本书分为7章,主要介绍线性空间,线性变换,酉空间,特征值与 Jordan 标准形,向量和矩阵的范数,矩阵分析、矩阵分解、特征值的估计与广义逆矩阵,在书中加入了相应的应用实例,并给出了一定量的习题,这些习题和应用有助于读者对矩阵理论内容的理解提高和解决实际应用问题的能力.

本书可作为理工科院校信息与通信工程、兵器科学与技术、机械工程、生物医学工程、仪器科学与技术、计算机科学与技术、软件工程、力学、仪器仪表工程、人工智能、新一代电子信息技术、轨道交通运输等专业的研究生学习用书和辅导用书,也可为相关专业和领域的教师和科研人员提供实用的参考。

第 1 章 线性空间

1.1 线性空间
1.1.1 数域
1.1.2 线性空间的定义及其性质
1.1.3 线性空间的基和维数
1.1.4 基变换与坐标变换
1.1.5 线性空间的同构
1.2 线性子空间
1.2.1 线性子空间的定义
1.2.2 向量组生成的子空间
1.2.3 子空间的交与和
1.2.4 子空间的直和
习题 1

第 2 章 线性变换

2.1 线性变换的定义
2.2 线性变换的运算
2.2.1 线性变换的乘积
2.2.2 线性变换的加法
2.2.3 线性变换的数量乘法
2.2.4 线性空间的逆变换
2.2.5 线性变换的多项式
2.3 线性变换的值域与核
2.4 不变子空间
2.5 线性变换的矩阵
2.6 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
2.7 数字信号处理中的线性变换
习题 2

第 3 章 酉空间

3.1 酉空间的定义与性质
3.2 正交向量组
3.3 标准正交基的求法
3.4 正交子空间
3.5 酉空间的同构
3.6 最小二乘法
3.7 酉变换
3.8 对称变换
3.9 应用实例
3.9.1 尺度变换
3.9.2 基于压缩感知和图像分割的图像复原算法
习题 3

第 4 章 特征值与 Jordan 标准形

4.1 特征值与特征向量
4.2 对角矩阵
4.3 λ- 矩阵的等价标准形
4.4 λ- 矩阵的等价不变量
4.5 λ- 矩阵可逆的条件及数字矩阵的相似
4.6 矩阵的 Jordan 标准形
4.7 哈密顿 - 凯莱定理 最小多项式
4.8 应用实例 —— 军事评价中各指标重要性的确定问题
4.8.1 背景描述
4.8.2 问题的数学描述与分析
4.8.3 应用举例
习题 4

第 5 章 矩阵分析

5.1 矩阵范数
5.1.1 向量范数
5.1.2 矩阵范数
5.1.3 向量范数与矩阵范数之间的关系
5.2 向量与矩阵的极限
5.2.1 向量的极限
5.2.2 矩阵的极限
5.2.3 矩阵序列的性质
5.2.4 函数矩阵的极限及连续性
5.3 矩阵的微分与积分
5.3.1 矩阵的微分
5.3.2 矩阵的积分
5.4 级数
5.4.1 矩阵级数
5.4.2 矩阵幂级数
5.5 矩阵函数及其应用
5.5.1 矩阵函数
5.5.2 矩阵谱上的矩阵函数的多项式表示
5.5.3 矩阵函数的性质
5.5.4 矩阵函数在微分方程中的应用
习题 5

第 6 章 矩阵分解

6.1 矩阵的谱分解
6.2 矩阵的三角分解
6.3 矩阵的满秩分解
6.4 矩阵的 QR 分解
6.5 矩阵的奇异值分解
6.6 应用实例 ——LU 分解求解线性方程组
习题 6

第 7 章 特征值的估计与广义逆矩阵

7.1 特征值界的估计
7.2 圆盘定理
7.3 广义逆矩阵与线性方程组的解
7.4 应用实例
7.4.1 圆盘定理在火炮控制系统的稳定性分析中的应用
7.4.2 圆盘定理在图论与网络分析中的应用
习题 7

参考文献