本书是一本为自动化及相关专业本科生设计的“复变函数”教材，旨在结合自动控制理论与应用，为学生介绍复变函数的知识。本书内容分为6章，主要包括复数与复变函数、解析函数及其积分与级数、留数及在积分计算中的应用、保角映射等。 与面向所有专业的“复变函数”教材相比，本书侧重强调复变函数与自动控制的密切联系，希望能让读者更加具体地了解“复变函数”课程内容与后续相关专业课学习的关联关系。通过案例分析和实际应用，读者能够初步了解复变函数理论在系统建模、控制算法设计及信号处理中的关键作用，从而提升对课程学习的兴趣和目的性，增强对基础数学知识学习的重视，为未来的学术和职业发展奠定坚实的基础。

第1章 复数和复变函数
1.1 复数及其运算
1.1.1 复数的概念及几何表示
1.1.2 复数的代数运算
1.1.3 扩充复平面与复球面
1.2 复平面上曲线和区域
1.2.1 复平面上曲线方程的表示方法
1.2.2 平面点集与区域
1.3 复变函数与整线性映射
1.3.1 复变函数的概念
1.3.2 复映射
1.3.3 整线性映射及其保圆性
1.4 复变函数的极限与连续性
1.4.1 复变函数的极限
1.4.2 复变函数的连续性
1.5 复数与传递函数
1.5.1 交流电路的复数分析方法
1.5.2 复变函数与控制系统的关系概述
1.6 本章习题
1.7 习题解答
第2章 解析函数
2.1 解析函数的概念
2.1.1 复变函数的导数
2.1.2 解析函数的简单概念及性质
2.1.3 复变函数的运算法则
2.2 柯西一黎曼方程
2.3 初等解析函数
2.3.1 指数函数
2.3.2 三角函数和双曲函数
2.4 初等多值函数
2.4.1 对数函数
2.4.2 幂函数
2.4.3 反三角函数与反双曲函数
2.4.4 根式函数
2.5 解析函数与控制领域的联系
2.5.1 解析函数与传递函数
2.5.2 解析函数与H2／H∞控制
2.6 本章习题
2.7 习题解答
第3章 复变函数的积分
3.1 复积分的基本概念
3.1.1 复变函数积分的定义
3.1.2 复变函数积分的计算问题
3.1.3 复变函数积分的基本性质
3.2 柯西积分定理
3.3 柯西积分公式
3.4 解析函数的高阶导数
3.5 解析函数与调和函数
3.6 复变函数积分在自动控制中的应用：积分性能指标计算
3.7 本章习题
3.8 习题解答
第4章 复级数
4.1 复数项级数
4.1.1 复数列的收敛性
4.1.2 复数项级数
4.2 幂级数
4.2.1 复变函数项级数
4.2.2 幂级数的收敛性
4.2.3 幂级数的收敛圆和收敛半径
4.2.4 幂级数收敛半径的求法
4.2.5 幂级数的运算和性质
4.3 泰勒级数
4.3.1 有关逐项积分的两个引理
4.3.2 解析函数的泰勒级数展开定理
4.3.3 初等函数的泰勒展开式
4.4 洛朗级数
4.4.1 解析函数的洛朗级数展开定理
4.4.2 洛朗级数的性质
4.4.3 函数的洛朗展开式
4.5 泰勒级数PD控制参数自整定中的应用
4.6 本章习题
4.7 习题解答
第5章 留数及其应用
5.1 函数孤立奇点及分类
5.2 留数与留数定理
5.2.1 留数的定义
5.2.2 留数定理
5.2.3 留数的求法
5.3 留数在定积分运算中的应用
5.4 辐角原理与鲁歇定理
5.4.1 对数留数
5.4.2 辐角原理
5.4.3 鲁歇定理
5.5 留数在自动控制原理中的应用
5.5.1 一种基于留数的线性系统稳定性判据
5.5.2 留数法求解S反变换与逆z变换
5.6 本章习题
5.7 习题解答
第6章 共形映射
6.1 共形映射的概念
6.1.1 复变函数的导数与对曲线的作用
6.1.2 保角映射的定义
6.1.3 共形映射的定义
6.2 分式线性函数及其性质
6.2.1 分式线性函数
6.2.2 分式线性函数的映射性质
6.2.3 唯一确定分式线性函数的条件
6.3 几个初等函数构成的共形映射
6.3.1 幂函数w=zn(n=2
6.3.2 指数函数w=ez
6.4 关于保角映射的一般性定理
6.4.1 最大模原理与施瓦茨引理
6.4.2 黎曼存在定理与边界对应定理
6.5 传递函数与奈奎斯特判据
6.5.1 传递函数与系统稳定性
6.5.2 奈奎斯特稳定判据
6.6 本章习题
6.7 习题解答
参考文献
附录A 复变函数与傅里叶变换
附录B 复变函数与拉普拉斯变换
B.1 概念与性质
B.2 拉普拉斯逆变换与复变函数积分
B.3 拉普拉斯变换与传递函数