第一部分 散度函数的几何：对偶平坦的黎曼结构
第1章 流形、散度、对偶平坦结构
1.1 流形
1.1.1 流形及坐标系
1.1.2 流形示例
1.2 两点之间的散度
1.2.1 散度
1.2.2 散度的例子
1.3 凸函数和布雷格曼散度
1.3.1 凸函数
1.3.2 布雷格曼散度
1.4 勒让德变换
1.5 由凸函数导出的对偶平坦黎曼结构
1.5.1 仿射和对偶仿射坐标系
1.5.2 切空间、基向量和黎曼度量
1.5.3 向量平移
1.6 广义勾股定理和投影定理
1.6.1 广义勾股定理
1.6.2 投影定理
1.6.3 子流形之间的散度：交替最小化算法
第2章 概率分布的指数族和混合族
2.1 概率分布的指数族
2.2 指数族例子：高斯分布和离散分布
2.2.1 高斯分布
2.2.2 离散分布
2.3 概率分布的混合族
2.4 平坦结构：e-平坦和m-平坦
2.5 关于概率分布的无限维流形
2.6 核指数族
2.7 布雷格曼散度和指数族
2.8 勾股定理的应用
2.8.1 最大熵原理
2.8.2 互信息
2.8.3 重复观测值和最大似然估计值
第3章 概率分布流形的不变几何
3.1 不变性标准
3.2 粗粒化下的信息单调性
3.2.1 粗粒化和Sn的充分统计量
3.2.2 不变散度
3.3 Sn中f-散度的例子
3.3.1 KL散度
3.3.2 χ2-散度
3.3.3 α-散度
3.4 f-散度和KL散度的基本性质
3.4.1 f-散度的性质
3.4.2 KL散度的性质
3.5 Fisher信息：唯一不变的度量
3.6 正测度流形中的f-散度
第4章 α-几何、Tsallis q-熵与正定矩阵
4.1 不变平坦散度
4.1.1 KL散度具有唯一性
4.1.2 α-散度在Rn+中具有唯一性
4.2 Sn和Rn+的α-几何
4.2.1 Rn+中的α-测地线和α-勾股定理
4.2.2 Sn中的α-测地线
4.2.3 Sn中的α-勾股定理和α-投影定理
4.2.4 α-散度的分配
4.2.5 α-均值
4.2.6 α-概率分布族
4.2.7 α-积分的最优性
4.2.8 专家α-积分应用
4.3 Tsallis q-熵的几何
……
第二部分 对偶微分几何导论
第三部分 统计推断的信息几何学
第四部分 信息几何学的应用
参考文献
《现代数学译丛》已出版书目
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