《数学物理方程与进阶分析工具（第二版）》的主要目的是帮助读者初步形成综合运用数学方法解决物理问题的能力。其核心内容是偏微分方程，它是刻画在演化中蕴含守恒之物理世界诸多机制的重要手段。《数学物理方程与进阶分析工具（第二版）》将着重讨论波动、热传导以及泊松方程这三类*典型的二阶线性偏微分方程，同时也将对特殊函数——一类可用于求解偏微分方程的重要分析工具进行讨论。《数学物理方程与进阶分析工具（第二版）》也以函数发展的视角对初等函数、特殊函数以及人工智能中*为重要的深度神经网络定义的函数进行简单讨论。

**部分二阶线性偏微分方程
　　第1章波动方程
　　本章将从一维弦振动问题入手，推导刻画弦振动过程的偏微分方程，并讨论其相关定解问题与求解方法.然后进一步推导空间二维/三维波动方程并讨论其性质.*后介绍波动方程其数学结构与所描述物理过程之间的对应关系.本章内容总结在知识地图图1.1中.
　　1.1弦振动方程的导出与定解条件
　　1.1.1弦振动方程的导出
　　本节将讨论描述弦振动过程的数学模型，目的是给出弦上任何一点在其振动过程中所满足的定量关系.具体而言，考虑如图1.2所示一根自然长度为L，线质量密度为p的弦.*先针对所研究弦振动过程给出如下符合现实特征的假设.
　　(1)弦的粗细远小于长度.数学上可描述为，其中d为弦横截面的直径.该问题就可看作一个空间一维问题.如图1.2中的设定，令轴与弦伸直的方向平行.如此，弦上任意一点均对应一个x的值.
　　(2)弦上各点都只沿垂直于x轴方向做垂向小变形运动.这就意味着本问题的因变量只有一个，即弦的垂向位移，用字母u表示.它是时间t与空间位置x的函数，即表示弦上a;点所对应部分在t时刻的垂向位置.这里所说的小变形是指弦上任意一点的位移远小于其长度.若从数学的角度描述垂向小变形，可
　　以认为#是无穷小量，因此可忽略其高阶项，即
　　值得指出的是，“小变形”是一个相对的概念.例如，对于吉他弦而言，厘米量级的位移已经不能看作是小变形；而对于铁索桥的钢缆而言，分米数量级的位移依然可以看作是小变形，因为钢缆长度可能达到数十米的量级.
　　(3)弦抗拉不抗弯，且其线张力与弦的局部伸长成正比.若用s描述弦的弧长，T表示弦的线张力，则上述假设可以表达为增量形式，即ATocAs，其中AT1和As分别表示弦变形时线张力和弧长相对于前一状态的变化量.这里的线张力T也应该是一个关于空间位置x和时间t的函数.
　　此外，弦在振动过程中还会受到外力的影响，这里F为线密度力，其单位为N/m.
　　表1.1汇总了弦振动问题数学建模所涉及的物理量.
　　我们的目标是基于上述三个假设并利用动量定理，推导出垂向位移所满足的关系式.具体推导过程可分为如下三个步骤.
　　(1)证明线张力T与时间变量无关.在整个推导过程中，我们将反复运用微元法的思想.如图1.3所示，考虑一个小区间所对应的弦微段.该微
　　段的弧长可用割线的长度来近似：
　　(1.2)
　　这里利用了为高阶无穷小量的假设.这说明该微段的弧长在振动过程中
　　与其伸直时的长度保持一致.基于线张力与弦局部伸长成正比的假设，进而证明该微段处的线张力不随时间改变.*后，再利用微元选取的任意性，可以证明，弦上任何一点所承受的线张力T在振动过程中均不随时间而改变.
　　(2)证明线张力T与空间变量无关.由上述假设（2)可知，弦上每个微段在振动过程中都不存在沿a；方向的位移，即该微段在x方向上时刻保持力学平衡.如图1.3所示，我们*先引入来表示;位置处弦的切线与x轴的夹角，则弦微段在x轴方向上的力学平衡关系可由给出.
　　在本书中，为简化表达，我们在某个变量后加竖线以及下标，表示该变量在下标所对应的自变量处取值.例如，可引入等，于是上式可改写为
　　(1.3)
　　根据微积分的相关知识，6{x)与位移u应满足下列关系:
　　说明tan[00^]也是无穷小量.由三角函数关系可得
　　(1.4)
　　这里再次用到—阶空间偏导数的平方为高阶无穷小的假设.将(1.4)式代入(1.3)式中，有.再由弦微段选取的任意性可知，弦上任意一点所对应的线张力均相同.因此，在小变形振动过程中，弦内部各点的线张力保持一致且不随时间变化.
　　在上述讨论中可能存在这样的疑惑.既然已经将近似为1，那么sin0为什么不是近似为0呢？这是因为我们是考虑忽略二阶及以上小量的近似，即相应的“误差”是二阶的.这一点可以从三角函数在附近的泰勒展开看到：
　　在忽略二阶及以上小量的前提下我们自然得到
　　(1.5)
　　(3)基于动量定理导出所满足的关系式.考虑所对应微段在时间微段内沿垂向的动量守恒.根据(1.2)式，所考察弦微段的质量为，则其从到在垂直方向上的动量变化可表达为
　　为方便表达，我们再次引入新记号：用变量加竖线再加上下标的形式来表示该变量在上标处取值与在下标处取值之差.例如上面的式子可改写为
　　(1.6)

目录
第二版前言
**版前言
**部分 二阶线性偏微分方程
第1章 波动方程 3
1.1 弦振动方程的导出与定解条件 3
1.1.1 弦振动方程的导出 3
1.1.2 定解条件 8
1.1.3 偏微分方程分类概述 9
1.2 弦振动方程柯西问题的求解 10
1.2.1 达朗贝尔公式 11
1.2.2 达朗贝尔公式的物理意义与特征线 13
1.2.3 半无限长弦振动方程的求解 15
1.2.4 齐次化原理 19
1.3 分离变量法 21
1.3.1 初边值问题的提法 21
1.3.2 分离变量法 22
1.3.3 分离变量法解的物理意义 27
1.3.4 非齐次方程初边值问题的求解 28
1.4 高维波动方程.30
1.4.1 薄膜振动方程的导出 30
1.4.2 定解问题提法 34
1.4.3 高维波动方程柯西问题的解及其基本性质 35
1.5 波动方程解性质的讨论.39
1.5.1 能量表达式 39
1.5.2 波动方程解性质分析.40
课后习题 42
第2章 热传导方程 48
2.1 热传导方程的导出与定解条件 49
2.1.1 热传导方程的导出 49
2.1.2 热传导方程的定解条件.51
2.1.3 扩散过程的数学描述.52
2.2 柯西问题的求解与积分变换法 53
2.2.1 卷积与傅里叶变换 53
2.2.2 热传导方程柯西问题的求解 55
2.2.3 柯西问题解性质分析.58
2.2.4 热传导方程柯西问题的齐次化原理 59
2.3 分离变量法 62
2.3.1 热传导方程初边值问题的分离变量法 62
2.3.2 施图姆–刘维尔型方程及其性质 67
2.3.3 齐次化原理 71
2.4 热传导方程解的性质 71
2.4.1 极值原理 71
2.4.2 热传导方程初边值问题解的唯一性 73
2.4.3 热传导方程初边值问题解的稳定性 74
课后习题 74
第3章 泊松方程 77
3.1 泊松方程与调和方程 77
3.1.1 表达式 77
3.1.2 物理背景 78
3.1.3 泊松方程的定解条件.82
3.2 变分原理 84
3.3 调和方程极坐标系表达与径向解 88
3.3.1 拉普拉斯算子极坐标系表达 88
3.3.2 调和方程的径向解 89
3.4 格林函数法 91
3.4.1 格林公式的应用 91
3.4.2 格林函数法求解泊松方程 95
3.4.3 格林函数的性质与讨论.96
3.5 静电源像法 98
3.5.1 三维半空间问题静电源像法 98
3.5.2 球域问题的静电源像法 100
3.6 狄拉克函数与基本解102
3.6.1 狄拉克函数 102
3.6.2 线性偏微分方程的基本解 105
3.6.3 狄拉克函数与格林函数 106
3.7 定解问题的唯一性 107
3.7.1 平均值公式 107
3.7.2 极值原理与泊松方程狄利克雷型边值问题解的唯一性 108
3.7.3 强极值原理与泊松方程诺伊曼型边值问题解的唯一性 110
3.7.4 能量方法与泊松方程定解问题解的唯一性 111
课后习题 112
第4章 二阶线性偏微分方程分类与总结 116
4.1 二阶线性偏微分方程的分类 116
4.1.1 二阶线性偏微分方程的标准型.116
4.1.2 二阶线性偏微分方程的分类总结 123
4.1.3 多自变量二阶线性偏微分方程的分类 124
4.2 二阶线性偏微分方程的相关讨论 129
课后习题 135
第二部分 特殊函数
第5章 贝塞尔函数.139
5.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 140
5.1.1 贝塞尔方程的导出 140
5.1.2 **类贝塞尔函数 142
5.1.3 第二类贝塞尔函数 146
5.2 贝塞尔函数的性质 149
5.2.1 递推公式 150
5.2.2 贝塞尔函数的零点 152
5.2.3 近似公式 153
5.2.4 由贝塞尔函数组成的完备正交系 154
5.2.5 与正余弦函数性质类比 157
5.3 利用贝塞尔函数求解偏微分方程 159
5.4 贝塞尔函数的衍生函数 167
5.4.1 第三类贝塞尔函数 167
5.4.2 修正贝塞尔函数 167
课后习题 168
第6章 勒让德多项式 170
6.1 勒让德方程 171
6.2 勒让德多项式的导出174
6.2.1 勒让德方程的幂级数解 174
6.2.2 勒让德多项式的定义 177
6.3 勒让德多项式的性质179
6.3.1 罗德里格斯公式 180
6.3.2 勒让德多项式重要性质概览.180
6.3.3 勒让德多项式的正交性 182
6.3.4 一般正交多项式的讨论 187
6.4 勒让德多项式的应用190
6.4.1 球域内亥姆霍兹方程分离变量法求解 190
6.4.2 高斯–勒让德求积公式 192
6.5 连带勒让德函数 196
课后习题 198
第7章 超几何函数简介 201
7.1 贝塞尔函数与勒让德函数的共性特征 202
7.2 高斯超几何函数 203
7.2.1 高斯超几何函数的定义 203
7.2.2 超几何微分方程 204
7.2.3 重温勒让德函数和勒让德多项式 208
7.3 汇合型超几何函数 211
7.3.1 库默尔微分方程及方程的解 211
7.3.2 汇合型超几何函数应用举例 212
7.4 超几何函数内容总结及人工智能相关新函数 213
7.4.1 超几何函数内容总结 213
7.4.2 与人工智能相关的新函数形式 214
课后习题 217
参考文献 218