第1章**力学中的几何相位
1.1傅科摆
在1984年，M.Berry发现依赖于外参数的量子体系在经历周期性绝热过程后会获得一个几何相位[1]，这就是著名的贝里(Berry)相位。该发现迅速在全世界物理学界引起巨大的轰动。时至今日，几何相位已经成为现代物理理论中不可或缺的重要概念之一。几何相位有一个重要的特点，就是它对参数空间的几何结构有着深刻的依赖。其实，几何相位在**物理体系中也并不罕见，在电磁学、光学中都可以找到它的踪影，如阿哈罗诺夫–玻姆效应(Aharonov-Bohm)相位。几何相位的研究历史可上溯到1956年，当时印度科学家S.Pancharatnam在对**偏振光干涉的研究中就注意到这一相位[2]，但在当时并未引起科学界的重视。
在Berry相位被发现后的第二年，物理学家J.Hannay也在**力学的拟周期运动中发现了非常类似的现象[3]，即**力学中的几何相位，也被称为Hannay角。著名的傅科摆的进动实际上就是牛顿力学体系中几何相位的体现，我们以此为例阐述一下几何相位的物理图像。如图1.1所示，考虑在地球纬度为θ处的一个傅科摆，假设地球自转角速度为Ω。在傅科摆所在的地点建立直角坐标系，注意到地球本身并非惯性系，因此摆末端的运动方程为
(1.1)
其中，，方程右边**项为重力，第二项为摆绳的拉力，第三项为科里奥利力，第四项为地球自转导致的惯性离心力。该方程的解描述了单摆在缓慢旋转的非惯性系中的振动，其振动平面在地球自转的影响下缓慢旋转(即单摆的进动)，因此Ω可以理解为外参数。令傅科摆的振动频率为ω，一般情况下有。假定傅科摆的顶端固定，因此。另外，由于地转离心力正比于Ω2，因此也可以被忽略。受地球自转的影响，重力F的方向并不严格指向球心，即.ez方向(因为地球对傅科摆万有引力的一部分要抵消离心力)。它与拉力T的综合效应可以近似为傅科摆在该xy–平面上振动的驱动力，因此有
(1.2)
图1.1位于纬度θ处的傅科摆
其中，Ωz=Ωcosθ，为Ω在纬度θ处的分量。令w=x+iy，方程(1.2)可写为
(1.3)
这是一个常系数二阶微分方程，我们希望寻找形为w(t)=eλt的解，可得对应的特征方程
(1.4)
其特征根为
(1.5)
因此傅科摆的通解为
(1.6)
其中，括号内代表傅科摆在振动平面内的振动，而e-iΩzt代表在科里奥利力的驱动下，振动平面本身的缓慢转动。在地球自转一个周期后，坐标系回到初始状态，而傅科摆的振动平面会转过角度
(1.7)
显然，在赤道上傅科摆没有进动。从图1.1可清楚地看出，实际为地球自转一圈后傅科摆在地球上转过的路径相对球心的立体角，这是一个典型的几何相位，它仅仅依赖于所在的纬度，而与傅科摆的具体运动毫无关系。此外，通解(1.6)的括号内的项在地球自转一周内给出相位
(1.8)
这是傅科摆在一昼夜运动所积累的动力学相位。由此我们可以对几何相位有一个初步的印象：所取坐标系(参数空间)上的周期性变化，会使得系统的取向(单摆振动平面)发生改变(几何相位)。
1.2**力学中的几何相位理论
傅科摆运动可以理解为给可解的平面单摆运动附加一个缓慢的周期扰动(地球自转)，这一扰动也被称为“绝热的”à。从这个例子中，物理学家可以获取如何定义**几何相位的灵感，但要准确定义这一概念，却远比量子几何相位烦琐，需要引入相当多的概念，不过这并非本书的重点。本章将尽量避开复杂的细节，对**力学中的几何相位作简单介绍。
1.2.1哈密顿力学与辛几何
先从几何角度对哈密顿力学作简单介绍，一方面为引入**力学的几何相位作铺垫，另一方面也便于以后与量子力学的几何结构作对比。要描述任一**动力学系统需要两个基本要素：用以刻画系统物理状态的集合——相空间P，以及作用于P上的向量场X，而X定义了系统的动力学。具体而言，若x∈P，则系统的动力学方程满足
(1.9)
哈密顿力学系统是一种特殊的动力学系统，其相空间上的点由广义坐标(q1，？？？，qN)以及与之共轭的广义动量(p1，？？？，pN)组合而成。因此哈密顿力学系统的相空间总是偶数维的：dimP=2N。其动力学由哈密顿正则方程给出
(1.10)
其中，H为**哈密顿量。对比式(1.9)，我们自然会问：决定哈密顿动力学的向
量场XH是什么？这需要从哈密顿力学系统的辛几何结构说起。
定义1.2.1一个辛几何流形由二元组(P，Ω)描述，其中P为流形，而Ω为非退化的二阶闭形式，即满足：①dΩ=0；②若对任意矢量Y∈TxP(x∈P)，都有Ωx(Y，Z)=0，则必有Z=0。通常Ω也被称为辛形式。
展开
