第1章引言
1.1全息物质导览
物理学的核心正在经历一场地震。人们突然间发现，原本看上去毫无关联的领域竟然有着共同的基础，并且以一种奇怪的方式互相促进彼此的发展。在物理学中，这种情况通常伴随着新数学工具的推动，当然这次也不例外。这一次，新颖的数学工具源自20世纪90年代在弦理论中发现的“全息对偶”（或者“反德西特（anti-deSitter）时空/共形场论对应”，即AdS/CFT对应）。但由于弦理论自身的历史背景，全息对偶的应用和发展一直局限在粒子物理和量子引力领域，而这种趋势直到近期才得到转变。但就是这样的转变为物理学带来了意想不到的发展。如今，全息对偶已经以令人惊叹的速度在现代基础物理学的许多领域产生影响，甚至为一些古老的学科引入了新颖的观点，例如可追溯到19世纪的流体力学理论。
实际上，物理学工作者可以写很多书来彰显AdS/CFT是如何影响着物理学中的诸多领域，而这类书有的已出版，有的正在编写中。本书的特点在于，我们主要关注这样一个引人注目的领域，即全息对偶在平衡态凝聚态物理中的应用，因为这个领域所取得的进展是极其惊人的。全息对偶在平衡态凝聚态物理中的应用起始于2007年，但在短短几年内，凝聚态物理已经被另一种数学语言重新描述。这种语言或许对于任何人来说都是难以置信的：居然是广义相对论的语言！对于凝聚态物理本身而言，如果只是重新表述，不管用多么不同寻常的语言都算不上是很大的进步。但需要强调的是，全息对偶的出现点亮了在量子多体物理中一些采用传统方法所不能处理的领域的曙光，把“不可能”变得可能。其中，我们特别强调了非费米液体物态，这种物态是由有限密度下的强耦合费米子系统构成的。在该物态的描述中，全息对偶的数学语言变得极富表达力，这意味着全息对偶这套数学语言背后蕴含着新的、普适的原理。其背后的原理看上去似乎与可压缩量子物质的物理有关，即这种物态的本性由它所有的微观组元的宏观量子纠缠主导。这一发现的重要性远不止于此。人们通过实验上在一些特殊材料如高温超导体（hightemperaturesuperconductor）中实现的强親合电子体系中观测到的尚未理解的神秘现象存在着兼具吸引力启发性的相似之处。高温超导现象*早发现于三十多年前，尽管有过无数基于现有数学技巧的尝试，但至今人们仍然不能给出一个合理并且完备的解释。全息对偶提供的数学方程能不能帮助解决凝聚态物理中这个*神秘的问题呢？
诚然，AdS/CFT对应也有它自身的局限性。尽管已有很多支持全息的证据，但仍有两个问题尚未解决，一个和量子信息方面相关，另一个是全息和实验物理的相关性。如今，全息是一个有可能会改变物理学理论基础的激动人心的研究课题，这应当是广大物理学界都感兴趣的领域，但实际上全息理论本身的性质决定了它的受众面有一定的狭窄性。众所周知，弦理论作为物理的统一理论而闻名，但随着AdS/CFT的发现，弦理论变成了“物理理论的统一”。这意味着，如果一名物理学工作者想要掌握全息理论，那么他/她需要付出的相应代价是必须同时精通所有奇特的现代物理学领域！通常，应用全息原理来处理问题，*先需要考虑的就是如何通过现代凝聚态理论将弦理论、高能物理的量子场论、包含了黑洞物理学*新进展的精密而复杂的广义相对论无缝切换为实验中所测得的描述真实世界的繁冗的数据。
本书的目的正好就是降低进入这个领域的门槛，从而帮助刚开始接触这个领域的科研人员能够从事相关工作。现状是，进入该领域所需要掌握的**知识散落在难以尽阅的文献海洋的各个角落。我们尽了*大努力来写一个关于“反德西特时空/凝聚态理论”（AdS/CMT）主要发展的全面性的综述。当然，本书不可能面面俱到，相反，具有一定的选择性，我们希望同行专家们认可我们所选择的内容确实是该领域*具有实质性的贡献。同时，我们也期望本书能够作为教科书，帮助那些想要掌握计算方法从而真正做研究和计算的学生们。
*重要的是，我们也希望能够为那些没有足够精力去学习掌握全息物理学所需的全部技巧，以及那些仍想对整个物理图像有一个清晰认识的读者提供一个本领域的读者友好的*优入手点。
为了调和这两种需求的矛盾，我们对行文的结构采取一种分层的方式，使用了经验证明十分有效的方框模块结构。正文部分通常是偏叙述性质的，从图像和概念上来解释逻辑脉络以及计算是如何奏效的，只有在对理解物理图像非常必要的情况下我们才会使用公式。作为对正文的补充，我们将计算过程的具体细节放入各小节末尾的方框里面。对于那些连正文都觉得过于复杂的读者，我们还另外列出了关于对偶的“规则方框”模块，来总结邻近上下文中*核心的内容。
本书的结构安排是这样的：在第6～13章，我们主要关注全息在凝聚态物理中的应用。为了介绍这部分内容，我们在前几章中给出了一定的背景知识。在第2、3章中，我们一一罗列、收集了凝聚态物理中和全息有着紧密而特殊联系的物理内容。尽管这部分内容起初是写给弦理论以及其他领域的物理学工作
者，但我们还是强烈建议具有凝聚态背景的专家们也读一下，因为我们的表述方式和教材中的标准表述方式截然不同。第4、5章是一个关于AdS/CFT对应的教程，可以视作通往全息凝聚态物理的桥梁。我们尽量避开弦理论中的烦琐技术，相反的是，我们更关注如何更贴近实际地应用AdS/CFT对应。一个学习过广义相对论、量子场论和凝聚态物理这些入门级的研究生课程的读者应该可以在一定深度上理解本书的内容。一个需要考虑的问题是全息中具体的计算通常要借助于数值方法求解，不过幸运的是，这部分内容涉及的程度还不是那么具有挑战性。为了帮助读者掌握必要的数值方法，我们会在本书的辅助网页（http://www.cambridge.org/9781107080089）给出一些基本计算的Mathematica代码。
为了让读者能够迅速抓住本书的故事主线，本章的其余篇幅将用来呈现一个关于AdS/CMT物理图像的全景图。
1.2 AdS/CFT对应：将物理学理论统一起来
我们要讲的故事始于20世纪90年代中期，对于弦理论学界来说，这几年间的发展是激动人心的，因为他们开始清晰地认识到，弦理论中蕴含的内容比此前实现的更为丰富。第二次弦理论革命的高潮发生在1997年，当时年轻的理论物理学家Juan Maldacena提出了后来被称为“AdS/CFT对应”的猜想。一直以来，推动着弦理论发展的动机都是希望能够在某种方式下将广义相对论纳入到相对论性的弦的量子理论中，因此弦理论承载着*终揭示并得到一个量子引力理论的使命。就这一点而言，AdS/CFT对应的提出的确是一个巨大的飞跃。
量子场论（QFT）和广义相对论（GR）是物理学中的两大宏伟理论，但它们之间的联系却是很复杂的，甚至在某些情况下站在对立面。然而，Maldacena的发现却把这两大支柱以一种从未有人预料到的方式联系了起来。他指出，在一个特殊的极限下这两种理论就好像是一枚硬币的正反面!而这个将量子物理和广义相对论统一了的硬币的两面在数学描述上却是能有多相反就有多相反，这也正是本书书名中“对偶”的含义。GR和QFT之间是一种对偶关系，这一点类似于在量子力学中存在的波粒二象性给出的波动描述和粒子描述之间的对偶。粒子和波二者在傅里叶变换互相转换的意义上可以看成是两个对立的描述。但与此同时，粒子和波的描述结合为一个整体才揭示了究竟什么是量子力学。什么时候用粒子，什么时候用波来描述，取决于我们研究的是什么问题。同样的道理，GR和QFT“在对立中融合”，但这种对偶得到的“整体”所揭示的物理内容要比量子力学多得多：当GR和QFT以对偶形式结合起来时，它们几乎包含了所有的物理理论。在Maldacena发现对偶关系后不久，Gubser、Klebanov、Polyakov间三人以及WittenM分别*立地提出了一系列紧凑且广泛适用的数学规则，也即后来的“Gubser-Klebanov-Polyakov-Witten（GKPW）”规则。这套规则向人们明确地展示了如何定量地把对偶的一边得到的结果和另一边联系起来。这套规则也被称为对偶字典，它揭示了后续一系列巨大的研究成果：运用对偶这种新观点来处理遗留下来的哪怕*难的开放性问题并把它拓展到各种各样的物理领域，人们发表了数以千计的文章，来验证并反复验证对偶的正确性。本书把目光聚焦在这种看似漫无目的探索中*意想不到的成功：在凝聚态物理中的应用。
尽管已经取得了很大程度的发展和进步，但对偶仍然笼罩着一层神秘的光环。给一个简单的比喻，这就好像古希腊神话里的神谕：只要把问题扔给对偶，它就会告诉你答案，但我们远远不清楚它为什么能给出不仅近似一致还具有物理意义的答案并且总是完成得这么好。在这种背景下，很自然，人们普遍很想去验证这些结果。尤其是在凝聚态领域中，的确有可能试着去做相关的物理学实验，来验证这些像神谕一样令人费解的结果究竟是不是对的，我们会在本书中讨论相关的进展。AdS/CFT对应的神秘其实根植于量子引力。概括而言，AdS/CFT对应把一个从弦论出发得到的量子引力理论和某些量子场论联系起来。我们对弦量子引力的理解仍然很少很少。但在一种特殊极限下，弦量子引力可以退化为**的广义相对论，而这种极限在对偶的量子场论中也有明确的体现，即场论包含秩为N的矩阵值场，而上述的特殊极限即为同时要满足“大N4oo”极限以及“强耦合”极限。一个典型的例子是色荷自由度的数目N取大数极限（即大N极限）产生的极强耦合的SU[N）杨-米尔斯（Yang-Mills）理论。这看上去和凝聚态物理中的真实世界相去甚远。更糟糕的是，为了从数学上严格地构造相应的弦理论，我们还必须要往弦论中加入超对称。所幸，当我们推广AdS/CFT对应的应用范围时，超对称并不是必需的。而取大iV极限是需要认真考虑的数学障碍。本书的主要目的就是要研究场论中现有理论工具无法处理的那些场论理论问题。当取大N极限时，我们就可以运用AdS/CFT对应给出的“字典”，对于一个场论问题，我们可以借助于爱因斯坦（Einstein）广义相对论中强大的数学技巧，得到引力理论中的解，然后通过对偶字典翻译回场论中的解。但是取大iV极限是一个很强的条件，它意味着，只有当我们考虑的系统在高能时有着很大的对称性时，这种方法才适用。而这一点与通常的例如在固体中的“纳米”量级下的和电子相关的普通电化学非常不一样。因此，人们就希望能把iV重对称性一直降低到控制耦合电子的微弱对称性。在原则上，这种思路在AdS/CFT对应中也是可能实现的。但在实际操作中，一旦这么做就会降低对偶关系的严格性。尽管在这方面已经有过许多尝试，但我们仍然处于迷雾中。
那为何AdS/CFT对应还能够给出答案呢？出乎意料的是，尽管有着大N障碍，这个神谕似乎仍然可以对问题给出不太敏感的依赖于这些物理方面的答案。弦
理论家把相关的物理归结为“紫外（UV）无关性”。这和凝聚态物理学家提出的“强演生”的概念是一致的。这两种类似观点的核心在于所有物理学工作者都熟知的“整体不仅仅是部分之和”，即我们关心这样一种情形，一个系统有如此强大的自身整体物理规则，构成系统的每个部分的具体性质不再相关，也就是说，宏观层面的物理现象与微观层面的物理细节无关。这种观点*早可以追溯到19世纪玻尔兹曼（Boltzmann）对**物质的统计物理描述，它在理解简单热物质的固、液、气三态的物理性质时取得了很大的成功，包括帮助理解弹性现象和纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）理论的微观起源。它还被推广到凝聚态物理中的零温“量子”领域，用朗道类型的序参量理论来描述超流和超导，以及费米液体理论。下一个巨大的进步是20世纪70年代在威尔逊（Wilson）重整化群方面革命性的进展，即将描述连续相变中临界态的方法理论和高能物理的基本量子场论融合在一起。
全息对偶在此基础之上进一步拓展。它的“魔力”在于它能把物质的“强演生”理论的数学结构用广义相对论的非常不同的几何结构表达出来。在本书的第6～13章
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