透过书本挖掘隐藏在知识背后的思想并展现给学生，这才是真正的教育。知识迟早都会遗忘，留下来的才是教育、是思想。过去我们往往注重于教学的细节，从板书、语言表达、仪态到内容的组织，都讲究一板一眼，恰恰忽略或淡化了思想性。学生从中学到了很多知识，但这些知识都是僵化的，缺少鲜活的灵魂，学生不仅失去了学习的热情，也不知道所学何用，在学生看来，学习的目的是毕业、升学或找工作，至于这些知识与他们日后的生活与工作有什么关系则一无所知。

数学课堂的灵魂是什么？是思想，换句话说，数学教学过程应该是传授思想的过程。思想是通过什么来展现的？是问题，也就是说，数学课堂应该围绕着问题展开。数学的发展是个发现问题、分析问题、解决问题的过程，老师的任务则是凭借研究经验，通过合情推理回归这个过程。

从事科学研究的人都知道，首先需要选择适当的课题，你要清楚为什么选择某个课题？你想解决什么问题？如果你连这些问题都搞不清楚，你的选题必定是盲目的，前景如何就可想而知了。当你选择了一个课题，你需要根据你锁定的问题采用你所能想到的方法与手段去分析、演绎，最终得到你想要的结果。结果也许与你最初的设想有出入，但科学在于探索，

第1章问题驱动的数学教学/ 

1.1数学教育的本质

1.1.1我们该教什么样的数学

1.1.2数学教育的本质是什么

1.1.3教师成长的代价

1.1.4博士该不该进中学

1.1.5传统教学之殇

1.1.6多媒体存在的意义

1.2“数学化”的数学教育与“生活化”的数学教育

1.2.1纯粹与应用之间的平衡

1.2.2数学与自然科学

1.2.3纯粹数学、应用数学与数学应用

1.2.4“数学化”的数列与“生活化”的数列

1.3课程标准与教材浅议

1.3.1课程标准浅议

1.3.2课程标准与教材中值得商榷的一些问题

1.3.3如何处理教材与课堂之间的关系

1.4数学课堂教学与评价的核心要素

1.4.1关于课堂教学的形式

1.4.2数学课堂的核心要素

1.4.3导数概念课案例与评析

第2章知识、文化、素养、能力与数学素养/ 

2.1知识、素养及能力

2.2数学知识、数学素养及数学能力

2.2.1数学知识、数学素养与数学能力之间的关系

2.2.2数学直觉与直观

2.2.3再论数学素养

2.3数学课堂如何培养与提升学生的数学素养

2.3.1应试与素质之间的平衡

2.3.2数学直觉与数学思辨

2.3.3三尺讲台无穷天地

2.3.4教育与考试

2.3.5“朦胧”的数学题

2.4数学与哲学

2.4.1数学中的哲学问题

2.4.2形式主义数学

2.4.3数学的真理性

2.4.4论数学证明

2.5课堂教学中的思辨、演绎与算法

2.5.1思辨与数学

2.5.2思辨在数学教育中的重要性

第3章从数学教育的本质看数学基础教育改革/ 

3.1新中国基础教育改革回顾

3.1.1八次基础教育改革简介

3.1.2八次改革的基本特点

3.2数学教育本质再探

3.2.1教育中的再创造

3.2.2关于任意角的三角函数

3.3改革将走向何方

3.3.1中国教师英国执教的启示

3.3.2中外基础教育孰优孰劣

3.3.3我们要解决什么样的问题

3.3.4基础教育是否存在统一的国际基准

3.3.5几点建议

第4章一堂关于《基本不等式》的“同课异构”评析/ 

4.1教师的课堂设计

4.2课堂评析

第5章函数教学与案例设计/ 

5.1集合论教学策略与案例

5.1.1是谁把数学推向了深渊

5.1.2集合论教学案例设计

5.2函数教学与教学案例设计

5.2.1函数教学

5.2.2函数教学案例设计

第6章浅谈微积分教学/ 

6.1极限与连续

6.1.1分析学的起源

6.1.2极限简论

6.1.3芝诺悖论、二进制与区间套

6.1.4二分法、聚点原理与有限覆盖原理

6.1.5连续性简论

6.2导数与微分

6.2.1导数概念的教学

6.2.2微分思想与近似公式

6.3积分与应用

6.3.1定积分教学策略

6.3.2从直觉到方法

6.4微积分学基本定理

6.4.1微积分学基本定理教学实录

6.4.2中学微积分学基本定理传统教学案例