第1章绪论
由于物理条件的限制以及系统性能和安全方面的要求，许多实际系统往往需要遵循一定的约束准则。在控制器执行过程中，如果不遵守约束准则，可能会导致系统性能下降，甚至可能损坏或危害整个系统。因此，约束系统稳定性的研宄已成为近些年来控制领域研宄的热点问题。一些工程实践由于事先忽略了约束条件，需要通过后期人工干预来克服约束条件带来的不利影响。尽管这种方法能够在一定程度上解决约束控制问题，但是不具备较高的成功率，致使实际系统的稳定性和安全性难以保证。为从根本上解决约束条件引起的系统控制问题，一种更加普遍的方法是在控制设计的初始阶段就将约束条件考虑进去，进而从理论上将约束融合到控制设计中，结合系统所需满足的其他性能，设计合理的控制方法。因此，基于自适应控制技术，深入探索非线性约束系统的控制方法设计具有重要的理论价值和实际意义。
近十几年来，诞生了各种处理约束的方法，主要包括模型预测控制W、引用调控器M和使用集合不变性概念等方法，特别是障碍李雅普诺夫函数方法w和变量替换方法凭借其普适性广和可扩展性强的特点，近年来得到了众多专家和学者的青睐。本章主要介绍非线性约束系统的基本概念、主要分类及几种处理约束问题的基本方法，并且详细阐述控制研宄所需的基础知识。
1.1约束系统的基本介绍
受安全准则或者元器件本身等因素的限制，很多实际系统的某些关键指标无论在暂态或者稳态时都需要维持在某个特定范围之内。例如，电机的转速和电流均不能超过合理范围，且输出功率有一定的上限。在化学反应过程中，反应物浓度以及釜内温度和压强不能超过特定的范围。如果约束条件遭到破坏，可能会损坏设备，甚至对人员及财产带来巨大损失。在人机交互领域中，无论是人体直接穿戴或者是人与机器人直接物理接触，为考虑人员安全，机器人关节角度和末端执行器力度必须受到一定限制。上述这些物理限制会映射到控制设计中某个或多个变量的约束，其中控制输入约束是指系统执行机构只能提供有限范围的作用，输出约束或状态约束则是对系统输出变量或状态变量运行区域提出的限制。若设计的控制算法未考虑这些约束，则极有可能导致整个系统失去稳定。对于一些特定的工况，往往在控制设计初期假定没有约束条件，采用后期修复或者人为干预来
解决约束问题。然而，实际运行中这些方案不具有普适性，需要精确建模和系统冗余等多方面的技术来提高系统安全和性能，这大大增加了控制设计的成本和周期。通过预先考虑非线性系统的约束影响，设计智能自适应约束控制算法，可极大提升非线性控制系统对约束限制的适应能力。
针对非线性约束系统，本书主要基于障碍李雅普诺夫函数和变量替换的构造思路，设计智能自适应约束控制方法。根据定义，障碍李雅普诺夫函数在所设计控制器的作用下保持有界，状态变量始终保持在约束边界以内。变量替换方法的主要原理是构造出一个完全依赖约束状态的非线性函数，将有约束的情况转化为无约束的情况进行处理。下面给出障碍李雅普诺夫函数的定义和基本理论，变量替换方法的主要过程将在后续的设计中给出。
定义1.1.1障碍李雅普诺夫函数是标量函数，在包含原点的开放区上对系统是连续且正定的，在的每一点上都有连续的一阶偏导数，当接近的边界时具有性质，并且对于和某些正常数，系统的解满足。
引理1.1.1
障碍李雅普诺夫函数可以是对称的，也可以是非对称的。接下来分别介绍对称约束和非对称约束。
1.2约束系统的基本分类
1.2.1对称约束
对称约束指被约束变量的约束界是对称的。根据约束界的不同，可以将约束分为常数约束、时变约束和状态相关约束。常数约束的界是常数，不发生变化。相对于常数约束，时变约束的界是关于时间的函数，时变约束的研究可以降低控制设计的保守性。相对于常数约束和时变约束，状态相关约束的界不仅是关于时间的函数，而且是关于状态的函数，状态相关约束的研究大大提升了控制设计的灵活性。接下来将介绍解决对称约束问题的主要方法。
1.障碍李雅普诺夫函数方法
近年来，障碍李雅普诺夫函数方法受到许多学者的青睐，成为处理约束控制的主要方法之一，取得了大量的研宄成果。通过设计适当的障碍李雅普诺夫函数，
可以解决不同类型的约束丨常数约束、时变约束、状态相关约束）问题。此外，障碍李雅普诺夫函数的种类也比较丰富，常见的有三种类型，分别是对数型、正切型和积分型。接下来介绍三种约束条件所对应的对称型障碍李雅普诺夫函数。考虑如下对称型约束条件：
(1)常数约束
(2)时变约束|而|
(3)状态相关约束
其中，而为受约束的状态变量；为常数界；为时变界；为关于状态和时间的光滑函数界。
1)对数型障碍李雅普诺夫函数
利用对数型障碍李雅普诺夫函数解决约束问题，需要将状态约束转化为误差约束。设计如下对称对数型障碍李雅普诺夫函数：
(1.2.1)
因而，很容易得出如下不等式。
(1)常数约束：
(2)时变约束：
(3)状态相关约束：
引理1.2.1存在连续有界函数若满足条件，贝树数型障碍李雅普诺夫函数％足如下不等式：
2)正切型障碍李雅普诺夫函数
利用正切型障碍李雅普诺夫函数方法解决约束问题，同样也需要将状态约束转化为误差约束，但相对于使用对数型障碍李雅普诺夫函数，正切型障碍李雅普诺夫函数可以将约束分析集成到一种通用方法中，从而可以处理有状态约束或无状态约束的非线性系统控制设计问题。
设计如下对称正切型障碍李雅普诺夫函数：
(1.2.2)
考虑系统不受约束，相当于当时，有利用洛必达法则有
因此，如果没有约束要求，那么可以简单地将李雅普诺夫函数取为二次型。在这种情况下，处理非线性系统自适应控制问题的方法与已有的传统设计方法相似。
3)积分型障碍李雅普诺夫函数
利用积分型障碍李雅普诺夫函数方法解决约束问题，可以避免将状态约束转化为误差约束，从而实现对状态的直接约束。选择如下对称积分型障碍李雅普诺夫函数：
(1.2.3)
式中，5为积分变量。
显然，当满足状态约束条件时，正定且连续可导的，同时可以得到如下性质：
(1.2.4)
引理1.2.2存在连续有界函数，如果满足条件，那么积分型障碍李雅普诺夫函数％满足如下不等式：
2.变量替换方法
变量替换方法是解决系统变量受约束控制问题的另一种方法。与障碍李雅普诺夫函数方法不同，变量替换方法可避免设计虚拟控制器时必须满足的可行性条件。
状态满足如下约束条件：
式中，为常数。
选择如下对称非线性状态变换：
(1.2.5)
式中，为变换后的状态。
1.2.2非对称约束
非对称约束是指被约束变量的约束界是非对称的，对称约束是非对称约束的特例，因此后者更具有一般性。类似于1.2.1节的对称约束，非对称约束根据约束界的不同，也可分为常数约束、时变约束和状态相关约束。下面分别利用1.2.1节提到的障碍李雅普诺夫函数和变量替换两种方法解决非对称约束问题。
1.障碍李雅普诺夫函数方法
对称型障碍李雅普诺夫函数方法可以解决对称约束问题，非对称型障碍李雅普诺夫函数方法则可以解决非对称约束问题。下面分别介绍对数型、正切型和积分型三种非对称障碍李雅普诺夫函数。
考虑如下非对称约束条件：
(1)常数约束
(2)时变约束
(3)状态相关约
式中，而为受约束的状态变量；分别为约束条件的上界和下界，和为常数界，为时变界；为关于状态和时间的光滑函数界。
1)对数型障碍李雅普诺夫函数
选择如下非对称对数型障碍李雅普诺夫函数：
(1.2.6)
式中，p为一个正整数，满足为误差变量且满足为参考信号；虚拟控制信号勿冲，满足同时，定义qi⑷为
此外，存在正常数和使得不等式、成立。
进而，可以得到如下不等式。
(1)常数约束：
(2)时变约束:
(3)状态相关约束:
2)正切型障碍李雅普诺夫函数
选择如下非对称正切型障碍李雅普诺夫函数：
(1.2.7)
3)积分型障碍李雅普诺夫函数
选择如下非对称积分型障碍李雅普诺夫函数：
(1.2.8)
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