《广义分式优化理论及其在雷达信号处理中的应用》系统阐述并分析了现有的分式优化理论，在此基础上发展了广义分式优化理论，解决了包含复杂分式约束、复杂分式目标函数的优化难题，并将其应用于雷达信号处理问题中。《广义分式优化理论及其在雷达信号处理中的应用》共?9?章，主要包括广义分式优化理论、自适应波束形成、雷达通信一体化波形设计、多基站（协同）波形及接收机联合设计、多普勒容忍以及增强目标模式可分性的波形设计等雷达信号处理应用。在对应的问题研究中，《广义分式优化理论及其在雷达信号处理中的应用》侧重数学层面的推导，从基础出发，注重方法的研究和创新，并结合工程需求，以实际问题驱动研究，知识结构完整，列举了大量的工程实例。

第1章 广义分式优化理论
　　本章*先介绍分式优化的应用及研究现状，其次讨论当前分式优化面临的挑战，*后引入广义分式优化理论与算法框架。
　　1.1 分式优化的应用及研究现状
　　分式优化（fractional programming，FP）是指目标函数或约束集包含比率项（ratio）的一类数学优化问题[14]。该问题在信号处理、通信、机器学习、图像处理等领域具有广泛的应用。例如，在无线通信系统中，考虑在给定时间内，从发射端可靠地传输到接收端的数据量与所消耗能量之比来评价通信系统的效率[4]；在信号处理中，考虑处理前后信号功率与干扰、噪声、干扰加噪声功率之比，即信干比、信噪比、信干噪比的提高来评价信号处理方法的优劣[5]；在机器学习领域中，线性判别分析方法以类内散度与类间散度之比作为指标进行样本的特征提取与降维[6]；在图像处理中，以椭圆拟合误差平方与椭圆方程限制项之比构造广义瑞利熵形式的优化问题，利用广义特征值分解进行椭圆拟合[7]。除此之外，分式优化也是经济学、管理科学等众多学科的重要与核心技术之一[8]。
　　信号与信息处理领域广泛采用信噪比（或干信比）、似然比、增益系数、衰减系数、相对电平、效率指标、传递函数以及瑞利熵等分式形式的数学表征，这些以比值或除法关系构建的模型及其优化需求，充分展现了分式优化方法在该领域的重要应用价值。但需要指出的是，当前分式优化理论的研究进展仍显滞后，国内外学者近年的研究成果本质上仍未突破20世纪60～70年代由Marto、Dinkelbach、Charnes和Cooper等学者奠定的理论框架[911]，现有方法仅适用于目标函数显含分式结构的简单优化问题。另外，直接求解带有分式约束的优化问题通常被认为是不可能的，导致面对分式约束工程问题时只能采取“近似”“松弛”分式或者“回避”分式的策略[1218]，往往不能挖掘出原始问题的*优特性或者在建模时就已经偏离了工程问题的本源，导致*终获得的结果并不理想。
　　接下来以具体分式优化模型进行讨论与分析，简要介绍国内外的相关研究现状及发展动态。综合考虑国内外著名的分式优化文献[1～44]可以得知，一般分式优化问题具有如下形式：
　　（1.1）
　　式中，目标函数的分子和分母分别为向量的函数，而的可行域[12]通常为、、、等非分式形式的简单约束。虽然分式优化在通信、信号处理、机器学习、图像处理等领域有着广泛的应用，但由于其同时具有非凸性和非线性这些难点，仍是数学优化领域具有挑战性的科学问题之一。现有的分式优化方法大致可以分为三类[924]。**类是由Martos于1964年提出的双*线规划（hyperbolic programming）算法[9]，但它仅能求解目标函数的分子和分母均为线性函数的分式优化问题，即
　　（1.2）
　　第二类是由丁克尔巴赫（Dinkelbach）于1967年提出的参数化方法[10]，通过引入比率辅助变量迭代求解一系列更容易求解的子问题：
　　（1.3）
　　然后更新代入式（1.3）。
　　第三类是1962年以算法提出者名字命名的查恩斯（Charnes）-库珀（Cooper）变换为基础的算法[11]，通过变换：
　　（1.4）
　　将特定分式优化问题转换为等价凸问题。
　　现有的研究成果仍属于20世纪60～70年代专家们提出的这些**方法的变种。国际方面，意大利的Aubry博士等近期推广了Dinkelbach算法，用于求解目标函数具有*小化*大值（minmax）形式的分式优化问题[24]，并成功应用于雷达波形和多普勒滤波器组联合设计问题；此外，他们针对分式分子和分母中的二次型矩阵具有特普利茨（Toeplitz）特点[25]，结合谱分解方法将分子和分母中的二次型转换为线性形式，进而直接利用Charnes-Copper变换[11]求解。文献[26，27]针对Dinkelbach算法发展了其对偶形式的参数化方法，并结合邻近点算法应用于求解极大极小化分式优化问题[27]。加拿大Yu Wei教授等扩展Dinkelbach思路发展了一种二次变换，用于求解比率和分式优化问题[28，29]，并推广至矩阵分式优化[30]，成功应用于通信系统的功率控制和波束形成等问题。意大利的Zappone博士等将Dinkelbach算法和Charnes-Cooper算法应用于通信中的能效*大化设计[4]，并在Dinkelbach框架下结合平方和构造分式多项式优化算法[31]。文献[32]将分式目标函数像Dinkelbach算法那样转换为减法运算，不同之处在于Dinkelbach算法中的比率辅助变量根据实际经验被赋予常量，并应用于目标定位中的传感器布设问题。美国加利福尼亚大学的Bullo教授等基于似然比检验用于多假设决策问题，构造了线性分式优化问题，用于*优目标检测的传感器选择问题[33]。香港科技大学的Palomar教授等构造了正则化功率比分式优化模型，结合Dinkelbach算法和*大*小化（majorization-minimizaiton，MM）算法用于谱约束的恒模波形设计[34]。
　　国内方面，广东工业大学的黄永伟教授等针对阵列信号处理中的导向矢量估计问题，利用半正定松弛将二次分式优化问题转换为线性分式优化问题，接着利用Charnes-Cooper变换进行分式优化问题求解[35，36]。宁波大学的Wang等构造了用于混合近场源和远场源定位的分式优化模型，并将分式分母限定为常数，本质是将Dinkelbach算法中的分式比率转移到约束集[37]。大连理工大学的Liu等构造了隐Dinkelbach算法求解以风险回报比为目标函数的分式优化模型[8]。成都电子科技大学的Cui等*大化输出端信干噪比进行发射波形和接收机的联合设计，发展了Dinkelbach形式的算法进行分式优化模型的求解[5]。浙江中青年学科带头人Fang等基于极大极小化信干噪比准则进行波束形成器的设计，并基于Dinkelbach算法进行分式优化模型的求解[38]，需要指出的是，该文献建立的数学模型的约束集中存在分式项，作者通过近似转换分式为非分式运算简化了整个算法的执行。中山大学的Li等采用Dinkelbach算法通过引入比率辅助变量去除分式运算，然后利用限制的凹-凸过程形成了半正定规划求解分式优化问题，并成功应用于认知协同波束形成[39]。西安电子科技大学的Feng等构造了广义瑞利熵分式优化模型，通过逆功率方法进行了自适应无限冲激响应（infinite impulse response，IIR）滤波器系数的求解[40]。西北工业大学的Jing等对包含谱特性的波形设计[41]（上述文献[34]采纳和跟随了文献[41]中的分式优化模型）、小动态范围激励幅度方向图综合[42，43]、MIMO雷达方向图综合[44]等问题建立了目标函数中包含分式项的分式优化模型，在求解上借助了Dinkelbach算法比率辅助变量和转移辅助变量到约束集的思想，并结合非凸优化方法求解。由于篇幅有限以及作者从信号处理应用的角度考虑，关注点有限，可能会有疏漏。
　　现有文献的分式优化问题中，目标函数除了具有式（1.1）描述的单比率形式外，还具有如下复杂的比率和、比率积、极大极小化比率等多比率形式：
　　（1.5）
　　（1.6）
　　（1.7）
　　1.2 当前分式优化面临的挑战
　　从以上国内外研究现状可以看出：一方面，现有方法仅能求解如上所述的目标函数存在分式项的简单分式优化问题，仍无法处理约束集包含分式项、约束集和目标函数均包含分式项的分式优化问题；另一方面，比率作为一种常用的信号/信息评价指标、测度，不可能只作为目标函数，在实际应用中，比率项也可作为约束集中的约束[38]、其他指标或测度作为目标函数，这是可能的也是现实的，即约束集可能包含具有分式形式的约束，如
　　（1.8）
　　（1.9）
　　（1.10）
　　其中，为复数集。
　　直接求解带有分式约束的优化问题通常被认为是不可能的，这导致面对分式约束工程问题时采取了“近似”“松弛”分式或者“回避”分式的策略[1218]。例如，设计IIR滤波器时，松弛或采取一阶泰勒近似分式为多项式表达[1214]；在天线阵列方向图综合时，评价标准采用激励的幅度动态范围比率（分式），但数学建模及求解的是*大幅度和*小幅度的差（非分式）[15]；在*优传感器布局问题中，评估采用费希尔（Fisher）信息矩阵的逆矩阵对应的克拉默—拉奥下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB）（分式），而建模时却*大化Fisher信息矩阵的行列式值[4547]或者优化Fisher信息矩阵的*大特征值[48]（非分式）。显然，在评价时以信（干）噪比、效率等分式指标作为标准，而在建模、求解时采取“近似”“松弛”分式或者“回避”分式的策略，不能挖掘出原始问题的*优特性或者在建模时就已经偏离了工程问题的本源，从而无法获得*佳效果。
　　随着第五代移动通信技术（5th generation mobile communication technology，5G）乃至未来第六代移动通信技术（6th generation mobile communication technology，6G）无线通信的发展，全球无线通信设备数量呈现爆炸式增长趋势，对无线频谱的需求日益迫切。2018年11月14日，美国联邦通信委员会完成了第1次5G频段竞拍，其中，28GHz频段以6亿美元成交。根据报道，至今全世界将有超过7.5×1010台互联设备，这使发掘额外的频谱资源更加迫在眉睫。为了缓解这一矛盾，未来的通信系统将要探索与其他电子设备在同一频段下共存的可行性。雷达通信一体化（radar-communication integration，RadCom）应运而生[4964]，旨在将雷达和通信功能通过同一套系统完成，降低硬件成本，节约频谱资源，这已成为当今研究的热点问题。
　　在雷达通信一体化系统中，既要保证雷达探测、感知的效果，同时还要保障通信性能。为了在更深层次上实现雷达和通信一体化，关键技术之一在于解决雷达通信一体化波形设计的问题。以双功能MIMO雷达通信系统的一体化波形设计为例，既要考虑MIMO通信系统的下行链路用户的总速率（sum-rate，SR）[1618]，还要考虑MIMO雷达探测感知时不同目标方向估计的精度。在这些对可靠性、鲁棒性要求较高的系统或工程应用中，根据工程需求，为了集中变量的自由度，*大程度提升当前系统*为重要、影响*大的*要特性（“卡脖子”指标），需要对多个性能指标进行有界限定，避免现有加权多个性能指标形成所谓的“多目标优化”策略，无法精细化调控每一个性能的不足。除了上述“多目标优化”建模无法精细化调控每一性能指标的不足外，现有双功能集中式MIMO雷达通信一体化波形设计的研究还存在如下不足。
　　（1）尽管一些方案减小了下行链路MUI的能量（二次多项式），这直觉上增加了SR，但SR本质上是一个复杂分式，二者并不等价。此外，现有的许多算法优化MUI（非分式）作为目标函数，但在评价阶段又采用总速率（分式）作为评价标准[1618]。显然，优化和评价标准的不一致从建模开始就已经注定无法从本源上解决问题获得*佳特性。
　　（2）克拉默—拉奥下界，以Fisher信息矩阵的逆矩阵的对角线元素作为雷达目标参数估计精度的标尺、极限。因此，如果基于波形构造的CRLB越小，意味着参数估计的潜在精度就越高。然而，现有优化CRLB的算法在建模时*大化Fisher信息矩阵的行列式值[47]或者优化Fisher信息矩阵的*大特征值[48]（非分式），但评价阶段评估Fisher信息矩阵的逆矩阵的对角线元素，即克拉默—拉奥下界（分式）。显然，这种优化模型和评价标准的不一致从建模开始就已经注定无法从本源上解决问题获得*佳特性。

目录
前言
第1章 广义分式优化理论 1
1.1 分式优化的应用及研究现状 1
1.2 当前分式优化面临的挑战 4
1.3 广义分式优化理论与算法框架 6
1.3.1 广义分式优化理论 6
1.3.2 基于上述广义分式优化理论与算法框架求解优化问题式（1.6）+式（1.8） 11
1.3.3 基于上述广义分式优化理论与算法框架求解优化问题式（1.7）+式（1.8） 12
参考文献 13
第2章 用于常模波形估计和干扰抑制的两阶段波束形成方法 18
2.1 背景知识 18
2.2 问题形成 20
2.3 问题求解 23
2.3.1 求解式（2.14） 24
2.3.2 求解式（2.16） 28
2.4 扩展至导向矢量不精确场景 30
2.5 仿真结果 35
2.5.1 算法WEIS的特性 35
2.5.2 算法WEIS-R的特性 41
2.6 本章小结 45
参考文献 45
第3章 基于通信总速率及克拉默—拉奥下界的MIMO-DFRC系统波形设计 50
3.1 背景知识 50
3.2 问题描述 51
3.3 算法发展 53
3.3.1 式（3.9）对应问题求解 53
3.3.2 式（3.10）对应问题求解 62
3.4 仿真实验 65
3.5 本章小结 72
附录 关于CRLB的推导 72
参考文献 73
第4章 基于符号距离/方向判别的MIMO-DFRC系统波形设计 78
4.1 背景知识 78
4.2 问题描述 80
4.2.1 系统描述 80
4.2.2 模型建立 80
4.3 距离判别算法推导 84
4.4 方向判别算法推导 88
4.5 仿真实验 91
4.6 本章小结 96
参考文献 96
第5章 发射装置非完善条件下的雷达通信一体化波形设计 99
5.1 背景知识 99
5.2 问题描述 101
5.2.1 无需模板的发射波束 101
5.2.2 无需模板的空间谱 101
5.2.3 MUI能量 102
5.2.4 硬件缺陷模型 102
5.2.5 问题形成 104
5.3 算法1 107
5.4 算法2 112
5.5 仿真结果 117
5.5.1 测试两种算法的收敛性 118
5.5.2 算法 1 的波束图及误码率 121
5.5.3 算法 1 对波形失真的鲁棒性测试 123
5.5.4 算法 2 的波束图、误码率和空间频谱 125
5.6 本章小结 128
参考文献 129
第6章 具有低旁瓣特性的雷达通信一体化波形设计 131
6.1 背景知识 131
6.2 问题描述 132
6.2.1 给定MUI并*小化 PSLR 134
6.2.2 给定PSLR并*小化 MUI 与主瓣能量比 135
6.3 算法推导 136
6.3.1 GMBI-PPSLR算法推导 136
6.3.2 GMBI-PMUI算法推导 141
6.4 仿真及分析 146
6.4.1 GMBI-PPSLR 与 GMBI-PMUI 算法分析 146
6.4.2 空间合成信号鲁棒性分析 150
6.4.3 与现有算法对比 151
6.5 本章小结 153
参考文献 153
第7章 具有高多普勒容忍性的波形设计 156
7.1 背景知识 156
7.2 问题描述 158
7.3 算法推导 159
7.4 仿真结果 165
7.4.1 算法性能分析与对比 166
7.4.2 采样率-带宽比与多普勒容忍性的关系 168
7.4.3 多目标脉冲压缩实验 170
7.5 本章小结 171
参考文献 171
第8章 用于协同感知的多波形及非匹配滤波器组设计 173
8.1 背景知识 173
8.2 问题描述 173
8.3 算法推导 175
8.4 仿真实验 188
8.5 本章小结 196
参考文献 196
第9章 雷达目标模式可分性驱动的波形设计 197
9.1 背景知识 197
9.2 问题描述 198
9.2.1 可分性准则回顾 198
9.2.2 问题形成 200
9.3 算法发展 202
9.3.1 算法 1 203
9.3.2 算法 2 209
9.4 仿真结果 213
9.4.1 仿真数据 213
9.4.2 电磁仿真数据 217
9.4.3 MSTAR CSV 数据库 219
9.5 本章小结 221
参考文献 221
彩图