无限维耗散动力系统是数学的一个重要分支，与其他数学分支均有广泛的联系，而且在自然科学与工程技术中有广泛的应用。《不可压缩Navier-Stokes方程的吸引子问题》主要介绍无限维耗散动力系统并应用于不可压缩Navier-Stokes方程。主要内容包括无限维系统的全局吸引子、指数吸引子和惯性流形的基本概念、存在性、构造原理和稳定性，Lyapunov指数和吸引子的Hausdorff维数、分形维数等**结论。所用的研究方法主要是算子半群理论、球覆盖定理、弱收敛方法和Fiber吸引压缩定理等。这些研究内容和研究方法可以为读者进一步学习、研究无限维耗散动力系统做必要的理论准备。
　　《不可压缩Navier-Stokes方程的吸引子问题》的主要特点是介绍基本概念和重要理论的来源和背景，强调培养读者运用数学方法解决问题的能力，注重可读性，叙述深入浅出、涉及面广，有利于读者进一步学习。

第1章全局吸引子
　　人们通常用一个或多个微分方程或差分方程描述动力系统.为了确定一个给定动力系统在较长时间内的行为，往往需要通过分析手段或迭代（通常借助于计算机）来对方程进行积分.物理世界中的动力系统往往产生于耗散系统（耗散可能来自内部摩擦、热力学损失、材料损失等许多原因），如果没有某种驱动力，运动就会停止.当耗散和驱动力趋于平衡时，初始瞬态会被消除，系统进入其典型状态.与典型状态相对应的动力系统相空间的子集是吸引子.不变集（invariant　set）和极限集（limit　set）的概念与吸引子类似.不变集是在动力学作用下向自身演化的集合，它可能包含于吸引子.极限集是一组点，这些点存在一定的初始状态，但是随着*终时间趋近无穷远时将任意接近极限集（即收敛到集合的每个点）.吸引子是极限集，但不是所有的极限集都是吸引子.
　　近年来，在动力系统理论方面有相当多的工作，这可能是由几个因素的有利融合导致的：需要了解科学技术新领域出现的新现象;计算能力的提高，使人们对动力系统的行为和混沌行为的描述有了更多的了解；新思想和新的数学工具，如S.Smale关于吸引子的工作，D.Ruelle和F.Takens提出的湍流解释机制，B.Mandelbrot对分形集的推广以及后人的研究工作；关于哈密顿系统的混沌和不可积分性的Kolmogorov-Arnold-Moser理论；区间上的映射的周期加倍机制，以及M.Feigenbaum发现的相关数字.
　　具有耗散结构的演化型偏微分方程一般具有有限维吸引子.在某些情况下，方程的扩散部分会抑制更高的频率，触发一个全局吸引子.Ginzburg-Landau方程、KuramotoSivashiiisky方程和二维Navier-Stokes方程都具有有限维的全局吸引子.对于具有周期性边界条件的三维不可压缩Navier-Stokes方程，如果它具有全局吸引子，那么该吸引子是有限维的.
　　本章主要介绍非线性动力系统吸收集和全局吸引子的存在性，并将这一理论应用于有物理背景的无限维系统：不可压缩Navier-Stokes方程.全局吸引子理论对于湍流理论研究和预测长时行为等都具有极大的理论意义和实用价值，它在船舶制造、飞机设计等行业中有着重要的指导意义.吸收集的存在性是证明吸引子存在性的一个步骤，这也是耗散方程所具有的一个性质.紧致吸引子描述了给定系统所能产生的所有可能的动力学，也称它为*大吸引子，因为它在所有有界吸引子中是*大的（对于包含关系）.*后除了给出*大吸引子有限维数的估计、展示*大吸引子的有限维之外，还根据实际物理数据估计了*大吸引子维数的上界，因为在某些特定情况下，有迹象表明这些估计界在物理上是相关的.
　　1.1算子半群
　　设丑是Hilbert空间或Banach空间，动力系统的演化是通过一簇算子来描述的.这里的满足且常用的半群性质成立：
　　（1-1-1）
　　如果中是动力系统在时刻处的状态，则是该动力系统在时刻处的状态，并且在很多情况下，半群是由微分方程的解决定的，即表示这些微分方程的解算子.对于常微分方程，有一般解的存在性理论，这可以提供解算子半群的定义.在无限维情形下，解的存在唯一性定理一般不存在，因此当研究一个给定的无限维动力系统时，必要的**步就是建立解的存在性、唯一性等相关性质.本节，我们假定算子满足下述连续性条件：
　　算子Sify不一定是单射，对于动力系统而言，的单射性质等价于系统的倒向唯一性质.当一一对应时（即单射性质成立），我们将的逆表示为，即.这样，我们就得到一簇算子，且在上满足性质（1.1.1）.需要说明的是，在无限维情形下，即使在孖中处处有定义，算子，通常在H中也不能处处定义.
　　设，在起始的轨道（orbit）或弹道（trajectory）是指集合;
　　在结束的轨道或弹道是指集合，其中映射满
　　（1-1-2）
　　（1.1.3）
　　（1.1.4）
　　（1.1.5）
　　（1-1.6）
　　（1-1-7）

目录
“现代数学基础丛书”序
前言
符号表
第1章 全局吸引子 1
1.1 算子半群 2
1.2 泛函不变集 5
1.3 吸收集和吸引子 7
1.4 吸引子的稳定性 18
1.5 二维Navier-Stokes方程 20
1.5.1 方程和数学框架 20
1.5.2 吸收集和吸引子 24
1.6 二维Navier-Stokes方程:无界区域 29
1.6.1 预备知识 29
1.6.2 整体吸引子 37
1.6.3 整体吸引子维数 41
第2章 Lyapunov指数和吸引子维数 49
2.1 线性和多线性代数 49
2.1.1 Hilbert空间的外积 49
2.1.2 多重线性算子和外积 56
2.1.3 线性算子作用在球上的集合 69
2.2 Lyapunov指数和 Lyapunov数 87
2.2.1 半群作用下体积的扭* 87
2.2.2 Lyapunov指数和Lyapunov数的定义 88
2.2.3 体积元的演化和指数衰减:抽象框架 96
2.3 吸引子的Hausdorff维数和分形维数 100
2.3.1 Hausdorff 维数和分形维数 100
2.3.2 覆盖引理 102
2.3.3 主要结论 106
2.3.4 对演化方程的应用 120
2.4 吸引子的维数和显式界 122
2.4.1 二维 Navier-Stokes方程 123
2.4.2 三维 Navier-Stokes方程 148
2.4.3 算子半群的可微性质 152
第3章 指数吸引子 155
3.1 指数吸引子简介 155
3.2 指数吸引子的建立 156
3.3 演化方程的指数吸引子 182
3.4 指数吸引子的逼近 194
3.5 指数吸引子的应用 199
3.5.1 二维Navier-Stokes方程的指数吸引子 199
3.5.2 三维Navier-Stokes方程的指数吸引子 216
3.6 谱障碍 225
第4章 惯性流形 233
4.1 锥性质 234
4.1.1 锥性质的定义 234
4.1.2 锥性质的推广 237
4.1.3 挤压性质 238
4.2 惯性流形的建立 239
4.2.1 惯性流形的建立方法 239
4.2.2 初始方程和预备方程 241
4.2.3 映射F的性质 244
4.3 惯性流形的存在性 253
4.3.1 存在性 253
4.3.2 映射F的性质 254
4.3.3 锥性质的运用 259
4.3.4 定理4.3.1的证明 270
4.3.5 定理4.3.1的更一般形式 277
4.4 惯性流形的应用 278
4.5 惯性流形的近似和稳定性 281
第5章 惯性流形和慢流形 287
5.1 惯性流形和慢流形的简介 287
5.2 主要结果 291
5.2.1 惯性流形的存在性 291
5.2.2 映射F的性质.292
5.2.3 Φ的C1光滑性质 300
5.2.4 定理5.2.1的证明 312
5.3 补充与应用 315
5.3.1 局部Lipschitz情形 315
5.3.2 非自伴情形 317
5.3.3 Navier-Stokes型方程 322
参考文献 325
附录 327
A.Hausdorff 维数 327
B.分形维数和盒子计数维数 331
C.拓扑熵 339
DGronwall不等式.344
索引 346
“现代数学基础丛书”已出版书目