“密码学数学基础”是网络空间安全和计算机类专业的一门基础课程，课程涉及数学领域较广，为方便教学而编写了本教材。全书共8章，内容包括基本数论、布尔函数、群、环和域、域扩张和有限域、Grobner基、椭圆曲线、格等数学基础理论和算法。本书用SageMath数学工具实现了丰富的例题，可以有效加深学生对数学基本概念的理解，提升学生灵活应用数学工具的能力。 本教材可以作为高校网络空间安全专业的教材，也可以作为学生的参考工具书，为后续密码算法和密码分析的学习和科研打下扎实的数学基础。

第1章 基本数论
1.1 整除
1.1.1 整除
1.1.2 欧几里得算法(辗转相除法)
1.2 连分数
1.3 素数
1.4 同余
1.5 中国剩余定理
1.6 素数判定
1.6.1 费马素性测试
1.6.2 米勒-拉宾算法
1.6.3 OpenSSL软件如何生成大素数
1.7 基本数论的SageMath软件例子
第2章 布尔函数
2.1 布尔函数的定义
2.2 沃尔什变换
2.2.1 偏差
2.2.2 快速计算
2.3 布尔函数与密码相关的性质
2.3.1 布尔函数的重量
2.3.2 布尔函数的线性
2.4 布尔函数的SageMath计算
第3章 群
3.1 群的定义
3.2 子群
3.3 元素的阶
3.4 同态和同构
3.5 商群
3.6 循环群
3.7 有限生成交换群
3.8 置换群
第4章 环和域
4.1 环的定义
4.2 环的同态
4.3 分式域
4.4 子环和理想
4.5 商环
4.6 多项式环
第5章 域扩张和有限域
5.1 域的扩张
5.2 分裂域
5.3 有限域的结构
5.4 伽罗瓦理论
5.5 域的应用
5.5.1 高级加密标准
5.5.2 尺规作图问题
第6章 Grobner基
6.1 认识Grobner基
6.1.1 理想和希尔伯特基定理
6.1.2 多项式的序
6.1.3 多元多次多项式的除法
6.1.4 Grobner基的定义
6.2 如何计算Grobner基
6.2.1 S-多项式
6.2.2 Buchberger算法
6.3 Gr6bner基的SageMath计算
6.3.1 计算Grobner基
6.3.2 Grobner基的应用
第7章 椭圆曲线
7.1 椭圆曲线群
7.1.1 点加法
7.1.2 群结构
7.2 椭圆曲线离散对数问题
7.2.1 穷举和碰撞
7.2.2 Pollard Rho算法
7.3 椭圆曲线的阶
7.3.1 哈塞定理
7.3.2 椭圆曲线阶的计算
7.3.3 椭圆曲线离散对数问题的构造
7.4 椭圆曲线的具体实现
7.4.1 nP的计算
7.4.2 射影空间的计算
7.4.3 选择合适的p
7.5 OpelaSSL和椭圆曲线
7.6 后量子密码
7.7 椭圆曲线的SageMath计算
第8章 格
8.1 格的基本理论
8.1.1 格的定义
8.1.2 同一个格不同的基
8.2 体积
8.2.1 最短向量
8.2.2 闵可夫斯基定理
8.3 格上的经典问题
8.4 SVP和CVP的近似版本
8.4.1 SVP变种
8.4.2 格上多种多样的困难问题
8.5 格基消解
8.5.1 施密特正文化
8.5.2 LLL算法
8.5.3 背包问题
8.6 格上常用的问题
8.6.1 SIS问题
8.6.2 LWE问题
8.6.3 RLWE问题
参考文献