《无网格微分方程数值解法》是作者在总结课题组十多年来在无网格方法及其理论和应用方面研究工作的基础之上, 经过系统整理而著成的. 《无网格微分方程数值解法》内容丰富, 不仅包括了无网格方法中构造逼近函数的重要方法, 而且包括了求解一些(初)边值问题的 无单元 Galerkin 法、无网格边界积分方程法和无网格配点法. 在系统阐述这 些无网格方法的基本原理之后, 重点讲述它们的性质、稳定性、误差估计和 收敛性等数学理论及分析过程.

第1章 移动*小二乘近似
　　近几十年来， 有限差分法 [1，2]、有限元法 [3，4] 和边界元法 [5，6] 等已成为广泛 使用的微分方程数值解法. 在这些方法中， 网格单元对计算结果有直接影响， 同 时网格单元的生成和重构可能需要耗费较多时间和精力. 无网格方法 (meshless method 或 meshfree method)[7] 在建立近似函数时只需要节点， 避免了网格单元 的初始划分和重新构建， 克服了网格类方法对网格单元的依赖. 此外， 无网格方法 容易构造高阶形函数， 这既有利于提高计算精度， 又减少了后处理分析. 无网格方 法自 20 世纪 90 年代中期在国际上兴起之后发展很快， 在科学工程计算领域取得 了丰硕的研究成果 [8-13].
　　无网格方法与网格类方法的主要区别是它构造近似函数 (形成形函数) 时只 需要离散的节点， 不需要网格单元， 所以形函数是无网格方法的核心. 用于无网格 方法建立形函数的方法主要有移动*小二乘近似 (moving least squares approximation， MLSA)[14]、重构核粒子法 (reproducing kernel particle method)[15]、单位 分解法 (partition of unity method)[16]、点插值法 (point interpolation method)[17]、 径向基函数 (radial basis functions) 法 [18，19] 等.
　　1981 年， Lancaster 和 Salkauskas 在研究*面拟合时， 将标准*小二乘逼近 进行推广， 提出了移动*小二乘近似 [14]. 相比有限元法和边界元法中采用网格单 元来构造形函数的插值技术， 移动*小二乘近似不需要对求解区域或边界进行网格 剖分， 只需离散点模型. 移动*小二乘近似通过应用较低阶数的基函数和适当选取 的权函数来获得具有较高阶连续性的无网格形函数， 具有精度高和适应性强等优点， 是一种常用的无网格形函数构造方法， 为无网格方法的发展奠定了基础， 在无网格 方法的研究和应用中发挥着极其重要的作用 [8-13]. 无单元 Galerkin 法 (elementfree Galerkin method)[20]、无网格局部 Petrov-Galerkin (meshless local Petrov- Galerkin) 方法 [21]、有限点法 (finite point method)[22]、边界点方法 (boundary node method)[23]、局部边界积分方程 (local boundary integral equation) 方法 [24]、杂交 边界点法 (hybrid boundary node method)[25]、边界无单元法 (boundary elementfree method)[26]、Galerkin 边界点法 (Galerkin boundary node method)[27] 等大 量无网格方法都是基于移动*小二乘近似发展起来的.
　　移动*小二乘近似的算法在近三十年里取得了很多研究成果， 比如基于正交 基函数的改进移动*小二乘近似 (improved MLSA)[26，28，29]、基于复变量基函数的复变量移动*小二乘近似 (complex variable MLSA)[30-32]、基于奇异权函数的 插值型移动*小二乘近似 (interpolating MLSA)[33]、基于平移缩放基函数的稳定 移动*小二乘近似 (stabilized MLSA)[34，35]、基于导数光滑技术的光滑梯度移动 *小二乘近似 (smoothed gradient MLSA)[36，37] 和递归梯度移动*小二乘近似 (recursive gradient MLSA)[38，39]. 同时， 移动*小二乘近似的数学理论也取得了 重要研究进展， 比如文献 [40-42] 针对光滑函数讨论了移动*小二乘近似的逼近 误差， 文献 [43-46] 针对正则性较低的函数讨论了移动*小二乘近似的误差， 文献 [29， 31-34， 37， 39] 讨论了移动*小二乘近似的改进算法的误差.
　　本章*先给出本书用到的一些符号、定义和不等式， 其次介绍移动*小二乘 近似的基本原理， 分析移动*小二乘近似的性质; 接着讨论移动*小二乘近似的 稳定性， 建立理论上稳定的近似方案; *后推导移动*小二乘近似的误差估计.
　　1.1 预备知识
　　本节给出本书用到的一些符号、定义和不等式.
　　设 Ω 是 n 维空间 Rn 上的非空有界开子集， 具有 Lipschitz 连续的边界 Γ. Rn 上的任一点可记为 x = (x1， x2， ， xn)T 或者 y = (y1， y2， ， yn)T. 记 n 维 m 次多项式空间为 Pm， 则 Pm 中完备多项式基向量的维数为 m = (m + n)!/ (m!n!).
　　设 n 维多重指标 α = (α1， α2， ， αn)T 是由 n 个非负整数 αi 组成的 n 元数组， 函数 f (x) 的 α 阶导数可表示为
　　其中. 特别地， D0f (x) = f (x).
　　*先， 对于 n 维多重指标 α = (α1， α2， ， αn)T 和 β = (β1， β2， ， βn)T， 用表示对所有 i = 1， 2， ， n 均有. 其次， 当时， 记. 另外， 对于点 x = (x1， x2， ， xn)T， 记.
　　为了本书内容的需要， 下面给出 Lebesgue 空间和 Sobolev 空间的定义 [47，48].
　　定义 1.1.1 对于实数， 定义Lebesgue空间为
　　其范数为
　　特别地， 当 p = 2 时， 空间 L2 (Ω) 的范数记为， 即
　　另外， 用 ( ， ) 表示空间 L2 (Ω) 上的内积， 即对任意 f ∈ L2 (Ω) 和 g ∈ L2 (Ω)， 有
　　显然.
　　定义 1.1.2 对于非负整数 k 和实数 p∈[1，∞]， 定义 Sobolev 空间Wk，p (Ω) 为
　　其范数为，
　　半范数为，
　　特别地， 当 p = 2 时， Sobolev 空间 Wk，p (Ω) 简记为 Hk (Ω)， 即
　　Hk (Ω) = Wk，2 (Ω) .
　　显然，
　　L2 (Ω) = H0 (Ω) ， Lp (Ω) = W0，p (Ω) .
　　另外， 空间 Hk (Ω) 的范数简记为， 半范数简记为， 即
　　通常， 用 Hk
　　0 (Ω) 表示 C∞0 (Ω) 在 Hk (Ω) 范数意义下的闭包， 其中 C∞0 (Ω) 是Ω中具有紧支集的无穷次连续可微函数的集合.
　　为了便于理论分析， 下面给出一些有用的公式和不等式 [49-51].
　　(1) Gauss 公式 若向量函数 w(x) ∈ (C1 (Ω) ∩ C0 (Ω ∪ Γ))n， 则
　　其中 div 是散度算子， dx = dx1dx2 dxn， dsx 表示边界 Γ 上的 “长度” 元素， n(x) 是边界 Γ 上点 x 处的单位外法向量.
　　(2) Green 公式 若 f ∈ H1 (Ω) 和 g ∈ H2 (Ω)， 则
　　其中是 Laplace 算子，是梯度算子，.
　　(3) Poincaré-Friedrichs 不等式 若 Ω 是单连通区域且至少在一个方向上有界， 则对任意 f ∈ Hk0 (Ω)， 其中 k 是正整数， 存在正常数 C (k， Ω)， 使得
　　特别地， 当时， 存在正常数 C (Ω)， 使得
　　(4) Cauchy-Schwarz 不等式 若和， 则
　　(5) Young 不等式 对任意， 若， 则

目录
前言
第1章 移动*小二乘近似 1
1.1 预备知识 2
1.2 移动*小二乘近似的基本原理 5
1.3 移动*小二乘近似的性质 8
1.4 移动*小二乘近似的稳定性 13
1.4.1 基函数的选取 13
1.4.2 稳定性分析 16
1.4.3 稳定移动*小二乘近似 20
1.5 移动*小二乘近似的误差分析 24
1.6 数值算例 35
参考文献 46
第2章 无单元Galerkin法 49
2.1 椭圆边值问题的无单元Galerkin法 49
2.1.1 计算公式 50
2.1.2 误差分析 53
2.1.3 数值算例 56
2.2 障碍问题的无单元Galerkin法 62
2.2.1 问题描述 62
2.2.2 非线性不等式约束的处理 63
2.2.3 无单元Galerkin法离散 65
2.2.4 收敛性分析 67
2.2.5 数值算例 69
2.3 时间分数阶微分方程的无单元Galerkin法 70
2.3.1 扩散波方程的时间半离散格式 71
2.3.2 扩散波方程的快速时间半离散格式 79
2.3.3 慢扩散方程的时间半离散格式 85
2.3.4 多项时间分数阶慢扩散方程的快速时间半离散格式 91
2.3.5 多项时间分数阶慢扩散方程的无单元Galerkin法全离散格式 98
2.3.6 误差分析 101
2.3.7 数值算例 105
2.4 数值积分对无单元Galerkin法的影响 111
2.4.1 不包含数值积分的无单元Galerkin法 112
2.4.2 积分约束条件 120
2.4.3 形函数的光滑梯度 124
2.4.4 数值积分准则 129
2.4.5 数值积分公式 132
2.4.6 包含数值积分的无单元Galerkin法 141
2.4.7 存在唯一性分析 144
2.4.8 误差分析 147
2.4.9 数值算例 153
2.5 Ginzburg-Landau方程的无单元Galerkin法 156
2.5.1 问题描述 156
2.5.2 时间半离散格式 156
2.5.3 空间全离散格式 159
2.5.4 时间半离散格式的误差分析 161
2.5.5 空间全离散格式的误差分析 171
2.5.6 数值算例 182
参考文献 184
第3章 无网格边界积分方程法 191
3.1 边界积分方程的无网格近似和误差分析 192
3.1.1 拟微分算子方程 193
3.1.2 边界积分方程中未知函数的无网格逼近 195
3.1.3 边界积分方程的变分公式 197
3.1.4 边界上的积分背景网格 200
3.1.5 无网格近似解 203
3.1.6 误差分析 207
3.1.7 积分背景网格与边界重合 210
3.2 Laplace方程 Dirichlet问题的Galerkin边界点法 211
3.2.1 解的积分表示及变分公式 212
3.2.2 约束条件处理 213
3.2.3 无网格近似解 214
3.2.4 误差分析 217
3.2.5 积分背景网格与边界重合 223
3.2.6 数值算例 226
3.3 Laplace方程Neumann问题的Galerkin边界点法 229
3.3.1 解的积分表示及变分公式 229
3.3.2 无网格近似解 230
3.3.3 误差分析 235
3.3.4 积分背景网格与边界重合 238
3.3.5 数值算例 240
3.4 双调和问题的Galerkin边界点法 242
3.4.1 解的积分表示及变分公式 242
3.4.2 无网格近似解 244
3.4.3 误差分析 247
3.4.4 数值算例 248
参考文献 250
第4章 无网格配点法 253
4.1 有限点法 253
4.1.1 计算公式 253
4.1.2 误差分析 255
4.1.3 数值算例 264
4.2 光滑梯度移动*小二乘近似 265
4.2.1 计算公式 265
4.2.2 性质 268
4.2.3 误差分析 273
4.2.4 数值算例 276
4.3 超收敛有限点法 279
4.3.1 计算公式 279
4.3.2 误差分析 282
4.3.3 数值算例 292
参考文献 295