第1章 预备知识
本章主要介绍模糊逻辑系统、径向基函数神经网络、非线性系统的稳定性及判别定理、直接自适应模糊跟踪控制、间接自适应模糊跟踪控制等基础知识，便 于读者阅读和理解
1.1 模糊逻辑系统
模糊逻辑系统 (fuzzy logic system，FLS) 包含四部分，分别为模糊规则库、模糊化、模糊推理机和解模糊化模块。
模糊推理机使用模糊 IF-THEN 规则实现从输入语言向量 到输出语言变量 y ∈ V 的映射，第 l 条模糊 IF-THEN 规则可以写成 Rl：如果x1 是 是 Fl是 Fln，则 y 是 Gl， l = 1， 2， ？ ？ ？ ，N，其中 Fl i 和 Gl是对应于模糊隶属度函数 (xi) 和 μGl(y) 的模糊集合；N 是模糊规则数。
若采用单点模糊化、乘积推理和中心加权解模糊化方法，则模糊逻辑系统可表示为
(1.1.1)
式中，
定义模糊基函数如下：
则式(1.1.1)中的模糊逻辑系统可表示为
y(x) = θTφ(x) (1.1.3)
引理 1.1.1[1] f(x) 是定义在闭集 Ω 上的连续函数，对任意给定的常数 ε > 0， 存在式 (1.1.3) 所示的模糊逻辑系统，使得如下不等式成立：
(1.1.4)
定义*优参数向量 θ. 为
(1.1.5)
关于*小模糊逼近误差 ε 的表达式为
f(x) = θ.Tφ(x) + ε (1.1.6)
1.2 径向基函数神经网络
径向基函数神经网络 (radial basis function neural network， RBFNN) 由输入层、隐藏层和输出层三层网络组成。隐藏层将输入空间映射到另一个新的空间，输出层则在新的空间实现线性组合。
径向基函数神经网络可逼近任意复杂非线性函数，对于任意连续函数 f (Z (k))，在紧集 Ω . Rq 和任意小的正常数 ε 的条件下，由 RBFNN WTS (Z (k))，可得
(1.2.1)
式中，Z (k) ∈ Ω 为输入层输入向量；S (Z (k)) 为径向基函数，包含在隐藏层中； W = [W1，W2， ？ ？ ？ ，Wl]T 为神经网络的理想权重，l > 1 为隐藏层节点数；τ 为逼 近误差。理想权重向量可表示为[2]
(1.2.2)
式中，W.T 为*优权重向量；径向基函数选择高斯 (Gaussian) 函数。径向基函数的分量形式如下：
(1.2.3)
式中，T 为 Gaussian 函数的中心；σ 为宽度参数。
1.3 非线性系统的稳定性及判别定理
1.3.1 半全局一致*终有界
定义 1.3.1[3] 考虑非线性系统如下：
(1.3.1)
对于任意紧集 Ω . Rn 和任意 x(t0) = x0 ∈ Ω，如果存在常数 δ > 0 和时间常数 T(δ， x0)，对于任意 t . t0 + T(δ， x0)，使得 ||x(t)|| < δ，则式 (1.3.1) 所示的非线性系统的解是半全局一致*终有界的。
引理 1.3.1 对于任意有界初始条件，如果存在一个连续可微且正定的函数V (x， t)，满足 γ1(|x|) . V (x， t) . γ2(|x|) 且该函数沿着式 (1.3.1) 所示系统的轨迹为
(1.3.3)
则系统的解 x(t) 是半全局一致*终有界的。其中，c 和 d 为常数。
引理 1.3.2 对于任意有界初始条件，存在一个连续正定的函数 V (x(k))， 满足：
(1.3.5)
式中，η 是正常数；γ1(？) 和 γ2(？) 是严格递增的函数；γ3(？) 是连续的非减函数。如 果 ||x(k)|| > η，ΔV (x(k)) < 0，那么 x(k) 是半全局一致*终有界的。
1.3.2 非线性随机系统的稳定性 考虑一类随机系统如下：
(1.3.6)
式中，x ∈ Rn 是状态向量；w 是定义在完整概率空间 (Ω， F， P) 上的一个 r 维的*立标准维纳 (Wiener) 过程，Ω 是样本空间，F 是 σ 代数簇，P 是概率测度； f(？) 和 h(？) 为局部利普希茨 (Lipschitz) 函数，且分别有 f(0) = 0 和 h(0) = 0。定义 1.3.2[4] 对任意给定的李雅普诺夫 (Lyapunov) 函数 V (x) ∈ C2，结合
式(1.3.1)所示的系统，定义无穷微分算子 Γ为
(1.3.7)
定义 1.3.3 如果有
那么式(1.3.1)所示非线性系统的解 {x(t)， t . 0} 依概率稳定。
引理 1.3.3[4] 考虑如式(1.3.1)所示的非线性系统，如果存在连续且正定的函 数 V : Rn → R，两个常数 c > 0 和 d . 0，且满足：
(1.3.8)
则式(1.3.6)所示的系统是依概率有界的。
1.3.3 非线性状态约束系统的稳定性
定义 1.3.4 对于定义在包含原点的开集合 U 上的系统 x˙ = f(x)，如果存在一个正定连续的标量函数 V (x)，U 中的每一个点都有连续的一阶偏微分，当 x 趋近于 U 的边界时，对于某个常数 b . 0，沿着系统的解及初始条件x0 ∈ U，有 V (x) → ∞，以及对于任意 t . 0，满足 V (x(t)) . b，则 V (x) 称为障碍 Lyapunov 函数。
引理 1.3.4[5] 对于任意正常数 kci(i = 1， 2， ？ ？ ？ ， n)，令 χ := {x ∈ R : |xi(t)| < kci， t . 0}，以及 N := Rl × χ . Rl+1 为开区间。考虑的系统为
(1.3.9)
式中，η := (ω， x)T ∈ N；h : R+ × N → Rl+1 对于时间变量 t 是间断连续的且 h 满足局部 Lipschitz 条件，并在定义域 R+ × N 上关于时间变量 t 一致。
令 χi := {xi ∈ R : |xi(t)| < kci， t . 0}。假设存在连续可微的正定函数U : Rl → R+ 以及 Vi : χi → R+ ，满足的条件如下：
(1.3.10)
(1.3.11)
式中，γ1 和 γ2 是 K∞ 类函数。以及 xi(0) 选取于集合 χ，若有
(1.3.12)
则 η˙ = h(t， η) 是稳定的，且 x(t) ∈ χ，.t ∈ [0，∞)。
通常使用的障碍 Lyapunov 函数主要包括如下三种类型。
(1) log 型障碍 Lyapunov 函数为
(2) tan 型障碍 Lyapunov 函数为
(1.3.14)
(3) 积分型障碍 Lyapunov 函数为
(1.3.15)
1.4 直接自适应模糊跟踪控制
1.4.1 控制器设计
考虑一类单输入单输出 (single input single output， SISO) 非线性动态系统
如下：
(1.4.1)
式中，为系统的状态向量；u ∈ R 和 y ∈ R 分别是系统的输入和输出； 是不可线性参数化的未知非线性函数，且 fi(0) = 0。 控制器的反步法设计需要 n 步。每一步通过选取恰当的 Lyapunov 函数来构造系统的虚拟控制器 .αi。下面将给出式(1.4.1)所示系统的反步法设计过程。
第 1 步 对于系统给定的参考信号 yd，定义跟踪误差向量 e1 = x1 . yd，由式 (1.4.1)可得
(1.4.2)
选取 Lyapunov 函数为 并对其求导，可得
(1.4.3)
选取**个虚拟控制器 α1(Z1) 为
(1.4.4)
式中，是一个 紧集。
将式 (1.4.4) 代入式 (1.4.3)，可得
(1.4.5)
由于 f1(x1) 和 g1(x1) 是未知非线性函数，α1(Z1) 在实际控制中不能直接实施控制。因此，在紧集 ΩZ1 . R3 内，根据模糊逻辑系统的万能逼近定理，对于给定的 ε1 > 0，由模糊逻辑系统 W.T
1 S1(Z1) 可得
(1.4.6)
式中，δ1(Z1) 是逼近误差且满足 |δ1(Z1)| . ε1。
可以注意到的是
(1.4.7)
式中，θ1 = ||W. 1 ||2 是未知常数。
将式 (1.4.7) 代入式 (1.4.5)，可得
(1.4.8)
现构造虚拟控制器 .α1 为
(1.4.9)
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