第1章 绪论
1.1 研究背景
水波是人们常见到的波动之一，根据波长或周期频率的不同，水波可分为毛细波、重力波、长周期波以及潮波等。而海水的大规模流动也很常见，比如，潮汐现象可引起周期性的潮流，作用于广阔海面上的大气运动形成风生环流，海洋中有环流，在河口地区有较强的径流作用，在近海海域还有沿岸流。不同尺度的波与流之间都存在耦合作用，典型的形式有潮流、径流、风生环流与波浪耦合作用，孤立波与流耦合作用，周期性规则波与流耦合作用，不规则波与流耦合作用，内波与流耦合作用，波和流与结构物的耦合作用等。可见，波流耦合作用作为一种非常普遍的物理现象值得研究。
同时，研究并理解波流耦合作用对人类开发海洋资源具有重要意义。我国南海油气资源丰富，然而波流环境复杂。以流花油田群为例，它是目前南海开发产量*大的新油田群(高峰年产约420万立方米)，其中流花16-2、流花20-2及流花21-2油田群是目前中国海油开发的*深水油田群，该油田群所在海域也是中国南海环境条件*为恶劣的海域，百年一遇有义波高达13.6m，表面流速达2.5m/s，给深水平台、浮式生产储卸油装置及管缆设计带来了巨大挑战。可见，波流耦合作用是在复杂环境中开发海洋需要解决的关键问题之一。因此，波流耦合作用研究是国内外研究的热点。
要开发利用海洋，就必须认识海洋，波流耦合作用的影响是我们开发利用海洋及沿海资源、保护海洋环境所必须深入了解的，这就决定了研究波流耦合作用的重要意义和紧迫性。本书主要研究小尺度范围内波流(耦合)场，可以为海洋结构物的安全设计提供准确的波流场环境。
1.2 发展历程与研究现状
层析水波理论(赵彬彬等，2014)可以分为Green-Naghdi模型(简称GN模型)和无旋的(irrotational)Green-Naghdi模型(简称IGN模型)，这两种模型各自又可以分为有限水深和无限水深形式。该理论引入了流体质点运动速度沿垂向不同流体层之间变化的解析表达式，因此取名为层析水波理论。
本书重点介绍既可以求解无旋流动又可以求解有旋流动的层析水波理论GN模型。下面先介绍层析水波理论GN模型的发展历程。
GN模型*先由Green等(1976)提出并用来分析非线性自由表面流动问题。传统的GN模型假设流体质点的水平速度沿水深方向(垂向)不发生变化，但是没有引入弱非线性的假设，因此可以用来分析浅水中的强非线性弱色散性波浪(该理论后来被称为**级别GN模型)。
Shields等(1988)对传统GN模型进行了改进，允许流体质点水平速度沿垂向呈多项式变化，但是由于推导方法存在一定的不足，导致方程非常复杂，难以用于水波问题的数值模拟和应用。Demirbilek(1992)使用该理论进行非线性水波的数值模拟，其研究只停留在流体质点水平速度沿垂向线性变化的层次(该理论后来被称为第二级别GN模型)。
通常情况下，上述**级别GN模型和第二级别GN模型计算结果是不同的，当时又无法实现更高级别GN模型的数值模拟，那么就带来了一系列问题：更高级别如第三、第四级别GN模型的计算结果如何？与第二级别GN模型计算结果相同还是不同？每个级别GN模型计算结果是否都不同？哪一个级别GN模型的计算结果是正确的？由于无法实现第二级别以上的高级别GN模型数值模拟，这些问题无法解答，GN模型也在近20年(从1992年到2010年)的时间里停滞不前。
赵彬彬和段文洋及其合作者(Zhao et al.， 2014a， 2014b; Zhao et al.， 2012; Zhao et al.， 2011; Zhao et al.，2010)突破了近20年来GN模型中流体质点速度沿垂向不变或仅能线性变化的限制，对第三至第七级别的GN模型进行了研究和分析(实际上，根据研究问题的需要，他们也能实现第七级别以上的GN模型数值模拟)，大幅提高了GN模型的应用级别。
第三至第七级别的GN模型分别对应于流体质点水平速度沿垂向二次至六次多项式变化的假设，其能力和适用范围大幅提升和扩展，可以对有限水深和深水中的强非线性强色散性波浪等复杂水波问题进行模拟，突破了浅水弱色散性的限制。
另外，赵彬彬和段文洋发现对于所研究的水波问题，升高GN模型的级别，其计算结果总是收敛的。且当升高到一定级别后，计算结果不再随级别升高而发生变化，后续研究表明收敛的GN模型结果是欧拉方程的准确解。
赵彬彬等(2020a)使用IGN模型对众多水波问题进行了研究。然而GN模型与IGN模型不同，前者推导出发点是欧拉方程，推导过程中也没有引入流动无旋假设，因此流动有旋或无旋均可，高级别的GN模型不但可以对无旋流动问题进行研究，也可以对有旋流动问题进行研究。
Duan等(2018)利用GN模型得到了线性剪切流中孤立波的稳态解，包括波形、波速和速度场。随后，Wang等(2020)利用GN模型研究了非线性剪切流中孤立波的速度场和涡量场。Li等(2023)利用GN模型对背景剪切流中的孤立波碰撞问题进行了研究。Zhao等(2023)利用GN模型对波浪与各种不同形式的剪切流耦合问题进行了研究。上述研究表明了GN模型对波流耦合问题的数值模拟能力。
本书针对层析水波理论波流耦合模型，重点介绍其理论、算法、源码、波流耦合问题的模拟等。下面先对波流耦合问题的研究现状进行介绍，一方面读者可以更多了解波流耦合问题，另一方面是为了指出本书中用于对比和验证的其他学者的相关工作。
线性波流耦合模型理论的研究方面，Thomas(1981)给出了二维情况下，平整海底上任意垂向变化的背景流与规则波相互作用的线性解。之后的一些研究也考虑了缓慢变化海底情况下的线性解(Touboul et al.， 2016; Li et al.， 2019)。除线性解外，Swan等(2000)利用摄动分析法，得到了任意背景流中小波幅规则波的二阶解。一些研究也推导出了更高阶的解(Kishida et al.， 1988; Hsu et al.， 2009; Chen et al.，2012)。
非线性波流耦合模型稳态解的研究方面，均匀流条件下，Chaplin(1979)利用流函数波浪理论，给出了求解规则波稳态解的方法。线性剪切流条件下，Dalrymple (1974)使用流函数公式的级数展开，研究水波的传播，给出了规则波的稳态解。其他研究也利用不同方法，求解线性剪切流中规则波的稳态解(Teles da Silva et al.， 1988; Choi， 2009)。一些学者也研究了非线性剪切流中规则波稳态解的求解方法(Dalrymple et al.， 1976; Dalrymple， 1977; Ko et al.， 2008; Amann et al.， 2017; Chen et al.，2021)。
非线性波流耦合模型时域数值模拟方面，Abbasnia等(2018)基于混合欧拉-拉格朗日方法，使用非均匀有理B样条(NURBS)，建立了NURBS数值水池，模拟了均匀流中的规则波和不规则波。Yang等(2022)建立了一种深度积分波流耦合模型，使之可以考虑任意形式的背景流，模拟了规则波与几种非线性剪切流的相互作用。除此之外，一些学者利用边界积分法(Nwogu， 2009)、高阶谱方法(Guyenne， 2017)、深度积分法(Son et al.， 2014; Yang et al.， 2020)、OpenFOAM(Chen et al.， 2019; Kumar et al.， 2023a， 2023b)、STAR-CCM+(丁俊杰， 2019; 姚顺等， 2021a， 2021b)、波流边界层模型(吴永胜等， 2001)、COBRAS模型(Chen et al.， 2014)、SPH方法(Yang et al.， 2023)和其他计算流体动力学(computational fluid dynamics， CFD)方法(程晗怿等， 2014; Zhang et al.，2014)进行了非线性波流耦合时域数值模拟。
波流耦合模型物理实验方面，一些研究给出了规则波与均匀流(Brevik， 1980; Umeyama， 2011， 2018; Chen et al.， 2012; Chen et al.， 2017; 宋永波， 2017)、非均匀剪切流(Swan， 1990; Swan et al.， 2001; 宋永波， 2017; Steer et al.，2020)相互作用的物理实验数据。本书后面几章中将会用到部分上述研究的结果，用于对比、验证和分析。
1.3 本书主要内容
本书内容主要分成以下四个部分。
**部分：*先介绍了波流耦合作用研究的背景和意义，然后介绍了层析水波理论、线性波流耦合模型理论、非线性波流耦合模型稳态解、非线性波流耦合模型时域数值模拟、波流耦合模型物理实验方面的研究现状，对应本书第1章。
第二部分：主要介绍了层析水波理论波流耦合模型和数值算法，并详细介绍了Fortran程序源码，便于其他研究学者和学生进行参考，对应本书第2～4章。具体为：介绍了水波问题的控制方程和边界条件、线性波浪理论、流函数波浪理论、层析水波理论波流耦合模型，给出了线性与非线性层析水波理论波流耦合模型的分区耦合数值算法，给出了对应的Fortran程序源码，并对源码进行了解释说明。
第三部分：主要介绍了基于层析水波理论波流耦合模型的规则波与均匀流、规则波与线性剪切流、规非线性剪切流、不规则波与背景流相互作用四类问题的数值模拟结果，并展示了验证结果，对应本书第5～8章。具体为：*先采用线性层析水波理论波流耦合模型对线性波浪问题进行数值模拟，将模拟结果与线性波浪理论结果进行对比验证，然后采用非线性层析水波理论波流耦合模型对非线性波浪问题进行数值则波与模拟，将模拟结果与流函数波浪理论结果或其他非线性数值结果或其他实验结果进行对比验证。
第四部分：主要介绍了基于层析水波理论波流耦合模型的孤立波与线性剪切流、孤立波与非线性剪切流的数值模拟结果，并进行了讨论分析，对应本书第9章。具体为：*先介绍了孤立波稳态解的求解方法，然后将稳态解计算结果作为时域数值模拟的初始值，在时域内进行模拟，验证稳态解的正确性以及时域程序的正确性和稳定性，*后对背景流中的孤立波流场进行分析。
第2章 波流耦合模型
层析水波理论波流耦合模型的建立基于质量守恒方程和动量守恒方程，满足全非线性边界条件。模型没有引入无旋假设，适合对波与各种形式背景流的相互作用进行研究。本章将*先介绍二维条件下的控制方程和边界条件，接下来介绍规则波与均匀流、线性剪切流和非线性剪切流相互作用的线性波浪理论，然后介绍规则波与均匀流、线性剪切流的流函数波浪理论，*后推导得到层析水波理论波流耦合模型。
2.1 控制方程和边界条件
在二维条件下，假设流体无黏、不可压缩，即流体密度的物质导数为0，为方便起见，本书假设密度为常数，流动无旋或者有旋均可。将二维坐标系建立在静水面上，如图2-1所示，x轴正向水平向右，z轴正向竖直向上。后文采用同样的方式建立二维坐标系，故不再给出详细说明。和分别表示自由表面和海底，为时间。海底平整时，为水深。
图2-1 静水面上的二维坐标系
流场满足的控制方程为质量守恒和动量守恒方程。质量守恒方程为
(2-1)
动量守恒方程为
(2-2)
(2-3)
其中，为重力加速度；为压力；和为考虑波流耦合作用后的总速度场。
流体运动还要满足非线性边界条件，包括自由表面运动学边界条件、自由表面动力学边界条件和底部运动学边界条件。自由表面运动学边界条件为
(2-4)
自由表面动力学边界条
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