《Zakharov-Kuznetsov方程》主要介绍了Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程的物理和力学背景，在物理上和数学理论上开展的一系列理论研究，以及取得的一系列的重要成果，其中包括ZK方程的物理推导、二维ZK方程在Hs中局部适定性*佳结果、利用Martel-Merle方法证明在高维能量空间的渐近稳定性、ZK方程孤立子不稳定性的解的爆破性研究等。

第1章Zakharov-Kuznetsov方程的物理背景和基本性质
　　1.1 Zakharov-Kuznetsov方程简介
　　Zakharov-Kuznetsov方程如下：
　　(1.1)
　　其中为实值函数，为Laplace算子.方程是如下广义方程的一个特例：
　　(1.2)
　　其中，若，则且;若.可知
　　当空间维数d=1时，方程(1.2)为著名的广义Korteweg-deVries(gKdV)方程.
　　ZK方程由Kuznetsov和Zakharov[39]提出，用于描述二维和三维情况下离子声波在均勻磁化等离子体中的传播.Lannes，Linares和Saut[421由长波极限下带磁场的Euler-Poisson方程组推导出了ZK方程.Han-Kwan丨29]同样由冷离子和长波联合极限下的Vlasov-Poisson方程组推导出这个方程.ZK方程有如下守恒量：
　　(1.3)
　　和
　　(1.4)
　　近年来，人们对ZK和gZK的适定性理论进行了广泛研究.在二维情况下，Faminskii[181证明了能量空间中ZK方程Cauchy问题的整体适定性.
　　Linares和Pastor[45]将中局部适定性结果降低至，Griinrock和Herr[26]以及Molinet和Pilod将局部适定性降低至.Ribaud和Vento得到了三维情况下ZK方程的*佳结果，他们证明了当s>1时在HS(R3)中的局部适定性，且在[67]中得到了关于时间的整体适定性.关于的gZK方程的适定性结果，可以参考[19，25，45，46，72];关于的唯一延续结果，可参考[9，10，69].
　　注意到，若U为方程(I.2)关于初值m0的解，则为方程(1.2)关于初值仰。知)的解，其中.因此，方程的尺度不变Sobolev空间为，其中，当时方程是临界的类似地，当时它是次临界的，当时它是超临界的.
　　1.2 Zakharov-Kuznetsov方程的物理来源
　　若考虑非等温等离子体的慢动作，它位于均匀的磁场H0中(它的特征频率;为回旋加速器的频率)，我们能用流体力学方程描述，其中密度为，离子速度为v，设电场是有势的，
　　(1.5)
　　(1.6)(1.7)
　　这组方程描述了两种类型的振荡：离子声速和回旋加速器.在长波极限下有色散要素
　　其中rd为Debye半径，为音速从(1.7)可以得到长波振荡电子位
　　和非线性与弱非线性的关系
　　从(1.6)中消去可得
　　将方程(1.5)—(1.8)分裂为低频运动和离子音速振荡，此时可得离子音速波，离子速度可近似沿着z轴，即磁场方向.此时，描述离子声振荡
　　(1.9)
　　离子声速振荡的群速度直接沿着磁场，此时波传播在相反的方向，和另一个弱相互作用.此时(1.8)，(1.9)可化为一个方程
　　(1.10)
　　(1.10)为方程空间上的拓展.沿磁场方向作变换
　　可得(1.9)的无量纲形式
　　(1.11)
　　(1.11)进一步可写为形式
　　其中Hamilton出数究[81]为
　　考虑(1.11)的正常孤立波解，可得
　　(1.12)
　　当时指数衰减.为简单化，设为球对称，满足方程
　　由(1.12)得易证孤立子Lyapunov是稳定的，这是由于
　　1.3从Euler-Poisson方程推导ZK方程
　　考虑用磁场等离子体的非线性离子声波的Euler-Poisson方程推导方程
　　(1.13)
　　考虑在，附近的线性化方程组[42]
　　其中.平面波，fc3)的色散关系满足
　　或者

目录
“非线性发展方程动力系统丛书”序
前言
第1章 Zakharov-Kuznetsov方程的物理背景和基本性质.1
1.1 Zakharov-Kuznetsov方程简介 1
1.2 Zakharov-Kuznetsov方程的物理来源 2
1.3 从Euler-Poisson方程推导 ZK 方程 4
第2章 Zakharov-Kuznetsov方程的适定性 10
2.1 空间变量对称化和Bourgain空间介绍 11
2.2 双线性估计的证明 12
2.2.1 **类情形:高模 14
2.2.2 第二类情形:低模，非平行 15
2.2.3 第三类情形:低模，几乎平行 33
第3章 Zakharov–Kuznetsov孤立子解的渐近稳定性 67
3.1 ZK 方程的孤立子与线性化算子 67
3.1.1 椭圆型问题 67
3.1.2 主要结果 68
3.2 线性Liouville性质 75
3.2.1 单调性 75
3.2.2 定理3.6的证明 80
3.2.3 双线性形式HA的强制性 83
3.3 非线性Liouville性质 86
3.3.1 孤立子附近解的调制 86
3.3.2 单调性 88
3.3.3 定理3.5的证明 98
3.3.4 双线性形式*的强制性 101
3.4 渐近稳定性的证明 103
3.5 N-孤立子和的稳定性 122
3.5.1 问题简化 122
3.5.2 证明简化情况 124
附录 3.A谱性质的数值估计 128
3.A.1 计算方法 129
3.A.2 计算结果 130
附录 3.B (3.273)的证明 131
附录 3.C 能量空间中的线性波与渐近稳定性 133
附录 3.D 证明定理 3.7 134
第4章 二维Zakharov-Kuznetsov方程的孤立子不稳定性 135
4.1 不稳定性的定义及主要结论 135
4.2 广义 ZK 方程局部存在性和线性算子L 136
4.3 解依 Q 的分解和调制理论 139
4.4 Virial 型估计 147
4.5 单调性 149
4.6 临界gZK的Q的H-1不稳定性 152
第5章 Zakharov-Kuznetsov方程的爆破解 159
5.1 局部估计和基态解的性质 163
5.2 构造一系列行为良好的解 165
5.2.1 弱收敛的稳定性 171
5.2.2 *具有指数衰减 178
5.2.3 *的限制 .190
5.3 命题5.1中(1)的证明.192
5.4 命题5.1中(2)的证明.192
5.5 命题5.2的证明 200
5.5.1 线性Liouville定理 203
5.5.2 线性Virial估计 204
附录5.A *209
附录 5.B w的转换* 213
附录5.C 谱性质的数值方法 218
5.C.1 转移项的离散化 219
5.C.2 映射后的Chebyshev插值点 220
5.C.3 数值结果 221
5.C.4 基态Q的计算 222
参考文献 224
“非线性发展方程动力系统丛书”已出版书目 229