非线性控制在自动控制领域占据着越来越重要的地位，已成为控制工程师必不可少的基础知识。不同于线性控制系统，非线性控制系统不存在系统性的设计方法。《应用非线性控制》在介绍非线性控制常用的数学工具和技巧的基础上，重点讨论了两大类形式对偶的构造性设计方法以及它们在实际非线性控制系统设计中的应用。主要内容包括滑模控制方法及其应用、基于无源性的非线性系统控制方法及其应用、反步方法及其应用、前推方法及其应用以及满足线性增长条件的三角形系统、非完整系统和规范型系统等特殊系统的控制方法及其应用。《应用非线性控制》在介绍控制理论的同时，还提供了大量相关的实际控制系统的设计实例。

第1章非线性控制理论简介
　　众所周知，对于线性定常系统的分析与设计，已经有了相对完善的理论体系.例如，解具有解析表达式，能控、能观性和稳定性具有充要条件，控制系统设计具有成熟的方法如极点配置、模态控制、二次*优控制、鲁棒控制等.对于众多的非线性系统，也可以先进行线性化（包括Jacobi（雅可比）线性化和反馈线性化），再进行控制系统设计.既然如此，为什么还需要研究非线性控制呢？原因至少有以下3点：
　　（1）有的系统不可以进行线性化，如不确定不光滑非线性系统.
　　（2）有的系统经Jacobi线性化后不能控，例如，系统.
　　（3）利用非线性系统的特性可以提升系统性能，如实现有限时间控制等.
　　总之，工程实际中的系统总是非线性的，线性系统只是实际系统的简化与
　　近似，非线性系统具有许多线性系统不具有的特殊性质，非线性系统的控制设计方法也有许多*特的内容.在本书中，除非有必要，一般情况下时间的函数均省略（t）.
　　1.1非线性系统简介
　　1.1.1非线性系统的特殊性质
　　1）多孤立平衡点
　　对线性定常系统来说，要么存在全局唯一的零平衡点，要么全体平衡点构成一个子空间.但是，非线性系统则可能具有多个孤立的平衡点.例如，单摆系统
　　其中，m为摆球质量（忽略摆杆质量）（kg）;为摆杆长度（m）;表示摆杆与过中心点的竖直线之间的夹角（rad），逆时针为正，且时摆杆竖直向下；k为空气摩擦系数（.该系统的平衡点即为满足的点.由此可得， 因此，由摆杆角度和角速度表达的平衡点集合为.它们对应于摆杆静止于竖直向下和竖直向上两个位置，这与经验相符.
　　由于非线性系统可能具有多个孤立的平衡点，对于非线性系统，在Lyapunov（李雅普诺夫）稳定性理论体系下，只有平衡点稳定的概念，没有系统稳定的概念.
　　此外，对于线性系统，若其零平衡点是局部渐近稳定的，则它一定是全局渐近稳定的.但是非线性系统则不然.对于上述单摆系统，对应于竖直向下位置的平衡点都是局部渐近稳定的，但显然不是全局渐近稳定的.其原因在于，如果摆杆初始角度和角速度取值于，即位于竖直向上位置的平衡点，则摆杆会静止在此处不动而不会趋向于竖直向下位置的平衡点.
　　2）有限时间逃逸
　　对于线性定常系统，系统状态的发散速度*快也只是指数形式的，且仅当时才有状态.因此，状态在任何有限时间区间内总是有界的.但是非线性系统则不然.考虑非线性系统
　　令.于是有.故其解为
　　由此可知系统的解在有限时间内发散到无穷大，即
　　这就是有限时间逃逸现象.大多数情况下，系统的解只是在有限时间内存在的情形显然不是所期望的.
　　3）亚指数收敛
　　对于线性定常系统，如果其零平衡点是渐近稳定的，那么其解的收敛速度*慢也是指数形式的.但是非线性系统则不然.考虑系统
　　其解为
　　显然有，即系统的解收敛.由L’Hospital（洛必达）法则可知
　　这表明系统解的收敛速度低于任意给定的指数函数.
　　4）有限时间收敛
　　对于线性定常系统，状态收敛到零的速度*快也只是指数形式的，从而收敛到零的时间是无限长，但非线性系统的状态则能在有限时间之内收敛到零.例如，考虑系统
　　令，则，于是.考虑到，有
　　因此，系统的解满足
　　由此可知系统的解不仅收敛，并且有限时间收敛到零.因此，其收敛速度快于任意给定的指数函数.这个特性非常有用，例如，目前在非线性控制领域非常热门的有限时间控制就是利用了这一非线性特性.
　　5）对外部干扰的不鲁棒性
　　对于渐近稳定的线性定常系统，当系统受到有界的外部干扰时，系统的状态仍然会保持有界.但是非线性系统则不然.文献间给出了这样一个例子：
　　其中，）为系统状态；是外部干扰；满足：是连续的;.可以证明，该系统的解满足：
　　（1）
　　（2）
　　由此可以看出，尽管没有干扰时系统的解指数收敛到零，但是初值任意小的指数衰减的外部干扰信号也能使得系统的解发散.因此，对于非线性系统，其对内部不确定性和外部干扰的鲁棒性是一个非常重要的问题.
　　除此以外，不同于线性系统，非线性系统还可能呈现出极限环、混纯与分叉等特有的现象.这里不再赘述，有兴趣的读者可以参阅相关著作，如文献等.
　　1.1.2非线性系统分析与设计的常用方法
　　常见的非线性系统分析与设计方法有如下几种.
　　1）相平面法
　　相平面法是一种基于时域的图形化方法，主要研究对象是二阶系统.其主要思想是：在二阶系统的状态空间（二维平面）中，画出不同初值下系统的运动轨迹（即相轨迹，相轨迹所在的二维平面被称为相平面），利用这样一族相轨迹就可以定性地研究非线性系统的稳定性和性能，而无须对系统进行求解.相平面法具有简单直观的优点，但是难以推广到高阶系统.对相平面法感兴趣的读者可以参阅文献[4]和[6]等.
　　2）描述函数法
　　描述函数法是一种基于频域的工程近似方法.其主要思想是：基于谐波线性化概念，*先利用线性等价系统去逼近非线性系统中的非线性成分，然后利用频域法去研究近似系统.描述函数法的一个主要功能是预测非线性系统中的极限环（自持振荡描述函数法不受系统阶次影响，其主要优点是物理意义明确，容易被控制工程师们所接受.描述函数法的主要缺点在于其近似特性，对于强非线性系统，可能会导致不准确的结果.对描述函数法感兴趣的读者可以参阅文献等.
　　3）*优控制方法
　　*优控制理论研究的历史可以追溯到20世纪50？60年代，苏联数学家建立了Pontryagin（庞特里亚金）极大值原理，同时美国数学家建立了Bellman（贝尔曼）动态规划方法.*优控制方法通过权衡系统的状态-输入来设计系统的控制器，使闭环系统的某种性能指标达到*小.对于非线性系统，*优控制律的综合问题通常可以归结为Hamilton（汉密尔顿）-Jacobi-Bellman（HJB）方程的求解问题.除了极少数情况外，HJB方程不具有解析解，而且对于复杂的非线性系统，HJB方程的求解非常困难.为了近似求解HJB方程，人们提出了各种各样的方法，并进一步发展出了著名的状态依赖Ricatti（黎卡提）方程（SDRE）方法、自适应动态规划方法、非线性i?oo控制方法和预测控制方法等.
　　4）线性化方法
　　对于线性定常系统的分析与设计，已经有了完善的理论体系.因此，一个很
　　自然的想法是将非线性系统的分析与设计问题转化为线性系统的分析与设计问题.于是产生了两种线性化的思想.一种是近似线性化，包括Jacobi线性化和T-S（Takagi-Sugeno）模糊线性化.所谓Jacobi线性化即将非线性系统在工作点附近进行Taylor（泰勒）展开并保留一阶项，从而得到一个小偏差线性系统.当系统具有多个工作点时，需要在每个工作点附近线性化，分别设计控制器，并设计一种合适的切换策略来调度这些控制器以确保整体系统的稳定性和性能.而T-S模糊线性化方法则是借助模糊规则，利用一族线性系统动态地逼近原来的非线性系统.另外一种是精确线性化方法，或者称基于微分几何的反馈线性化方法.其主要思想是利用非线性状态变换和反馈抵消非线性环节，将原系统部分或者完全地转化为一个线性定常系统.近似线性化方法的主要缺点是其近似特性，无法精确地刻画原非线性系统的特性，而反馈线性化方法则需要知道非线性系统的精确模型.本章后面将对Jacobi线性化方法和反馈线性化方法作简要介绍.
　　5）基于Lyapunov函数的方法
　　Lyapunov稳定性理论诞生于19世纪末.1892年，俄国数学家Lyapunov在其博士论文中给出了稳定性的严格、精确的数学定义，并提出了判断系统稳定性的一般方法：Lyapunov直接法，从而为稳定性理论奠定了坚实的基础.此后，经过无数学者的不懈努力，才逐步形成了如今相对完善的Lyapunov稳定性理论体系.Lyapunov直接法的核心是寻找一个广义的“能量”函数，即Lyapunov函数，来度量系统的动态特性.通过分析Lyapunov函数沿着系统的变化情况就可以洞见系统状态的变化情况，从而避免了求解复杂系统的难题.Lyapunov函数沿着系统的变化情况可以通过Lyapunov函数沿着系统的时间导数来直接反映.Lyapunov函数也可以用于控制系统设计：选择一个合适的Lyapunov函数并构造控制律，使得Lyapunov函数沿着闭环系统的时间导数为负定或者半负定以保证闭环系统的稳定性.基于此思想，诞生了各种各样的基于Lyapunov函数的构造性控制设计方法，例如，本书要重点讨论的滑模方法、无源性方法、反步（backstepping）方法和前推（forwarding）方法等.
　　总而言之，对于非线性系统的控制设计，由于非线性环节的复杂性和多样性，目前尚无包治百病的方子，只能对症下药.只有具体问题具体分析，充分挖掘和利用系统自身的特性，才能得到比较好的设计结果.
　　1.1.3非线性系统分析与设计的工具
　　非线性系统因其复杂性，尚无统一的数学工具，但有一种非常重要且常用的数学工具，即如下的比较引理.
　　引理1.1.1考虑标量微分方程
　　（1.1）
　　其中，对任意关于是连续的，且对任意关于是Lip-schitz（利普希茨）连续的.设解）存在的*大区间是（可以是无限的），并设）是连续函数，且其右上导数对所有都满足
　　（1.2）
　　则.
　　比较引理有不同的表达方式.1.2节要介绍的Lyapunov稳定性定理事实上就是比较引理的一种变体.下面介绍的著名的Gronwall（格朗沃尔）-Bellman不等式事实上也可以看成是比较引理的一种积分形式的变体.
　　引理1.1.2设和均为定义在上的非负函数，其中连续而7⑷在任何区间上都是可积的.若又有如>0使得
　　（1.3）
　　则）满足不等式
　　（1.4）
　　不等式（1.3）可以看成是微分不等式（1.2）的积分形式.因此，其对应的（积分）等式（即比较方程为
　　对上式微分得到.因此，根据比较引理可知
　　这就是不等式（1.4）.
　　1.2稳定性理论简介
　　对一个系统进行分析和控制设计，*要问题是建立描述系统的数学模型.对于大家所熟知的线性定常系统，可以采用传递函数模型或者线性状态空间模型（线

目录
编者的话
前言
主要符号表
第1章 非线性控制理论简介 1
1.1 非线性系统简介 1
1.1.1 非线性系统的特殊性质 1
1.1.2 非线性系统分析与设计的常用方法 4
1.1.3 非线性系统分析与设计的工具 5
1.2 稳定性理论简介 6
1.2.1 解的存在性、唯一性和可延拓性 7
1.2.2 解的稳定性 9
1.2.3 楔函数和正定函数 11
1.2.4 Lyapunov稳定性理论 14
1.2.5 Lyapunov稳定性逆定理 17
1.2.6 LaSalle不变原理 19
1.2.7 对Lyapunov稳定性理论的补充说明 21
1.3 复杂非线性系统分析工具简介 24
1.3.1 级联系统的分析工具 24
1.3.2 不确定系统的分析工具 27
1.3.3 自适应控制系统的分析工具 29
1.4 反馈线性化简介 33
1.4.1 反馈线性化的基本思想 33
1.4.2 SISO系统的反馈线性化 34
1.4.3 内动态、零动态与*小相位系统 39
1.4.4 MIMO系统的反馈线性化 41
1.4.5 对反馈线性化的补充说明 43
1.5 Jacobi线性化简介 43
1.6 本章小结与文献说明 47
参考文献 48
第2章 滑模控制 50
2.1滑模控制的基本原理 50
2.2 SISO规范型系统的鲁棒滑模控制 51
2.2.1 滑模变量设计 54
2.2.2 鲁棒滑模控制律设计 57
2.2.3 抖振现象及其抑制 58
2.2.4 船舶航向的鲁棒滑模控制 62
2.3 SISO规范型系统的自适应滑模控制 65
2.3.1 自适应滑模控制律设计 65
2.3.2 修正的自适应滑模控制律设计 66
2.3.3 船舶航向的自适应滑模控制 69
2.4 MIMO规范型系统的滑模控制 72
2.4.1 鲁棒控制律设计 73
2.4.2 自适应控制律设计 76
2.5 本章小结与文献说明 78
参考文献 78
第3章 无源性方法 80
3.1 无源系统的概念和性质.80
3.1.1 无源系统的基本概念 80
3.1.2 线性无源系统的性质 82
3.1.3 非线性无源系统的性质 86
3.1.4 无源系统的连接和稳定性 87
3.2 反馈无源化 92
3.2.1 线性系统的反馈无源化 92
3.2.2 非线性系统的反馈无源化 93
3.3 串联非线性系统的反馈镇定 96
3.3.1 临界稳定系统与无源系统的串联 96
3.3.2 临界稳定系统与线性系统的串联 99
3.3.3 不稳定系统和线性系统的串联 101
3.4 刚体姿态控制系统的全局镇定 104
3.4.1 全状态反馈全局镇定 105
3.4.2 无速度反馈全局镇定 106
3.4.3 数值仿真 108
3.5 Euler-Lagrange系统的控制 110
3.5.1 Euler-Lagrange系统 110
3.5.2 Euler-Lagrange系统的全局镇定 111
3.5.3 Euler-Lagrange系统的跟踪 113
3.6 应用举例: TORA系统 115
3.6.1 系统模型与无源性 116
3.6.2 基于势能补偿的全局镇定 118
3.6.3 无重力力矩补偿的有界控制律 119
3.6.4 数值仿真 121
3.7 本章小结与文献说明 122
参考文献 122
第4章 反步设计
124 4.1反步设计的基本原理 124
4.1.1 输出调节反步设计 125
4.1.2 输出跟踪反步设计 131
4.1.3 永磁同步电机控制系统的反步设计 133
4.1.4 *小相位规范型系统的反步设计 137
4.2 鲁棒反步设计 139
4.2.1 半严反馈系统的鲁棒反步设计 139
4.2.2 飞行器俯仰控制的鲁棒反步设计 148
4.3 自适应反步设计 153
4.3.1 过参数化问题 154
4.3.2 调整函数法 156
4.3.3 飞行器俯仰控制的自适应反步设计 167
4.4 本章小结与文献说明 169
参考文献 170
第5章 基于低通滤波的反步设计 172
5.1 SISO系统的动态面控制设计 172
5.1.1 动态面控制的基本原理 172
5.1.2 自适应/鲁棒动态面控制设计 176
5.1.3 飞行器俯仰通道的自适应/鲁棒动态面控制设计 187
5.2 MIMO系统的动态面控制设计 189
5.2.1 BTT飞行器三通道耦合控制问题描述 190
5.2.2 块动态面控制律设计 191
5.2.3 数值仿真 197
5.3 本章小结与文献说明 199
参考文献 199
第6章 基于饱和函数的前推设计 201
6.1 模型描述和变换 201
6.1.1 对系统的假设 201
6.1.2 Teel变换与 Teel规范型 205
6.2 线性积分链系统的前推设计 206
6.2.1 一类标量系统的稳定性 206
6.2.2 非线性控制律 208
6.3 非线性系统的前推设计 211
6.3.1 非线性系统的Teel变换 211
6.3.2 非线性控制律 212
6.4 应用举例:惯性轮倒立摆 219
6.4.1 数学模型 219
6.4.2 基于饱和函数的前推设计 220
6.4.3数值仿真 222
6.5 本章小结与文献说明 222
参考文献 223
第7章 基于交叉项 Lyapunov函数的前推设计 226
7.1 前推设计的关键问题和主要工具 226
7.1.1 前推设计步骤和关键问题 226
7.1.2 耦合系统的镇定方法 228
7.2 耦合系统的 Lyapunov函数 231
7.2.1 交叉项 Lyapunov函数的存在性和计算 232
7.2.2 耦合线性系统的交叉项 Lyapunov函数 235
7.2.3 耦合 Lyapunov函数的性质 237
7.2.4 交叉项 Lyapunov函数的局部二次正定性 240
7.2.5 附加系统的零状态能检测性 244
7.3 耦合系统的镇定与前推设计的完成 248
7.3.1 耦合系统的镇定 248
7.3.2 前推设计的完成 250
7.3.3 非仿射系统的推广 255
7.4 应用举例:球杆系统 257
7.5 本章小结与文献说明 261
参考文献 262
第8章 几类特殊非线性系统的控制 263
8.1 满足线性增长条件的下三角系统 263
8.1.1 状态反馈全局镇定 264
8.1.2 基于观测器的输出反馈 266
8.1.3 应用举例:单连杆机械臂系统 269
8.2 满足线性增长条件的上三角系统 271
8.2.1 状态反馈全局镇定 272
8.2.2 基于观测器的输出反馈 274
8.2.3 应用举例:感应加热电路系统 276
8.2.4 关于线性增长条件的说明 280
8.3 非完整系统 280
8.3.1 非完整约束和链式非完整系统 281
8.3.2 不光滑定常反馈 284
8.3.3 光滑时变反馈 287
8.3.4 应用举例:轮式移动机器人控制 290
8.4 规范型系统 291
8.4.1 *小相位系统的输出跟踪 291
8.4.2 基于轨迹线性化的非*小相位系统输出跟踪 293
8.4.3 基于输出重定义的非*小相位系统输出跟踪 296
8.4.4 应用举例:场控直流电机的转速控制 299
8.5 本章小结与文献说明 301
8.6 本章 附录 302
参考文献 304