以海森伯1925年创建矩阵力学为起点，量子力学已经走过了整整一个世纪。《量子里程碑I》通过一系列专题来展示该学科百年来的里程碑式跨越。从量子力学核心知识出发，进人*大熵原理、辐射与物质相互作用、量子信息学、量子生物学、天体物理学与宇宙学等领域，特别讲述宇宙加速膨胀与暗能量、黑洞与霍金辐射、中微子理论及应用前景、地球气候的物理模型、量子纠缠及阿秒物理学等诺贝尔奖专题。从大学本科知识出发，以追根溯源、深人浅出、细致详尽的方式，逐渐推进到前沿热点。追求严谨的学术论述，生动的科普解说，真实的历史故事。
　　I卷为1～11章。

第1章量子与黑体辐射
　　柏林大学教授普朗克用六年时间找到一个小不点“量子”。量子就像一粒大米，它是一碗米饭的*小单元。普朗克研究的热辐射系统就像一碗米饭，在他眼中则是一粒粒大米的组合。普朗克以其骨子里的执着硬是把一个个量子累加起来，结果加出了热辐射公式。这是一个从地球到宇宙都管用的普适法则。它不但在当时用于炼钢温度控制，后来用于测量太阳表面温度，竟然在百年之后还可以极其精准地描述宇宙微波背景辐射（NASA（美国国家航空航天局）的科学家还因此拿了诺贝尔大奖）。更重要的是，量子概念奠定了量子力学大厦的基石，而量子力学已经成为21世纪科学、技术和工程发展的前沿和主流。
　　1.1从芝诺悖论说起
　　芝诺是一位古希腊哲学家，提出了一系列关于运动逻辑推理的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的名著《物理学》一书中而为后人所知。其中*著名的就是希腊**勇士阿基里斯追赶乌龟的逻辑推理，通常称为“芝诺悖论”（Zeno paradox）。我们之所以从芝诺悖论说起，是因为它的彻底解除要凭借诞生于20世纪初的一个宇宙法则，它就是贯穿于本书整个体系的灵魂一“量子”。
　　芝诺悖论如图1.1.1所示，其中**行显示初始状态（人与龟有一段间距，龟在S点，4是二者之间一个任意点），第二行表示阿基里斯跑到A点（龟爬到C点），然后阿基里斯跑到B点（龟爬到D点），阿基里斯跑到C点（龟爬到E点）， 人和龟的间距越来越短，但总是不为零。逻辑上讲，人永远追不上龟！这显然是个悖论。
　　之后有人试图用无限逼近的方式来理解芝诺悖论，其思想基础是欧拉公式
　　（1.1.1）
　　这个公式的证明很巧妙，令
　　（1.1.2）
　　则
　　（1.1.3）
　　即9S=9，则<5=1。
　　按照欧拉公式的思想，阿基里斯必须跑到无限远处才能追上乌龟，这是不可能操作的，不能彻底解决问题。实际上芝诺悖论困扰了人们2000多年，问题出在哪里？什么是解除芝诺悖论的根本法则？这需要从源头说起。
　　1.2黑体辐射的概念
　　**物理学在200—300年的发展中，隐含了一个公理：能量与物质的变化是连续的。的确，物体在辐射能量时，可以稍微多一点或稍微少一点。这个“稍微”可以随便多么小，它是连续的。同样，物质也是连续的，剪断一根绳子时，可以随便从哪里剪开；用杯子喝水时，可以随便喝多少。总而言之，能量与物质都具有连续性（可以任意分割和无限分割）。这条公理般的自然信仰，仿佛根本不需要证明，也从未被任何人证明过。
　　“物质无限可分”的思想，中国古代早已有之。其实这是一个哲学上的理念。2000多年前，战国时期道家学派的代表人物庄子就说过：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”然而，这种物质无限可分的哲理在微观世界的深处终结了，代替它的是一个*小单元“量子”。
　　历史上**次用物理学语言说出“量子”（quantum）这个词，是在1900年12月14日。那天，德国物理学会在柏林举行年会。而说出这个词的是德国物理学家、柏林大学教授马克斯 普朗克（Max Planck）。普朗克是一个典型的严谨的德国人，是位循规蹈矩、一丝不苟的科学家（图1.2.1～图1.2.3）。当普朗克对柏林的物理学家们说，他不得不引进“量子”这个概念时，他给人的感觉就像是正在演出“绝望的一幕”。这使人想起3年前在伦敦发生的一幕，当时剑桥大学教授汤姆孙也是“极不情愿地”报告说，电子的存在是一个无可置疑的事实。科学上的许多发现在*初问世的时候，不但别人难以置信，就连发现者自己往往也是“惴惴不安”的。
　　普朗克研究的是关于黑体辐射的光谱分布。这个问题有深刻的社会背景。那么，什么是黑体辖射？为了建立关于黑体辐射的概念，让我们从自然界的辐射现象说起，一个*贴近人类活动的自然福射就是太阳辐射。当太阳光以30万km/s的速度照射到地球上时，人们发现它原来是七彩缤纷的（图1.2.4），而且太阳辐射呈现有峰值的光谱分布。
　　太阳光谱为什么不是单调变化的？如何理解太阳辐射的物理实质？其实太阳辐射在物理上是一种“黑体辐射”。黒体辐射的概念是德国物理学家基尔霍夫在1859年提出的。要了解什么是黑体辖射，我们先要知道什么是黑体。黑体是一个“物理模型”，具有一些特别的电磁学和热力学特性：①黑体能够完全吸收外来的电磁波；②黑体不会反射电磁波；③黑体在任何高于绝对零度的情况下会辐射电磁波能量；④在相同温度下，黑体的辐射比其他任何物体都强。简言之，如图1.2.5中的物理模型所示，黑体以*强的能力吸收和辐射电磁波，并处于吸收和辐射的热平衡状态。
　　黑体辖射的物理机制是，由于物体中含有电子、质子等带电粒子，只要物体温度高于绝对零度，这些粒子就有热振动。而带电粒子的振动则形成电偶极子，电偶极子会辐射电磁波（就像天线振子辐射电磁波一样:>。而且带电粒子的温度越高，振动速度越快，辐射强度越高。可见黑体辐射与辐射体的温度有关，因此黑体辐射也称为热辐射。另外，带电粒子振动的幅度与取向是连续变化的（图1.2.6），黒体辐射呈现连续谱分布（与原子跃迁产生的分立谱不同为什么要研究黑体辐射？黑体辐射研究有怎样的社会背景？黑体辐射研究的驱动力是什么？其实，黒体辐射研究有着深刻的社会背景，它的直接驱动力是源于钢铁工业的需要。19世纪，欧洲的钢铁工业迅速崛起和发展，冶炼过程需要用科学的方法进行严格的控制和细致的分析。铁块的辐射是一个典型的黑体辖射：当加热铁块时，起初看不出它有明显的发光。随着温度的不断升高，它逐渐变得暗红、赤红、橙色、黄色，甚至黄绿色 这说明铁块在不同温度下具有不同的辐射波长。确切地说，当铁块温度升高时，其辐射峰向短波方向移动。因此，铁块的热辐射信号可以反映冶炼过程的温度变化。可见黑体辐射研究是钢铁工业的需要，如图1.2.7所示丨它决定所有的制造业，特别是武器制造业）。
　　1.3黑体辐射的实验规律
　　从科学的角度看，黒体辐射的研究在历史上可以追溯到1800年，这一年英国天文学家赫歇尔（Frederick Herschel-天王星的发现者）*次观察到了太阳的红外辐射。在之后的100年间，经过基尔霍夫、维恩、斯特藩、玻尔兹曼、瑞利、金斯等众多科学家的悉心研究，积累了非常丰富的实验知识，并建立了不同形式的理论模型。
　　1893年，德国物理学家维恩（Wilhelm Wien）在总结实验数据的基础上，发现了黑体辐射的峰值波长Amax与辐射体绝对温度T之间的关系：
　　（1.3.1）
　　其中
　　（1.3.2）
　　称为维恩常数。式（1.3.1）称为“维恩位移定律”（Wien's displacementlaw）。它表明，辐射体温度升高时，辐射的峰值波长变短，而二者的乘积维持为常数。式（1.3.1）是很有用的，例如我们利用太阳辐射的峰值波长Amax 475nm（图1.2.4），可以计算出太阳表面的温度
　　（1.3.3）

目录
前言
第1章 量子与黑体辐射 1
1.1 从芝诺悖论说起 1
1.2 黑体辐射的概念 2
1.3 黑体辐射的实验规律 6
1.4 黑体辐射的理论研究 7
1.4.1 维恩分布 8
1.4.2 辐射模密度 9
1.4.3 瑞利–金斯公式 13
1.5 普朗克黑体辐射公式 14
1.6 黑体辐射公式的应用 20
1.6.1 普朗克公式的推论 20
1.6.2 波长分布与频率分布 22
1.6.3 固体比热的量子理论 23
1.7 芝诺悖论的解除 25
第2章 量子世界的不确定性——测不准原理 27
2.1 海森伯的故事.27
2.1.1 天之骄子 27
2.1.2 矩阵力学 28
2.1.3 测不准关系 31
2.1.4 物理学之外 33
2.2 算符的对易关系 34
2.3 算符对易的物理意义 36
2.4 测不准关系 38
2.4.1 一般性推导 38
2.4.2 傅里叶变换 41
2.4.3 电子单缝衍射 42
2.4.4 势阱中的小球 43
2.5 测不准关系的应用 44
2.5.1 自由粒子 44
2.5.2 谐振子 45
2.5.3 基态氢原子 48
2.5.4 含时情况：自由粒子波包 52
2.5.5 估算能量 53
2.5.6 超导中的测不准关系 54
2.6 能量–时间测不准关系58
2.6.1 一个简单的推导方法 58
2.6.2 作为一般性测不准关系的推论 59
2.6.3 从相对论推导测不准关系 60
2.6.4 关于测不准关系的争论 62
第3章 量子体系的统计方法——薛定谔方程 66
3.1 波函数 66
3.1.1 从“轨道”到“概率” 66
3.1.2 波函数的性质 70
3.1.3 力学量的平均值和期待值 72
3.2 薛定谔方程 73
3.2.1 电子双缝衍射 73
3.2.2 自由粒子的波函数 76
3.2.3 薛定谔方程的建立 77
3.2.4 薛定谔方程的本征解 80
3.3 薛定谔方程的一般解 82
3.4 求解量子体系的一般方法 84
3.5 一个实例：双原子分子的能级 90
3.5.1 莫尔斯势 90
3.5.2 谐振子近似 91
3.5.3 精确解 92
3.5.4 与测量结果相比较 93
3.6 关于量子力学统计方法的讨论 94
第4章 量子隧穿 97
4.1 什么是量子隧穿 97
4.2 方形势垒 98
4.3 任意势垒 104
4.3.1 任意势垒的透射系数 104
4.3.2 透射系数的估算 105
4.3.3 隧穿效应发生的条件 107
4.4 原子核的 α 衰变.108
4.5 隧穿效应的应用 111
4.5.1 冷电子发射 111
4.5.2 热核聚变 112
4.5.3 隧道二极管 114
4.5.4 扫描隧道显微镜 115
4.5.5 原子钟 116
4.5.6 化学与生物方面的应用 117
第5章 量子跃迁 119
5.1 含时微扰论方程 119
5.2 跃迁概率与典型的跃迁过程 121
5.2.1 跃迁概率 121
5.2.2 常微扰 122
5.2.3 费米黄金规则 125
5.2.4 周期性微扰 126
5.3 偶极近似 128
5.4 原子与光场的相互作用 130
5.4.1 吸收 130
5.4.2 受激发射 131
5.4.3 自发发射 131
5.5 爱因斯坦方程 132
5.5.1 非相干微扰光场 132
5.5.2 爱因斯坦方程中的跃迁速率 133
5.5.3 跃迁速率 136
5.6 激光 137
5.6.1 激光产生的物理机制 137
5.6.2 激光的量子特性 140
5.7 自发发射与合作自发发射 141
5.7.1 自发发射：荧光 141
5.7.2 合作自发发射：超荧光和超辐射 142
第6章 泡利矩阵与电子自旋 145
6.1 泡利矩阵 145
6.1.1 基本性质 145
6.1.2 自旋向上和自旋向下 149
6.1.3 双态体系问题 152
6.2 自旋 154
6.2.1 氢原子的轨道磁矩 154
6.2.2 自旋和自旋 1/2 156
6.3 电子自旋 158
6.3.1 电子“自转角动量” 158
6.3.2 施特恩–格拉赫实验 160
6.4 自旋的矩阵表示 163
6.4.1 自旋矩阵 163
6.4.2 自旋角动量的投影 165
6.5 电子自旋的相对论量子力学描述 167
6.6 电子自旋的机制究竟是什么？.172
第7章 固体的量子理论 176
7.1 固体中的电子：两种模型 176
7.2 自由电子气模型 177
7.2.1 三维无限深势阱模型 177
7.2.2 费米能级 178
7.2.3 **模型 180
7.3 能带形成的机制 182
7.4 克勒尼希–彭尼模型 183
7.5 能带论 185
7.5.1 周期势场中的薛定谔方程 185
7.5.2 电子的能量方程及能带 187
7.5.3 允带和禁带 190
7.5.4 布里渊区 192
7.6 半导体 194
7.6.1 半导体的基本性质 195
7.6.2 半导体内电场 196
7.6.3 半导体载流子的定解问题 199
7.7 光子晶体 201
7.8 量子统计力学 204
7.8.1 三粒子体系 204
7.8.2 N粒子体系 207
7.8.3 *概然布居数 210
7.8.4 参数的物理意义 212
7.8.5 量子统计分布与平均粒子数 214
7.9 量子统计力学的应用215
7.9.1 化学势与费米能级 215
7.9.2 黑体辐射与平均光子数 216
7.9.3 晶格振动、声子与德拜模型 218
7.10 石墨烯 223
7.10.1 石墨烯：碳原子网 223
7.10.2 石墨烯的能带结构 225
7.10.3 奇特的量子效应 227
7.10.4 石墨烯的狄拉克方程 228
第8章 辐射场的量子态 230
8.1 量子谐振子 230
8.2 算符代数法 231
8.2.1 哈密顿算符的代数形式 232
8.2.2 基态和任意本征态 234
8.2.3 数态和数态表象 237
8.3 单模辐射场与量子谐振子 238
8.3.1 无损耗传输线的量子化 238
8.3.2 单模辐射场的量子化 240
8.4 光子数态 243
8.5 相干态 245
8.5.1 数态的相干叠加 245
8.5.2 相干态的基本性质 247
8.5.3 平移算符 249
8.5.4 非正交性 251
8.5.5 完备性 252
8.5.6 高斯波包 253
8.6 压缩态 254
8.6.1 非**光 255
8.6.2 双光子相干态 257
8.6.3 压缩态的物理图像 259
第9章 薛定谔猫态.261
9.1 量子叠加原理 261
9.2 薛定谔猫态的概念 262
9.3 薛定谔猫态的量子统计性质 264
9.3.1 数值解与讨论 264
9.3.2 偶相干态和奇相干态 267
9.4 薛定谔猫态的相干性269
9.4.1 薛定谔猫态的退相干 269
9.4.2 用位相调制维持相干性 270
9.4.3 位相调制的实验方案 273
第10章 单模场与单原子的相互作用 275
10.1 二能级原子.275
10.2 JCM模型的精确解 277
10.3 含时JCM体系 280
10.3.1 含时JCM体系的表述 280
10.3.2 含时JCM体系的性质 281
10.4 真空态 282
10.5 相干态 285
10.5.1 相干态JCM体系 285
10.5.2 光子数分布 287
10.6 JCM体系的制备——腔模QED 288
第11章 *大熵原理 291
11.1 熵的定义 291
11.1.1 克劳修斯熵与玻尔兹曼熵 291
11.1.2 吉布斯熵：统计熵 292
11.1.3 熵与信息 294
11.1.4 熵的基本性质 295
11.2 量子熵 298
11.2.1 混合态的量子熵：正交集 299
11.2.2 混合态的量子熵：非正交集 302
11.2.3 熵动力学 305
11.3 *大熵原理：一个简单例子 310
11.3.1 一个简单例子 311
11.3.2 一般表述 315
11.3.3 玻尔兹曼分布 316
11.3.4 分布函数的熵 318
11.4 辐射场的*大熵原理.319
11.4.1 量子熵的*大化 320
11.4.2 热平衡中的辐射场 320
11.4.3 平均光子数与量子熵 323
11.4.4 光子统计的一般性计算 325
11.4.5 热场的光子统计性质 327
11.4.6 热场的量子起伏 329
11.5 噪声中的相干态 329
11.5.1 熵的*大化 330
11.5.2 两个特殊情况 332
11.5.3 辐射场的性质 334
11.6 噪声中的压缩态 338
11.6.1 Yuen哈密顿量 339
11.6.2 熵的*大化 340
11.6.3 辐射场的性质 342
11.7 结论 347
第12章 生物光子辐射的量子理论349
12.1 合作效应与合作辐射.349
12.2 三能级系统的Exciplex模型 351
12.2.1 理论建立的实验基础 351
12.2.2 系统的哈密顿和主方程 353
12.2.3 系统的耦合运动方程 355
12.2.4 密度算子的稳态解 359
12.3 生物分子的激发态 363
12.4 发射强度 369
12.5 强度关联 371
12.6 系统的动力学 374
12.6.1 激发态动力学方程 375
12.6.2 合作辐射：超辐射 378
12.6.3 合作辐射：超荧光 381
12.7 理论与实验结果的比较 386
12.8 应用举例 391
12.9 结论 392
第13章 生命体系的非**光 395
13.1 生命体系的若干非**现象 395
13.2 生物光子场与 DNA 声子库的相互作用 397
13.3 叠加态体系的动力学性质 399
13.3.1 密度算符的含时解 399
13.3.2 辐射场的一般性质 400
13.3.3 量子熵 401
13.3.4 Wehrl熵 404
13.3.5 光子统计熵 406
13.3.6 光场熵对平均光子数的依赖性 408
13.